Chủ đề này có 1 trả lời

[ducthinh26032011]

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn,AM và BN là 2 đường trung tuyến.AM vuông góc BN.
C/m: $\cot A+\cot B \geqslant \dfrac{2}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 30-01-2012 - 22:55

[Mylovemath]

Gọi trung tuyến thứ 3 của tam giác ABC là CD
Từ C vẽ đường cao CH của tam giác ABC

ta có $Cot A$ = $\frac{AH}{CH}$ và $Cot B$ = $\frac{BH}{CH}$

Từ đó suy ra $Cot A$ + $Cot B$ = $\frac{AH + BH}{CH}$ = $\frac{AB}{CH}$ (1)
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
Lại có:

$AB = 2GD$ (tính chất trung tuyến tam giác vuông)

$=> \frac{AB}{GD} = 2$

$=> \frac{AB}{\frac{1}{3}.CD} = 2$

$=> \frac{AB}{CD} = \frac{2}{3}$

DO $CD \geqslant CH $ (đường xiên bao giờ cũng lớn hơn đường vuông góc)

$=> \frac{AB}{CH} \geqslant \frac{AB}{CD} \geqslant \frac{2}{3}$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mylovemath: 03-02-2012 - 12:11