Chủ đề này có 9 trả lời

[minhtuyb]

Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao để)

Câu 1:<4 đ>
Tìm hai số $x,y$ nguyên thoả mãn $x^2-xy=7x-2y-15$

Câu 2:<3 đ>
Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}=\frac{2}{3}\\ (x+y)(1+\frac{1}{xy})=6\end{matrix}\right.$

Câu 3:<5 đ>
Cho hình thang $ABCD(AB//CD)$. Trên đáy lớn AB lấy điểm M không trùng với các đỉnh. Qua M kẻ các đường thẳng song song với AC và BD, các đường thẳng này cắt hai cạch BC, AD lần lượt tại E và F. Đoạn EF cắt AC và BD lần lượt tại I và J. Gọi H là trung điểm của IJ.
a. Chứng minh rằng: $FH=HE$
b. Cho $AB=2CD$. Chứng minh rằng: $EJ=JI=IF$

Câu 4:<3 đ>
Cho đường tròn O và một dây cung $AB(O\not\in AB)$. Các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn cắt nhau tại C. Kẻ dây cung CD của đường tròn đường kính $OC(D\neq A,B)$. Dây cung CD cắt cung AB của đường tròn (O) tại E (E nằm giữa C và D).
a. Chứng minh: $\widehat{BED}=\widehat{DAE}$
b. Chứng minh: $DE^2=DA.DB$

Câu 5:<2 đ>
Cho $S=\frac{1}{\sqrt{1.2012}}+\frac{1}{\sqrt{2.2011}}+...+\frac{1}{\sqrt{k(2012-k+1)}}+...+\frac{1}{\sqrt{2012.1}}, (k\in \mathbb{N};1\leq k\leq 2012)$
So sánh S và $\frac{4024}{2013}$

Câu 6:<3 đ>
Cho $x,y,z$ là ba số dương thoả mãn $xyz=1.$
Chứng minh rằng:$\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{z+1}+\frac{z^2}{x+1}\geq \frac{3}{2}$

Bỏ hai bài hình............. Đời ta coi như xuống dốc

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 03-03-2012 - 16:16

[hoangtrong2305]

Câu 2:<3 đ>
Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}=\frac{2}{3}\\ (x+y)(1+\frac{1}{xy})=6\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}=\frac{2}{3}\\ (x+y)(1+\frac{1}{xy})=6\end{matrix}\right.$


$\left\{\begin{matrix}\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}=\frac{2}{3}\\ x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}=6\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}=\frac{2}{3}\\ \frac{x^{2}+1}{x}+\frac{y^{2}+1}{y}=6\end{matrix}\right.$

Đặt:

$\left\{\begin{matrix} \frac{x^{2}+1}{x}=a\Rightarrow \frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1}{a}\\ \frac{y^{2}+1}{y}=b\Rightarrow \frac{y}{y^{2}+1}=\frac{1}{b} \end{matrix}\right.$

Thay vào phương trình:

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{3}\\ a+b=6 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} 3(a+b)=2ab\\ a+b=6 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ab=9\\ a+b=6 \end{matrix}\right.$

Áp dụng hệ thức $Viete$, nghiệm $a$ và $b$ ứng với nghiệm của phương trình

$x^{2}-6x+9=0$

$\Rightarrow x=a=b=3$

Với $a=3$, ta có phương trình sau:

$\frac{x^{2}+1}{x}=3$

$\Leftrightarrow x^{2}-3x+1=0$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\ x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}$


Với $b=3$, ta có phương trình sau:

$\frac{y^{2}+1}{y}=3$


$\Leftrightarrow y^{2}-3y+1=0$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} y=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\ y=\frac{3-\sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}$

Vậy ta có $4$ cặp nghiệm $(x,y)$ gồm:

$$\boxed{(\frac{3+\sqrt{5}}{2};\frac{3+\sqrt{5}}{2});(\frac{3+\sqrt{5}}{2};\frac{3-\sqrt{5}}{2});(\frac{3-\sqrt{5}}{2};\frac{3+\sqrt{5}}{2});(\frac{3-\sqrt{5}}{2};\frac{3-\sqrt{5}}{2})}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 03-03-2012 - 17:27

[Ispectorgadget]

Câu 6:<3 đ>
Cho $x,y,z$ là ba số dương thoả mãn $xyz=1.$
Chứng minh rằng:$\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{z+1}+\frac{z^2}{x+1}\geq \frac{3}{2}$

Câu này khá quen thuộc $\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\geq x$
CMTT ta có: $\frac{y^2}{z+1}+\frac{z+1}{4}\geq y$
$\frac{z^2}{x+1}+\frac{x+1}{4}\geq z$
Từ đây suy ra $$VT\geq x+y+z-\frac{1}{4}(x+y+z)-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}(x+y+z)-\frac{3}{4}\geq \frac{3}{2}$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$

[yeutoan11]

a) Ta có : $\frac{FI}{IE}=\frac{FK}{KM}=\frac{DO}{OB}$
$\frac{EJ}{JF}=\frac{EL}{LM}=\frac{CO}{OA}$
Mà $\frac{CO}{OA}=\frac{DO}{OB}$
=> $\frac{FI}{IE}=\frac{EJ}{JF}$
$\Rightarrow FI.FJ=EI.EJ$
Mà H trung điểm
$(FH-\frac{IJ}{2})(FH+\frac{IJ}{2})=(EH-\frac{IJ}{2})(EH+\frac{IJ}{2})$
$\Rightarrow FH=EH (DPCM)$
b) $\frac{DO}{OB}=\frac{CD}{AB}=\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{FI}{IE}=\frac{1}{2} \Rightarrow EF=FI+IE=3FI$
Tương tự EF=3EJ
=> ĐPCM
P/S : chú bỏ câu này phí điểm quá

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan11: 03-03-2012 - 18:40

[NLT]

Bài bất đẳng thức, ngoài cách dùng AM-GM như của bạn Ispectorgadget, mình cũng có một cách khác, cách này dùng Cauchy-Schwartz:
và thật dễ dàng, theo Cauchy-Schwartz, ta có:
$VT \ge \frac{{\left( {x + y + z} \right)^2 }}{{x + y + z + 3}}$

Đến đây, ta đặt $t=x+y+z(t>0)$, dễ thấy$t \ge 3$
Và hiển nhiên, ta có bất đẳng thức
$(t - 3)(2t + 3) \ge 0$
Từ đó suy ra, $$\frac{{t^2 }}{{t + 3}} \ge \frac{3}{2}$$
Và ta có ngay, VT$\ge \frac{3}{2}$
(đpcm)

MOD: Lần sau chú ý hơn cách trình bày.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 03-03-2012 - 21:11

[thukilop]

Câu 4 chủ thớt có làm được không vậy
Mình chưa biết vẽ hình nên mình nói sơ qua thôi (bài toán không có vẽ thêm đường phụ)

a) Trước hết chứng minh A,O,C,B cùng nằm trên đường tròn đường kính OC
-Ta có $\widehat{DEC}= \widehat{DCB}+\widehat{EBC} $ (góc ngoài tam giác)
mà $\widehat{DCB}=\widehat{DAB}$ (cùng chắn cung DB)
$\widehat{EBC}= \widehat{BAE}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi t/t cùng chắn cung EB)
=> dpcm
b) chỉ cần chứng minh tam giác DAE đồng dạng tam giác DEB thôi
p/s: hinh hơi ngược,mọi người thông cảm:D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thukilop: 04-03-2012 - 00:14

[le_hoang1995]

Câu 5 mình làm theo AM-GM

$S=\sum_{k=1}^{2012}\frac{1}{\sqrt{k(2012-k+1)}}\geq \sum_{k=1}^{2012}\frac{2}{2013}=\frac{4024}{2013}$

Dễ thấy dấu bằng không xảy ra.

Suy ra $S>\frac{4024}{2013}$

[Zaraki]

Câu 1. $x^2-xy=7x-2y-15$
C1: $pt \iff (x-2)(x-5-y)=-5$
C2: $y=\frac{x^2-7x+15}{x-2}= \frac{(x-5)(x-2)+5}{x-2}$
Kết luận. $\boxed{ (x,y) \in \{ (-3,-9),(1,-9),(3,3),(7,3) \} }$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 04-03-2012 - 10:03

[PSW]

Đề này giải nhất là bao nhiêu điểm trở lên thế ?

[banhgaongonngon]

Giải nhất là 20đ