Chủ đề này có 12 trả lời

[Ispectorgadget]

ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN TRƯỜNG TRUNG HỌC THỰC HÀNH - ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM

Năm học 2005-2006

Bài 1:
a) Không dùng máy tính hãy so sánh $x=\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}$ và $y=\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}$
b) Giải phương trình sau $\sqrt{1-x}-\sqrt{x+2}=1$

Bài 2: Cho phương trính$x^2-2(m+4)x+m^2-8=0$
a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm.
b) Gọi $x_1;x_2$ là hai nghiệm của phương trình. Hãy lập 1 biểu thức độc lập liên hệ giữa $x_1$; $x_2$ không phụ thuộc vào m
c) Với giá trị nào của m, biểu thứ $A=x_1x_2-x_1^2-x_2^2$ đạt GTLN. Tìm GTLN đó

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có giá trị biểu thức $E=n^3+5n$ luôn là bội của 6

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC). Đường tròn tâm O đường kính AB và đường tròn tâm O' đường kính AC cắt nhau tại A và D.
a) Chứng minh rằng 3 điểm B,C,D thẳng hàng
b) GỌi M' là điểm chính giữa cung nhỏ CD. AM cắt BC tại E và cắt đường tròn tâm O tại N. Chứng minh tam giác ABE cân
c) Gọi K là trung điểm đoạn thẳng MN. Chứng minh OK vuông góc O'K
d) Đặt BC=a; AB=b; AC=c. Điểm P di động trên nữa đường tròn đường kính CB không chưa A (P khác B,C). Gọi Q,R,S lần lượt là hình chiếu của P lên đường thẳng BC,CA,AB. Đặt PQ=x, PR=y; PS=z. Xác định vị trí điểm P sao cho biểu thức $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}$ đạt GTNN

Câu 5:
Cho a,b là các số thực dương thoả mãn$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{2}$.
Tìm GTNN của biểu thức $K=a+b$

[Ispectorgadget]

Câu 5
$2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{2}{ab}\Rightarrow ab\geq 1$
$a+b\geq 2\sqrt{ab}=2$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=1

[ductai199x]

Mình xin tặng các bạn file pdf này nhé, ở đây có hầu hết tất cả các đề thi của các trường chuyên thành phố Hồ Chí Minh (không đáp án). Hi vọng các bạn thấy bổ ích

File gửi kèm

•  Tuyen Tap Cac De Thi_Lop 10_TPHCM.pdf   505.08K   8620 Số lần tải

[ductai199x]

Mình xin được giải bài 1, 2 và bài 3:

1a, Theo đề bài, ta có:
$x = \sqrt{4+\sqrt{7}} - \sqrt{4-\sqrt{7}}$
$x^2 = 4+\sqrt{7} + 4-\sqrt{7} - 2\sqrt{(4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})}$
$x^2 = 8 - 2\sqrt{16-7} = 8 - 2\sqrt{9} = 8 - 2.3 = 8 - 6 = 2 \leftrightarrow x = \sqrt{2}$

$y = \sqrt{2+\sqrt{3}} - \sqrt{2-\sqrt{3}}$
$y^2 = 2+\sqrt{3} + 2-\sqrt{3} - 2\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$
$y^2 = 4 - 2\sqrt{4 - 3} = 4 - 2\sqrt{1} = 4 - 2 = 2 \leftrightarrow y = \sqrt{2}$

Vậy $x = y = \sqrt{2}$

1b, Theo đề bài, ta có:

$\sqrt{1-x} - \sqrt{x-2} = 1$
$1-x + x-2 - 2\sqrt{(1-x)(x-2)} = 1$
$-2\sqrt{(1-x)(x-2)} = 1+1$
$-\sqrt{(1-x)(x-2)} = 1$
$-x^2+3x-2 = 1$
$x^2-3x+3 = 0$
$x^2-2\frac{3}{2}x + \frac{9}{4} = -\frac{3}{4}$
$(x-\frac{3}{2})^2 = -\frac{3}{4}$. Vô lý vì $(x-\frac{3}{2})^2 > 0$ mà $-\frac{3}{4} < 0$.
$\leftrightarrow$ Vô nghiệm.

2a, Theo đề bài, ta có:
$x^2 - 2(m+4)x + (m^2-8) = 0$ (*)
$\delta = [2(m+4)]^2 - 4.1.(m^2-8)$
$\delta = 4(m^2+8m+16) - 4(m^2-8)$
$\delta = 4m^2+32m+64 - 4m^2+32$
$\delta = 32m+96$

Để (*) có nghiệm thì $\delta \ge 0 \Rightarrow 32m + 96 \ge 0$
$\Leftrightarrow 32(m+3) \ge 0$
$\Leftrightarrow m+3 \ge 0$
$\Leftrightarrow m \ge -3$. Vậy để (*) có nghiệm thì $m \ge -3$

2b, Sử dụng định lý Vi-ét, ta có:

x₁.x₂ = $m^2 - 8$
x₁₊x₂ = $2(m+4) \Rightarrow m = \frac{1}{2}$(x₁₊x₂ -8)
$\Rightarrow$ x₁.x₂ $= \frac{1}{4}$(x₁₊x₂ -8)² - 8. Đây là hệ thức cần tìm.

2c, Áp dụng vi-et trong biến đổi sau:
A = x₁x₂ - x_1² + x_2²
= -x₁x₂ - (x₁+x₂)²
$= -(m^2 - 8) - 4(m+4)^2$
$= -5m^2 - 32m - 56$
$= -5(m^2 - 2.\frac{16}{5}.m + \frac{256}{25}) - \frac{24}{5}$
$= -5(m-\frac{16}{5})^2 - \frac{24}{5}$
Do $m ≥ - 3 \Rightarrow m - \frac{16}{5} \ge -\frac{31}{5} \Rightarrow A \le -5.-(\frac{31}{5})^2 - \frac{24}{5} = 187.4 $
Vậy Max $A= 187.4$, đạt được khi $m = -3$

3, Theo đề bài, ta có:

$n^{3} + {5}n$
= $n^{3} - n + {6}n$
= $n(n^2 - 1) + {6}n$
= $(n - 1)n(n+1) + {6}n$

Vì n-1, n, n+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên có ít nhất 1 số là số chẵn. Và theo định lý đi-rích-lê, một số khi chia cho 3 có 3 kiểu dư: 0, 1, 2 mà 3 số n-1, n, n+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên chắc chắn có một trong 3 số chia hết cho 3.

Lại có: (3, 2) = 1 => = $(n - 1)n(n+1) + {6}n$ chia hết cho 6 nên

$$n^3+5n$$ chia hết cho $6$ với mọi n thuộc Z.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ductai199x: 12-02-2012 - 22:13

[chohieulonbia1]

Mình xin được giải bài 1, 2 và bài 3:

1a, Theo đề bài, ta có:
$x = \sqrt{4+\sqrt{7}} - \sqrt{4-\sqrt{7}}$
$x^2 = 4+\sqrt{7} + 4-\sqrt{7} - 2\sqrt{(4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})}$
$x^2 = 8 - 2\sqrt{16-7} = 8 - 2\sqrt{9} = 8 - 2.3 = 8 - 6 = 2 \leftrightarrow x = \sqrt{2}$

$y = \sqrt{2+\sqrt{3}} - \sqrt{2-\sqrt{3}}$
$y^2 = 2+\sqrt{3} + 2-\sqrt{3} - 2\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$
$y^2 = 4 - 2\sqrt{4 - 3} = 4 - 2\sqrt{1} = 4 - 2 = 2 \leftrightarrow y = \sqrt{2}$

Vậy $x = y = \sqrt{2}$

1b, Theo đề bài, ta có:

$\sqrt{1-x} - \sqrt{x-2} = 1$
$1-x + x-2 - 2\sqrt{(1-x)(x-2)} = 1$
$-2\sqrt{(1-x)(x-2)} = 1+1$
$-\sqrt{(1-x)(x-2)} = 1$
$-x^2+3x-2 = 1$
$x^2-3x+3 = 0$
$x^2-2\frac{3}{2}x + \frac{9}{4} = -\frac{3}{4}$
$(x-\frac{3}{2})^2 = -\frac{3}{4}$. Vô lý vì $(x-\frac{3}{2})^2 > 0$ mà $-\frac{3}{4} < 0$.
$\leftrightarrow$ Vô nghiệm.

2a, Theo đề bài, ta có:
$x^2 - 2(m+4)x + (m^2-8) = 0$ (*)
$\delta = [2(m+4)]^2 - 4.1.(m^2-8)$
$\delta = 4(m^2+8m+16) - 4(m^2-8)$
$\delta = 4m^2+32m+64 - 4m^2+32$
$\delta = 32m+96$

Để (*) có nghiệm thì $\delta \ge 0 \Rightarrow 32m + 96 \ge 0$
$\Leftrightarrow 32(m+3) \ge 0$
$\Leftrightarrow m+3 \ge 0$
$\Leftrightarrow m \ge -3$. Vậy để (*) có nghiệm thì $m \ge -3$

2b, Sử dụng định lý Vi-ét, ta có:

x₁.x₂ = $m^2 - 8$
x₁₊x₂ = $2(m+4) \Rightarrow m = \frac{1}{2}$(x₁₊x₂ -8)
$\Rightarrow$ x₁.x₂ $= \frac{1}{4}$(x₁₊x₂ -8)² - 8. Đây là hệ thức cần tìm.

2c, Áp dụng vi-et trong biến đổi sau:
A = x₁x₂ - x_1² + x_2²
= -x₁x₂ - (x₁+x₂)²
$= -(m^2 - 8) - 4(m+4)^2$
$= -5m^2 - 32m - 56$
$= -5(m^2 - 2.\frac{16}{5}.m + \frac{256}{25}) - \frac{24}{5}$
$= -5(m-\frac{16}{5})^2 - \frac{24}{5}$
Do $m ≥ - 3 \Rightarrow m - \frac{16}{5} \ge -\frac{31}{5} \Rightarrow A \le -5.-(\frac{31}{5})^2 - \frac{24}{5} = 187.4 $
Vậy Max $A= 187.4$, đạt được khi $m = -3$

3, Theo đề bài, ta có:

$n^{3} + {5}n$
= $n^{3} - n + {6}n$
= $n(n^2 - 1) + {6}n$
= $(n - 1)n(n+1) + {6}n$

Vì n-1, n, n+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên có ít nhất 1 số là số chẵn. Và theo định lý đi-rích-lê, một số khi chia cho 3 có 3 kiểu dư: 0, 1, 2 mà 3 số n-1, n, n+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên chắc chắn có một trong 3 số chia hết cho 3.

Lại có: (3, 2) = 1 => = $(n - 1)n(n+1) + {6}n$ chia hết cho 6 nên

$$n^3+5n$$ chia hết cho $6$ với mọi n thuộc Z.

Anh giải lại dùm em cái câu chia hết cho 6 rõ ràng hơn nha a

[Ispectorgadget]

Anh giải lại dùm em cái câu chia hết cho 6 rõ ràng hơn nha a

Như vậy là rõ rồi bạn ạ

[L Lawliet]

Cho em hỏi đây là đề thi vô lớp 10 dành cho thí sinh chuyên Toán hay sao vậy

___
Đề này là đề toán chuyên nhưng có khá lâu rồi nên cũng dễ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 17-03-2012 - 13:11

[firering]

Mình xin được giải bài 1, 2 và bài 3:


2c, Áp dụng vi-et trong biến đổi sau:
A = x₁x₂ - x_1² + x_2²
= -x₁x₂ - (x₁+x₂)²
$= -(m^2 - 8) - 4(m+4)^2$
$= -5m^2 - 32m - 56$
$= -5(m^2 - 2.\frac{16}{5}.m + \frac{256}{25}) - \frac{24}{5}$
$= -5(m-\frac{16}{5})^2 - \frac{24}{5}$
Do $m ≥ - 3 \Rightarrow m - \frac{16}{5} \ge -\frac{31}{5} \Rightarrow A \le -5.-(\frac{31}{5})^2 - \frac{24}{5} = 187.4 $
Vậy Max $A= 187.4$, đạt được khi $m = -3$

Theo mình nghĩ phải thế này chứ
$x_{1}x_{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2} = x_{1}x_{2}-(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}) = x_{1}x_{2}-[(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}] = 3x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi firering: 14-05-2012 - 20:01

[NLT]

Anh giải lại dùm em cái câu chia hết cho 6 rõ ràng hơn nha a

Giải như thế là rất chi tiết rồi đó bạn ạ.
-------

[firering]

Giải như thế là rất chi tiết rồi đó bạn ạ.
-------

Bạn coi giúp mình thử cm của mình ở trên đúng không. Theo đó thì mình ra Max là -1, đạt được khi M=-3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi firering: 14-05-2012 - 20:00

[NLT]

Bạn coi giúp mình thử cm của mình ở trên đúng không. Theo đó thì mình ra Max là -1, đạt được khi M=-3

Theo mình nghĩ phải thế này chứ
$x_{1}x_{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2} = x_{1}x_{2}-(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}) = x_{1}x_{2}-[(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}] = 3x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})^{2}$

Có lẽ bạn đúng, bởi ductai199x có vẻ như sai đề. Nhưng kết quả ko quan trọng đâu bạn ạ, bạn cần nắm vững pp làm, những nhầm lẫn nhỏ như vậy ta có thể bỏ qua
-----------

[Math Is Love]

Câu 5
$2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{2}{ab}\Rightarrow ab\geq 1$
$a+b\geq 2\sqrt{ab}=2$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=1

Câu 5 anh làm nhầm rồi. ab$\geqslant$4 chứ
$\Rightarrow a+b\geqslant 2\sqrt{ab}=4$
Dấu"=" xảy ra $\Leftrightarrow$ a=b=2

[DatBKXM]

Cho minh xin de chuyen toan cua trung hoc thuc hanh dhsp nam ngoai (2011-2012)