Chủ đề này có 19 trả lời

[E. Galois]

Yêu cầu SubjectMath ra đề vào topic này

Do MSS01 ko ra đề nên theo Điều lệ BTC ra đề:

Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
$$(36x + y)(36y + x) = 2^z.$$

Chuyển nhanh đến:
- Điều lệ
- Lịch thi đấu và tổng hợ p kết quả

[yeutoan11]

MSS03 yeutoan11 xin giải :
Ta có $(36x+y)(36y+x)=2^z$ (1)
Đặt $(36x+y)=2^t$ $(36y+x)=2^m$ $\Rightarrow t+m=z$ ( t,m dương )
Không mất tính tổng quát giả sử $t\geq m\geq 0$
$2^t-2^m = 35(x-y)$
$\Leftrightarrow 2^m(2^{t-m}-1) = 35(x-y)$
* TH $t=m$
$\Rightarrow 2^m.0 = 35(x-y)$
$\Rightarrow x=y$
Thay vào (1)
$37^2x^2=2^z$ X
=> (1) vô nghiệm
*TH $t> m$ $\Rightarrow x\neq y$
$\Rightarrow m=0$
vì nếu $m\neq 0$ thì $2^{t-m}-1=35$ không tìm thấy t,m thỏa X
mà $36y+x=2^m$
$\Leftrightarrow 36y+x = 1$
mà x,y nguyên dương nên $36y+x \geq 37 > 1$
=> PT đã cho vô nghiệm nguyên dương

Kết quả:
D-B=15
E=9
F=1 * 10=10
S=70

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 21-02-2012 - 22:10

[Cao Xuân Huy]

Ta đặt: $\left\{ \begin{array}{l}36x + y = {2^m}\\36y + x = {2^n}\end{array} \right.$ với $m,n\le z$ và $m+n=z$.
Không mất tính tổng quát ta giả sử $x\ge y$ thì ta có $m\ge n$.
Ta có:


\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{36x + y = {2^m}}\\
{36y + x = {2^n}}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{35(x - y) = {2^m} - {2^n}}\\
{37(x + y) = {2^m} + {2^n}}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x - y = \frac{{{2^m} - {2^n}}}{{35}}}\\
{x + y = \frac{{{2^m} + {2^n}}}{{37}}}
\end{array}} \right.\]
Tiếp tục giải hệ ta được:


\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{{2^n}({{36.2}^{m - n}} - 1)}}{{1295}}}\\
{y = \frac{{{2^n}(36 - {2^{m - n}})}}{{1295}}}
\end{array}} \right.\]
Để $y$ là số nguyên dương thì $1295|36-2^{m-n}$ (vì $GCD(2^n,1295)=1$)
Mà $0<36-2^{m-n}<36$ nên không có số nguyên $m,n$ nào để $y$ là số nguyên dương.
Vậy kết luận phương trình không có nghiệm nguyên

Kết quả:
D-B=15.8 h
E=10
F=0 * 10=0
S=62.2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 21-02-2012 - 22:10

[daovuquang]

Đặt $36x+y=2^a (1)$, $36y+x=2^b (2)$.
$(1)\Rightarrow y=2^a-36x (3)$.
Thay $(3)$ vào $(1)$, ta có: $36.2^a-2^b=1295x$.
Nhận xét: $VP \vdots 7\Leftrightarrow VT \vdots 7\Leftrightarrow 36.2^a-2^b \vdots 7\Leftrightarrow 2^a-2^b\vdots 7$.
Vì $36x+y, 36y+x>32\Rightarrow a,b>5\Rightarrow 2^a-2^b=2^k.m$ (k và m bất kì thuộc $Z+$). Và tất nhiên là số đó không chia hết cho 7.
Vậy pt không có nghiệm nguyên dương.

Mở rộng thì có phải chứng minh ko anh:
1. Thay điều kiện thành nghiệm nguyên.
2. Thay 36 thành $k$ sao cho $k^2-1\vdots 7$.
3. Thay $2^z$ thành $a^z$ với a không chia hết cho 7.

[minhtuyb]

Bài làm của minhtuyb:
-Từ $(36x+y)(36y+x)=2^z(1);x,y\geq 1\Rightarrow 2^z\geq 37^2\Rightarrow 36x+y;36y+z\vdots 2\Rightarrow x,y\vdots 2\Rightarrow x+y\vdots 2$
-Đặt $36x+y=2^a;36y+x=2^b(a,b\in N*;a+b=z)$. Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\Rightarrow a=b+k(k\in N)$. Ta có:
$\left\{\begin{matrix}36x+y=2^a=2^{b+k}\\ 36y+x=2^b\end{matrix}\right.$
Cộng vế với với của 2 phương trình trên, ta có:
$36x+y+36y+x=2^{b+k}+2^b\Leftrightarrow 37(x+y)=2^b(2^k+1)(2)$
TH1:Với $k=0\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow 36x+y=36y+x\Leftrightarrow x=y$, thay $x=y$ vào (1) ta có:
$37x.37x=2^z$. PT vô nghiệm nguyên dương vì $37\not\vdots 2$
TH2:Với $k>0\Rightarrow 2^k+1$ lẻ, kết hợp với $ x+y\vdots 2$ nên từ (2) ta có cách phân tích duy nhất:
$\left\{\begin{matrix}37=2^k+1\\ x+y=2^b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2^k=36\\ x+y=2^b\end{matrix}\right.$ Hệ pt vô nghiệm nguyên dương do pt $2^k=36$ vô nghiệm nguyên dương $\Rightarrow $ phương trình (1) vô nghiệm nguyên dương

Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên dương

Kết quả:
D-B=21.7
E=10
F=1 * 10=10
S=66.3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 21-02-2012 - 22:17

[Nguyễn Hữu Huy]

Do MSS01 ko ra đề nên theo Điều lệ BTC ra đề:

Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
$$(36x + y)(36y + x) = 2^z.$$

Ta thấy
Do 2 là số nguyên tố
Nên
$36x + y = 2^n$ (1)

$36y + x = 2^m$ (2)

Trong đó $m + n = z$ ; $ m = n + a$

Lấy (1) + (2) ta có

$37(x + y) = 2^n(2^a + 1)$ $\Rightarrow 2^a + 1 \vdots 37$ (*)

Lấy (2) - (1)
$35(y - x) = 2^n(2^a -1)$ $\Rightarrow 2^a - 1 \vdots 35$ (*)(*)

(*) Dễ thấy $2^{36} - 1 \vdots 37$ (theo fecma)
$\Rightarrow 2^{18} + 1 \vdots 37$

a = 18 thì ko t/m (1) và (2)

Giả sử
$a = 18 + k$
Vậy thì $2^a - 2^{18} = 2^{18}(2^k - 1)$

Thấy $2^{36} - 1 \vdots 37 \Rightarrow k = 36r $
$\Rightarrow a = 18 + 36r$ (3)

(*)(*)
$2^{12} -1 \vdots 35 $
$\Rightarrow a = 12p (vì 2^a - 1 \vdots 35)$ (4)

từ (3) và (4) Thấy rằng

$12p = 18 + 36r \Rightarrow 18 \vdots 12$ (Vô lý)

Vậy ko tồn tại số a t/m đề bài

Chú ý : các ẩn số phụ k , p , r , m , n là các số nguyên dương

Kết quả:
Em chú ý nhé, trong bài, chưa chắc $a \geq 18$ nên em chưa có miền giá trị của $k$. Nếu $k<0$ thì sao?
D-B=22
E=5
F=0 * 10=0
S=41

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 21-02-2012 - 22:26

[Bong hoa cuc trang]

Bong hoa cuc trang xin giải bài của BTC :
Ta có phương trình :

$(36x+y)(36y+x)=2^z$
Nhận thấy $2$ là số nguyên tố nên từng thừa số ở vế trái phải chia hết cho $2$ .
Mà:
$36\vdots 2 => 36x\vdots 2$

=>$y$ $\vdots 2$

=> $y$ = { $2 ; 4 ; 6 ; 8 ; ..............$}

+)Khi $y= 2$ , ta có :
$(36x+2)(72+x)=2^z$
<=> $2592x+36x^2+144+2x=2^z$
=> $2594x+36x^2+9=2^{z-4}$
Nhận thấy 9 là số lẻ nên $\sum$ $2594x+36x^2$ cũng phải là số lẻ . ( vì lẻ + lẻ = chẵn )
Xảy ra 2 trường hợp sau :
TH1 : $x$ lẻ .
=> $\sum$ $2594x+36x^2$ chẵn . ( Loại )
TH2 : $x$ chẵn
=> $\sum$ $2594x+36x^2$ chẵn . (Loại) (*)
+) Khi $y=4$ , ta có :
$(36x+4)(144+x)=2^z$
<=> $5184x+36x^2+576+4x = 2^z$
=> $5188x+36x^2+9=2^{z-6}$
Nhận thấy 9 là số lẻ nên $\sum$ $5188x+36x^2$ cũng là số lẻ . (vì lẻ + lẻ = chẵn)
Xảy ra 2 trường hợp sau :
TH1 : $x$ lẻ
=> $\sum$ $5188x+36x^2$ chẵn . ( Loại )
TH2 : $x$ chẵn
=> $\sum$ $5188x+36x^2$ chẵn . ( Loại ) (**)
Từ (*) và (**) ta suy ra :
Khi $y$ = {$2 ; 4 ; 6 ; 8 ..............$} thì không tồn tại $x$ ; $z$ $\epsilon \mathbb{Z+}$
=> Phương trình này vô nghiệm

Kết quả:
Lời giải chưa chặt chẽ. Ý đồ của em là quy nạp theo $y$ nhưng tại sao lại không làm mà viết thế này?
D-B=22.6
E=7
F=0 * 10=0
S=46.4

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 21-02-2012 - 22:30

[minhtuyb]

Bài toán mở rộng của minhtuyb:
Tìm nguyện nguyên dương của phương trình:
$[2mx+(2n+1)y][(2m+1)x+2ny]=2^z$ (với $m,n$ là tham số, $m,n\in N*$)

Giải

Bài làm của minhtuyb:
-Từ $[2mx+(2n+1)y][(2n+1)x+2may]=2^z(1);m,n,z,a,b\geq 1\Rightarrow 2mx+(2n+1)y;(2n+1)x+2my\vdots 2\Rightarrow x,y\vdots 2\Rightarrow x+y\vdots 2$
-Đặt $2mx+(2n+1)y=2^a;(2n+1)x+2my=2^b(3)(a,b\in N*;a+b=z)$. Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\Rightarrow a=b+k(k\in N)$. Ta có:
$\left\{\begin{matrix}2mx+(2n+1)y=2^a=2^{b+k}\\(2n+1)x+2my=2^b\end{matrix}\right.$
Cộng vế với với của 2 phương trình trên, ta có:
$2mx+(2n+1)y+(2n+1)x+2my=2^{b+k}+2^b \Leftrightarrow (2m+2n+1)(x+y)=2^b(2^k+1)(2)$
TH1:Với $k=0\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow 2mx+(2n+1)y=(2n+1)x+2my\Leftrightarrow (x-y)(2m-2n-1)=0(3)$. Vì $2m-2n-1$ lẻ nên không xảy ra $2m-2n-1=0$ nên ta có $(3)\Leftrightarrow x=y$ thay $x=y$ và $a=b$ vào (1) ta có:
$(4m+1)^2.x^2=2^z$. PT vô nghiệm nguyên dương vì $4a+1\not\vdots 2$
TH2:Với $k>0\Rightarrow 2^k+1$ lẻ, kết hợp với $ x+y\vdots 2$ nên từ (2) ta có cách phân tích duy nhất:
$\left\{\begin{matrix}2m+2n+1=2^k+1\\ x+y=2^b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}m+n=2^{k-1}\\ x+y=2^b\end{matrix}\right.$
-Thay $2^b=x+y$ vào (3), ta có:
$(2n+1)x+2my=x+y\Leftrightarrow 2nx+2my=y$. Dễ thấy pt vô nghiệm vì $VT>VP$ với $\forall n,m,x,y\in N*$
Vậy pt tổng quát không có nghiệm nguyên

[yeutoan11]

Em xin tổng quát bài toán với k chẵn $> 0$ và $k \neq 2^n$ với n nguyên dương
thì PT $(kx+y)(ky+x)=2^z$ (1) vô nghiệm nguyên dương
CM :
Đặt $kx+y = 2^t$ $ky+x=2^h$ với $t+h=z$
không mất tính tổng quát giả sử $t \geq h\geq 0$
$2^t-2^h=(k-1)(x-y)$
$\Leftrightarrow 2^h(2^{t-h}-1)=(k-1)(x-y)$
* TH $t=h$
=> $x=y$
(1) $\Leftrightarrow (k+1)^2x^2=2^z$
k chẵn nên k+1 lẻ => vô nghiệm nguyên dương
*TH $t>h$
=> $h=0$
Vì nếu $h\neq 0$ thì $k-1 = 2^{t-h}-1$
$\Leftrightarrow k=2^{t-h}$ trái với giả thiết
=> ky+x = 1 mà k,y,z nguyên dương nên (1) vô nghiệm
Vậy với k chẵn $> 0$ và $k \neq 2^n$ với n nguyên dương thì (1) vô nghiệm nguyên dương

[Secrets In Inequalities VP]

Em nộp bài :
Giả sủ phương trình có nghiệm và $x_0$ , $y_0$ , $z_0$ là nghiệm nhỏ nhất của phương trình .
Ta có : $ (36x+y)(36y+x)= 2^{z}$ (1)
Vì $ 2^{z}$ là lũy thùa của 2 nên cả hai thùa số $ (36x+y)$ và$ (36y+x)$ đều fải là lũy thùa của 2
hay $ (36x+y)\equiv 0(mod 2)$ và $ (36y+x)\equiv 0(mod 2)$ hay x,y chia hết cho 2 .
Giả sủ phương trình có nghiệm và $x_0,y_0,z_0$ là nghiệm nhỏ nhất của phương trình .
Đặt $x_0=2x_1 , y_0=2y_1$ ( $x_1 ,y_1$ là số tụ nhiên )
$(1)\Leftrightarrow (72 x_1 +2 y_1)+(72 y_1+2 x_1)= 2^{ z_0 }$
$\Leftrightarrow (36 x_1 + y_1 )(36 y_1+ x_1)= 2^{ z_0 -2}$
Đặt $z_0-2=z_1\Rightarrow x_1 , y_1 , z_1$ cũng là nghiệm của PT , nhung điều này vô lí vì
$x_1<x_0 , y_1<y_0, z_1<z_0$.
Vậy PT đã cho vô nghiệm .
________________________________________________________________________________________
Bài tổng quát :Giải PT nghiệm nguyên duong .
$(kx + y)(ky + x) = p^z$
vs p là số nguyên tố , k là số tụ nhiên chia hết cho p nhg ko fải là lũy thùa của p.
CM hoàn toàn tuong tu nhu trên .

Kết quả:
D-B=30.5
E=10
F=1 * 10=10
S=57.5

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 23-02-2012 - 22:47

[yeutoan11]

Thế có chấm điểm " CHÍNH TẢ " không ạ

[daovuquang]

Anh cho em sửa lại bài làm được ko?
Đặt $36x+y=2^a (1); 36y+x=2^b.$ thì a+b=z.
Không giảm tính tổng quát, giả sử $x<y\rightarrow 2^a<2^b.$(đến đây ta có nhận xét nếu x=y thì VT lẻ, VP chẵn=>loại)
$(1)\rightarrow y=2^a-36x$
$\rightarrow 1295x=36.2^a-2^b=2^a(36-2^{b-a})$
$\rightarrow b-a$ trong khoảng từ 1 đến 5.
Thử từng trường hợp, ta đều thấy $36-2^{b-a}$ không chia hết cho 7, mà VT chia hết cho 7$\rightarrow$ PT vô nghiệm. X

Đây là mở rộng của em: tìm nghiệm nguyên
Nhận xét: $2^z>0\rightarrow VT>0.$
Tương tự như trên, đặt $36x+y=2^a; 36y+x=2^b.$
$\rightarrow y=2^a-36x, y=2^b-36y$
Vậy x,y khác 0 (do $2^a$ không chia hết cho $36\rightarrow 2^a-36x$ khác 0; tương tự với $2^b-36y$)
Phần còn lại làm giống bài giải trên.

Kết quả:
D-B=46.5
E=9.5
F=1 * 10=10
S=40

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 21-02-2012 - 22:13

[Mai Duc Khai]

Cách 1:
Xét thấy $x,y$ chia hết cho 2 nên:
Đặt $36x + y = {2^a}$ và $36y + x = {2^b}$
Trừ vế theo vế của 2 phương trình trên ta được $35\left( {x - y} \right) = {2^a} - {2^b} = {2^b}\left( {{2^{a - b}} - 1} \right)(1)$
Xét $a=b$ suy ra $x=y$ thay vào phương trình $(1)$ ta thấy vô nghiệm.
Xét $a>b$ suy ra $x>y \to 35 = {2^{a - b}} - 1$
Thay vào $(1)$ ta thấy vô nghiệm.
Vậy trong mọi trường hợp thì phương trình đã cho luôn vô nghiệm.
Cách 2: Gần giống bước đầu của cáh 1
Xét thấy $x,y$ chia hết cho 2 nên:
Đặt $36x + y = {2^a}$ và $36y + x = {2^b}$
Giải hệ trên ta được:

$x = \frac{{{{36.2}^a} - {2^b}}}{{1295}}$ và $y = \frac{{{{36.2}^b} - {2^a}}}{{1295}}$
Xét $x=y$ suy ra $a=b$. Thay vào pt ta thấy vô nghiệm
xét $x>y$ suy ra $a>b \Rightarrow y = \frac{{{2^b}(36 - {2^{a - b}})}}{{1295}}$
Mà $y>0$ nên $36-2^{a-b}>0$ suy ra $2^{a-b}<36$
Xét các giá trị của $a-b=1;a-b=2,...a-b=5$ ta thấy phương trình cũng vô nghiệm.
Vậy trong mọi trường hợp thì phương trình đã cho luôn vô nghiệm.
Cách 3: Cũng gần giống với cách 1 và cách 2
Xét thấy $x,y$ chia hết cho 2 nên $x+y$ cũng chia hết cho 2
Đặt $36x + y = {2^a}$ và $36y + x = {2^b}(1)$
Suy ra $a+b=z$.
Giả sử $a=b+k \to 36x + y = {2^a} = {2^{b + k}}(2)$
Cộng $(1)$ và $(2)$ ta có: $37\left( {x + y} \right) = {2^b}\left( {{2^k} + 1} \right)$
Vì $x+y$ chia hết cho 2 và $2^{k}+1$ lẻ nên ta chỉ có cách phân tích:

\[37 = {2^k} + 1;x + y = {2^b}\]
Tới đây ta biện luận tiếp và có kết quả giống cách 1 và cách 2
P/s: Cách này mình chưa nghiên cứu kĩ lắm

Kết quả:
D-B=47.9
E=8
F=0 * 10=0
S=24.1 +2=26.1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 21-02-2012 - 22:41

[E. Galois]

ĐÁP ÁN ĐỀ THI MSS2012 TRẬN 1

Giải phương trình nghiệm nguyên dương
$$(36x+y)(x+36y)=2^z,\,\,\(*)$$

Giải
Giả sử phương trình $(*)$ có nghiệm nguyên dương $(m;n;p)$. Khi đó, không làm mất tính tổng quát, ta giả sử $m \leq n$ và $m$ là số nguyên dương nhỏ nhất trong các số $x$ thỏa mãn $(*)$

Từ đó, dễ thấy $36m+n$ và $36n+m$ đều là các lũy thừa của $2$. Suy ra $m, n$ đều chia hết cho $4$. Đặt $m=4m'; n= 4n'$, ta có:
$$4(36m'+n').4(36n'+m') = 2^z$$
Tức là $m'$ cũng là một số nguyên dương thỏa mãn phương trình $(*)$ và $m'<m$. Điều này mâu thuẫn với điều giả sử ban đầu. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm nguyên dương

[E. Galois]

Đề nghị trọng tài perfectstrong chấm điểm trực tiếp vào bài làm của các thí sinh

[minhtuyb]

Không nghĩ đến việc dùng phương pháp này, lời giải mọi người đa số đều dài cả
Mà em tưởng em Toàn cũng tham gia việc chấm bài chứ nhỉ, sao có mỗi anh Hân thôi à

[perfectstrong]

Anh Galois và mọi người,
Mình đã chấm xong và có nhận xét với một số bài giải.
Sau đợt chấm điểm đầu tiên này, nếu có thắc mắc thì liên hệ với mình, mình sẽ giải đáp.

[Mai Duc Khai]

Mình được giải bét! Là la lá

[E. Galois]

BTC thông báo:

BẢNG XẾP HẠNG SAU TRẬN I

MSS03 yeutoan11: 70
MSS09 minhtuyb: 66.3
MSS02 Cao Xuân Huy: 62.2
MSS05 Secrets In Inequalities VP: 57.5
MSS08 bong hoa cuc trang: 46.4
MSS16 Nguyễn Hữu Huy: 41
MSS14 daovuquang 40
MSS06 maikhaiok 26.1
MSS04 nguyenta98ka: 0
MSS07 cvp: 0
MSS10 duongld: 0
MSS11 tuilatrai123: 0
MSS12 Nguyễn Văn Bảo Kiên: 0
MSS13 nguyentrunghieua: 0
MSS15 HVADN: 0
MSS01 SubjectMath -10

Các thí sinh có thời gian từ bây giờ đến hết ngày thứ Năm để phúc khảo kết quả, bình luận về bài làm của nhau

p/s:
- Cảm ơn Hân đã chấm bài rất cẩn thận, rõ ràng.
- MSS02 chuẩn bị ra đề nhé

[Zaraki]

Cái này tự dưng chán lại mò mẫm ra một lời giải nữa:
Đặt $x=2^c \cdot p, \; y=2^d \cdot q$, với $p,q$ lẻ. Không mất tính tổng quát, giả sử $c \ge d$. Ta có
$$36x+y=36 \cdot 2^cp+2^dq=2^d(36 \cdot 2^{c-d}p+q).$$
Do đó $$(36x+y)(36y+x)=2^d(36 \cdot 2^{c-d}p+q)(36y+x)$$
có một thừa số lẻ là $36 \cdot 2^{c-d}p+q$, nên $(36x+y)(36y+x)$ không thể là lũy thừa của $2$.
Vậy phương trình vô nghiệm.