Chủ đề này có 1 trả lời

[Zaraki]

Tìm cặp số nguyên dương $x,n$ sao cho
\[\frac{3^{2n + 1} - 1}{2} = x^2\]

[nguyenta98]

Tìm cặp số nguyên dương $x,n$ sao cho
\[\frac{3^{2n + 1} - 1}{2} = x^2\]

Giải như sau:
Dễ thấy $(n,x)=(0,1),(2,11)$ là nghiệm
Nên ta xét $n\geq 3$ khi ấy $3^n \vdots 27$
Viết lại phương trình dưới dạng:
$$3.(3^n)^2=2x^2+1$$
$$\Leftrightarrow 3k^2-2x^2=1 (1)$$
Với $3^n=k$
Nhận thấy phương trình trên là phương trình có dạng $Ax^2-By^2=1$ là phương trình Pell tổng quát nên theo công thức nghiệm ta làm như sau
Bước 1: Xét phương trình $x^2-ABy^2=1$ có nghiệm bé nhất là $a,b$
Bước 2: Tìm nghiệm nguyên thủy $x_0,y_0$ và nghiệm nhỏ nhất khác nguyên thủy $x_1,y_1$ của phương trình $Ax^2-By^2=1$
Bước 3: Xác định nghiệm tổng quát của phương trình $Ax^2-By^2=1$ là $x_{n+2}=2.a.x_{n+1}-x_n$ và $y_{n+2}=2.a.y_{n+1}-y_n$
Áp dụng ta làm:
Thấy $(a,b)=(5,2)$ là nghiệm nguyên thủy bé nhất của $x^2-ABy^2=1$ hay $k^2-6x^2=1$ $(2)$
Do đó mọi nghiệm của $(1)$ có dạng $k_{n+2}=2a.k_{n+1}-k_n$ và tương tự với $x_{n+2}$
Nhưng ta chỉ chú ý $k$ vì $k=3^n$ và do $a=5$ (theo $(2)$) nên suy ra $k_{n+2}=10k_{n+1}-k_n$
Do đó ta có dãy nghiệm
$k_0=1$
$k_1=9$
$k_2=10*9-1=89$
$....$
$k_{n+2}=10.k_{n+1}-k_n$
$\blacksquare$ Ta xét các số dư của $k_i$ khi chia cho $27$
Gọi $h_i$ là số dư của $k_i$ khi chia cho $27$
Như vậy $k_{n+2}=10.k_{n+1}-k_n \Rightarrow h_{n+2}=10.h_{n+1}-h_n$
Dễ thấy $k_0=1,k_1=9$
Nên $h_0=1,h_1=9$
Do đó ta có dãy
$(h_0,h_1,h_2,h_3,h_4,h_5,h_6,h_7,h_8,h_9,h_{10},h_{11},h_{12},h_{13},h_{14},h_{15},h_{16},h_{17},h_{18},h_{19},h_{20},h_{21},h_{22})=(1,9,8,17,0,10,19,18,26,26,18,19,10,0,17,8,9,1,1,9,8,17,0)$
Ta thấy số $0$ đã lặp lại ở cách xét trên và dãy trên có quy luật hay với $h_i$ và $i \equiv 4 \pmod{9}$ thì $k_i \vdots 27$ (do đối chiếu với dãy trên ta thấy $h_4,h_{13},h_{22}$ là $0$ hay $k_{4},k_{13},k_{22}$ chia hết cho $27$)
$\blacksquare$ Giờ ta lại xét $r_i$ là số dư của $k_i$ khi chia cho $17$
Làm tương tự ta có
$(r_0,r_1,r_2,r_3,r_4,r_5,r_6,r_7,r_8,r_9,r_{10},r_{11},r_{12},r_{13},r_{14},r_{15},r_{16},r_{17},r_{18},r_{19},r_{20},r_{21},r_{22})=(1,9,4,14,0,3,13,8,16,16,8,13,3,0,14,4,9,1,1,9,4,14,0)$
Ta cũng thấy số $0$ đã lặp lại ở cách xét trên hay dãy trên có quy luật hay với $r_i$ và $i \equiv 4 \pmod{9}$ thì $k_i \vdots 17$
Mặt khác ta thấy $k_i=3^n$ mà $n\geq 3$ nên $3^n \vdots 27$ nên theo cách xét đầu suy ra $i \equiv 4 \pmod{9}$ nhưng khi đó theo cách xét thứ hai thì khi ấy $k_i \vdots 17 \Rightarrow 3^n \vdots 17$ với $n\geq 3$ và đây là điều vô lý
Do đó phương trình chỉ có nghiệm như đầu bài
Vậy $\boxed{(n,x)=(0,1),(2,11)}$

P/S chú ý con $n$ ở $3^n$ khác với con $n$ ở $k_n,r_n,h_n$ nhé mong mọi người thông cảm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 22-07-2012 - 16:51