Chủ đề này có 5 trả lời

[caubeyeutoan2302]

Các bài toán :



Câu 1: Cho $m,n$ là các số nguyên dương thỏa mãn là : $ \frac{m}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+.........-\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319} $

Chứng minh rằng $m$ chia hết cho 1979

Câu 2: Tìm $n$ để ta có $n!=2^{15}.3^6.5^{3}.7^{2}.11.13$

Câu 3: Hãy xác định tất cả các bộ nguyên dương (a,b) sao cho $a^2.b+a+b$ chia hết cho $a.b^2+b+7$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caubeyeutoan2302: 28-01-2012 - 19:41

[Zaraki]

Cảm ơn anh, câu 2 đã có tại http://diendantoanho...showtopic=65865 rồi anh ạ.

[Zaraki]

Câu 3: Hãy xác định tất cả các bộ nguyên dương (a,b) sao cho $a^2.b+a+b$ chia hết cho $a.b^2+b+7$

Lời giải. Chỉ có hai trường hợp sau xảy ra:

$\fbox{TH1}.$Nếu $a<b$, khi đó $b \ge a+1$. Từ đó $$ab^2+b+7>ab^2+b=(ab+1)b \ge (a+1)(b+1),$$
suy ra $$ab^2+b+7>a^2b+a+ab+1>a^2b+a+b$$
Như vậy thì $$(ab^2+b+7) \nmid (a^2b+b+7) $$
Mâu thuẫn với giả thiết bài toán.

$\fbox{TH2}.$ Nếu $a \ge b.$ Đặt $k= \frac{a^2+a+b}{ab^2+b+7}$.
Ta có $$\left( \frac{1}{b}+ \frac{a}{b} \right) (ab^2+b+7)=a^2b+a+ab+7. \frac{a}{b}+ \frac{7}{b}+1>a^2b+a+b$$
Suy ra $$\frac{a}{b}+ \frac{1}{b}> \frac{a^2b+a+b}{ab^2+b+7}=k.$$
Có ba khả năng sau xảy ra:

• Nếu $b \ge 3 \Rightarrow \left( b- \frac{7}{b} \right) > 0.$ Từ đó ta có

$$\left( \frac{a}{b}- \frac{1}{b} \right) (ab^2+b+7)=a^2b+a-a \left(b- \frac{7}{b} \right)-1- \frac{7}{b}<a^2b+a<a^2b+a+b$$
Suy ra $$\begin{aligned}\frac{a}{b}- \frac{1}{b} & < \frac{a^2b+a+b}{ab^2+b+7}=k \\ & \Rightarrow \frac{a-1}{b}<k< \frac{a+1}{b} \\ & \Rightarrow a-1<kb<a+1. \end{aligned}$$
Như vậy $a=kb$, thay $k= \frac{a^2+a+b}{ab^2+b+7}$ ta có
$$ \begin{aligned} ab^2k+bk+7k & =a^2b+a+b \\ & \Rightarrow k^2b^3+kb+7k=k^2b^3+kb+b \\ & \Rightarrow b=7k \\ & \Rightarrow a=7k^2 \end{aligned}$$
Trong trường hợp này thì $\boxed{(a,b)=(7k^2,7k)}$ với $k$ nguyên dương.

• Nếu $b=1$. Ta tìm được nghiệm $\boxed{(a,b) \in \{ (11,1),(49,1) \}. }$
• Nếu $b=2$ thì phương trình vô nghiệm.

[Zaraki]

Câu 1: Cho $m,n$ là các số nguyên dương thỏa mãn là : $ \frac{m}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+.........-\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319} $

Chứng minh rằng $m$ chia hết cho 1979

Lời giải. Nhận thấy $1979$ là số nguyên tố.
$$ \begin{aligned} \frac{m}{n} & = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+.........-\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319} \\ & = \left( 1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+...+ \frac{1}{1319} \right) - 2 \left( \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+...+ \frac{1}{1318} \right) \\ & = \left( 1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+...+ \frac{1}{1319} \right) - \left( 1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+...+ \frac{1}{659} \right) \\ & = \frac{1}{660}+ \frac{1}{661}+...+ \frac{1}{1319} \\ & = \left( \frac{1}{660}+ \frac{1}{1319} \right) + \left( \frac{1}{661}+ \frac{1}{1318} \right)+... \\ & = 1979 \left( \frac{1}{660.1319}+ \frac{1}{661.1318}+... \right) \end{aligned}$$

[anh qua]

Câu1 và Câu 3 là hai câu IMO năm nào đó! Không nhớ

[Zaraki]

Câu 3 có thể xem lời giải tại http://www.artofprob...hp?f=57&t=18491 .