Chủ đề này có 16 trả lời

[Ispectorgadget]

ĐỀ THI HSG LỚP 12 TPHCM NĂM HỌC 2011-2012

Bài 1: Giải các phương trình sau: (4 điểm)
a) $\sin 2x+\cos 2x+\tan x=2$
b) $\sin^3 \left( x-\dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin x$

Bài 2: Giải các phương trình sau: (4 điểm)
a) $x^3-x^2-10x-2=\sqrt[3]{7x^2+23x+12}$
b) $(3x+2)\sqrt{2x-3}=2x^2+3x-6$

Bài 3: (4 điểm)
a) Cho các số thực $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh: $$\dfrac{1}{a+b+1}+\dfrac{1}{b+c+1}+\dfrac{1}{c+a+1}\le 1$$
b) Cho các số thực $a,b,c\in [-1;2]$ và $a+b+c=0$. Chứng minh $a^2+b^2+c^2 \le 6$

Bài 4: (3 điểm)
Cho hình chóp $S.ABCD$ có cạnh đều bằng $a$. Gọi $M$ là 1 điểm trên cạnh $CD$ sao cho $CCM=\dfrac{1}{3}CD$. Tính theo $a$ bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.AMB$.

Bài 5: (2 điểm)
Cho các số thực $x,y,z\in (0;1)$ và $xy+yz+zx=1$. Chứng minh $$\dfrac{x}{1-x^2}+\dfrac{y}{1-y^2}+\dfrac{z}{1-z^2}\ge \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$$

Bài 6: Giải hệ phương trình sau: (3 điểm)
$$\begin{cases}x^2y^2+2y^2+4=7xy\\x^2+2y^2+6y=3xy^2\end{cases}$$

____________Hết______________

Nguồn: mathscope

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 07-10-2012 - 13:03

[supermember]

Đề này chắc 20 điểm phải ít nhất là 20 người

[Nguyễn Hưng]

Đề năm nay đã trở lại đúng tầm HSGTP, không còn những câu "HSGQG" hay "dự tuyển IMO" như năm ngoái nữa

[hung0503]

Đề năm nay đã trở lại đúng tầm HSGTP, không còn những câu "HSGQG" hay "dự tuyển IMO" như năm ngoái nữa

Anh ơi, vậy sao cái câu pt e ko làm đc mới đau chứ ><
Cứ tưởng nó khó, ko ngờ chỉ cần bình phương
AAAAaaaaaaaaaaaaaa

[Ispectorgadget]

Đây là 1 số câu
Câu 2
a)

.Còn câu 8 thì chỉ là biến đổi đưa về hàm:
$$f(x+2)=f(\sqrt[3]{7x^2+23x+12})$$
Với $f(t)=t^3+t$
Ý kiến của các bạn như thế nào ?

Câu 3:

Chứng minh: $$\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{a+c+1}\leq \frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}$$
Đây là lời giải trong cuốn Old and new Inequality.
Đặt $x=a+b+c;y=ab+bc+ac$
BĐT cần chứng minh $$\Leftrightarrow \frac{x^2+4x+y+3}{x^2+2x+y+xy}-1\leq \frac{12+4x+y}{9+4x+2y}-1$$
$$\Leftrightarrow \frac{2x+3-xy}{x^2+2x+y+xy}\leq \frac{3-y}{9+4x+2y}$$
Khúc này không biết dịch sao đành phải ghi thành tiếng Anh vậy
For the last inequality, we clear denominators. Then using the inequality $x\geq 3;y\geq 3;x^2\geq 3y$, we have
$$\frac{5}{3}x^2y\geq 5x^2;\frac{x^2y}{3}\geq y^2;xy^2\geq 9x;5xy\geq 15x;xy\geq 3y$$
Từ đây ta có đpcm.

! cách giải khác cũng hơi trâu bò xíu
Sử dụng 1 BĐT hiển nhiên sau:
$$\frac{2}{a+2}-\frac{b}{ab+b+1}-\frac{1}{a+b+1}=\frac{a(b-1)^2}{(a+2)(ab+b+1)(a+b+1)} \ge 0$$
Và 1 đẳng thức quen thuộc:
$$\frac{a}{ca+a+1}+\frac{b}{ab+b+1}+\frac{c}{bc+c+1}=1$$
Nên ta có:
$$\sum \frac{1}{a+2}-\sum \frac{1}{a+b+1} \ge 1-\sum \frac{1}{a+2}$$
Như vậy ta chỉ cần chứng minh:
$$\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2} \le 1$$
BĐT này chúng ta đã chứng minh ở trên,nên ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$.

P/s:@Kiên:Khúc cuối dịch là:"Với BĐT cuối,ta quy đồng và sử dụng các BĐT:$x \ge 3;y \ge 3;x^2 \ge 3y$,ta có:
$$\frac{5}{3}x^2y\geq 5x^2;\frac{x^2y}{3}\geq y^2;xy^2\geq 9x;5xy\geq 15x;xy\geq 3y$$."

Câu 3 b có trong topic BĐT THCS (2)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 14-03-2012 - 22:13

[Ispectorgadget]

Câu 5:

Đề này chỉ làm được câu này
Vì $0 < x < 1 \Rightarrow 1 - x^2 > 0$ áp dụng BĐT AM-GM
$\frac{2}{3} = \frac{{2x^2 + (1 - x^2 ) + (1 - x^2 )}}{3} \ge \sqrt[3]{{2x^2 (1 - x^2 )^2 }} \Rightarrow \frac{2}{{3\sqrt 3 }} \ge x(1 - x^2 )$
$ \Rightarrow \frac{x}{{1 - x^2 }} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{2}x^2$
Tương tự rồi cộng lại
Khi đó \[
P \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{2}(x^2 + y^2 + z^2 ) \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{2}(xy + yz + zx) = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}
\]
\[
\Rightarrow P_{\min } = \frac{{3\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow x = y = z = \frac{1}{{\sqrt 3 }}
\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 14-03-2012 - 22:12

[NGOCTIEN_A1_DQH]

bài này có thể lượng giác hóa như sau:
đặt $ x=tan\frac{A}{2}; y=tan\frac{B}{2}, z=tan\frac{C}{2} $ với $ A,B,C $ là 3 góc của 1 tam giác
thì bdt cần chứng minh trở thành:
$ tanA+tanB+tanC \geq 3\sqrt{3} $
đây là BDT quá quen thuộc trong tam giác

[hoangtrong2305]

Bài 2: Giải các phương trình sau: (4 điểm)
b) $(3x+2)\sqrt{2x-3}=2x^2+3x-6$

$$(3x+2)\sqrt{2x-3}=2x^2+3x-6$$

ĐIỀU KIỆN: $x\geq \frac{3}{2}$

$(3x+2)\sqrt{2x-3}=2x^2+3x-6$

Đặt $t=\sqrt{2x-3}$

Pt $\Leftrightarrow (3x+2)t=2x^{2}+x-3+t^{2}$

$\Leftrightarrow t^{2}-(3x+2)t+2x^{2}+x-3=0$

$\Delta =(3x+2)^{2}-4(2x^{2}+x-3)$

$\Delta =x^{2}+8x+16$

$\Delta =(x+4)^{2}> 0$

$\begin{bmatrix} t=2x+3\\ t=x-1 \end{bmatrix}$

Với $t=2x+3$

$\Leftrightarrow t^{2}-t=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=0\\ t=1 \end{bmatrix}$

* $t=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$ (nhận)

* $t=1\Leftrightarrow x=2$ (nhận)

Với $t=x-1$

$\Leftrightarrow \sqrt{2x-3}=x-1$

$\Leftrightarrow x^{2}-4x+4=0$

$\Leftrightarrow x=2$ (nhận)

Thử lại, ta nhận kết quả:

$$\boxed {x=2}$$

[dark templar]

Ức chế câu Lượng Giác đầu thật.Làm lộn nghiệm
P/s:Nhắm Thủ Khoa thử xem

[hoangtrong2305]

Bài 2: Giải các phương trình sau: (4 điểm)
a) $x^3-x^2-10x-2=\sqrt[3]{7x^2+23x+12}$

$$x^3-x^2-10x-2=\sqrt[3]{7x^2+23x+12}$$

$(x+2)^{3}-(7x^{2}+22x+10)=\sqrt[3]{7x^2+22x+10+(x+2)}$

Đặt:

$u=x+2$

$v=\sqrt[3]{7x^2+22x+10+(x+2)}$

Ta có hệ sau:

$\left\{\begin{matrix} u^{3}-(7x^2+22x+10)=v\\ v^{3}-(7x^2+22x+10)=u \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow u^{3}+v^{3}=v-u$

$\Leftrightarrow (u-v)(u^{2}+uv+v^{2}+1)=0$

TH1:

$u^{2}+uv+v^{2}+1=0$

Ta có $v=0$ không phải nghiệm của phương trình

$\Delta= -3v^{2}<0$

Vậy phương trình vô nghiệm


TH2:

$u-v=0$

$\Leftrightarrow u=v$

$\Rightarrow x+2=\sqrt[3]{7x^{2}+22x+10+(x+2)}$

$\Leftrightarrow x^{3}-x^{2}-11x-4=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=4\\ x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}\\ x=\frac{-3-\sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}$



KẾT LUẬN: Phương trình có $3$ nghiệm:

$$\boxed{\begin{bmatrix} x=4\\ x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}\\ x=\frac{-3-\sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}}$$

[hoangtrong2305]

ĐỀ THI HSG LỚP 12 TPHCM NĂM HỌC 2011-2012
Bài 1: Giải các phương trình sau: (4 điểm)
a) $\sin 2x+\cos 2x+\tan x=2$

$$\sin 2x+\cos 2x+\tan x=2$$

ĐK:...............................

$\sin 2x+\cos 2x+\tan x=2$

$\Leftrightarrow \sin 2x\cos x+\cos 2x\cos x+\sin x=2\cos x$

$\Leftrightarrow 2\sin x\cos^{2}x+2\cos^{3}x-3\cos x+\sin x=0$

$\Leftrightarrow 2\sin x\cos^{2}x+2\cos^{3}x-3\cos x(\sin^{2}x+cos^{2}) +\sin x(\sin^{2}x+cos^{2})=0$

$\Leftrightarrow \sin^{3}x+3\sin x\cos^{2}x-3\sin^{2}x\cos x -\cos^{3} x=0$

đến đây dễ rồi



-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bài 1: Giải các phương trình sau: (4 điểm)
b) $\sin^3 \left( x-\dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin x$

$$\sin^3 \left( x-\dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin x$$


$\Leftrightarrow 2\sqrt{2}\sin^3 \left( x-\dfrac{\pi}{4}\right) = 4\sin x$

$\Leftrightarrow (\sin x - \cos x)^{3} = 4\sin x(\sin^{2}x+\cos^{2}x)$

$\Leftrightarrow \cos^{3}x-\sin x\cos^{2}x-3\sin^{2}x\cos x+\cos ^{3}x=0$

$\Leftrightarrow.........................................$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 16-03-2012 - 19:21

[longqnh]

ĐỀ THI HSG LỚP 12 TPHCM NĂM HỌC 2011-2012
b) Cho các số thực $a,b,c\in [-1;2]$ và $a+b+c=0$. Chứng minh $a^2+b^2+c^2 \le 6$

$a \in [-1;2] => (a+1)(2-a)\geq 0 => a^{2}\leq a+2$
Tương tự rồi cộng lại
$=>a^2+b^2+c^2\leq 6+a+b+c=6$
$=>a^2+b^2+c^2\leq 6$ (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longqnh: 02-08-2012 - 14:17

[longqnh]

$$\sin 2x+\cos 2x+\tan x=2$$

ĐK:...............................

$\sin 2x+\cos 2x+\tan x=2$

$\Leftrightarrow \sin 2x\cos x+\cos 2x\cos x+\sin x=2\cos x$

$\Leftrightarrow 2\sin x\cos^{2}x+2\cos^{3}x-3\cos x+\sin x=0$

$\Leftrightarrow 2\sin x\cos^{2}x+2\cos^{3}x-3\cos x(\sin^{2}x+cos^{2}) +\sin x(\sin^{2}x+cos^{2})=0$

$\Leftrightarrow \sin^{3}x+3\sin x\cos^{2}x-3\sin^{2}x\cos x -\cos^{3} x=0$

đến đây dễ rồi



-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Làm như này nhanh hơn:
ĐK: ...................................................
Đặt $t=tanx$
\[ => \left\{ \begin{array}{l}
{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} \\
\cos 2x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} \\
\end{array} \right.\]
PT trở thành:
\[{t^3} - 3{t^2} + 3t - 1 = 0\]
Giải $t$ sau đó trả giá trị lại, ta được pt cơ bản theo $tanx$ và dễ dàng giải được kết quả.

[dragonkhoa]

câu hpt giải sao zdi

[Ispectorgadget]

Bài 6: Giải hệ phương trình sau: (3 điểm)
$$\begin{cases}x^2y^2+2y^2+4=7xy\\x^2+2y^2+6y=3xy^2\end{cases}$$

Đây chắc là câu khó nhất đề này.
$x^2y^2+2y^2+4=7xy \iff (xy-2)^2=3xy-2y^2$
Từ $x^2+2y^2+6y=3xy^2\Leftrightarrow \frac{x^2+2y^2}{3y}=xy-2$
Thay vào ta có $\begin{pmatrix}
\frac{x^2+2y^2}{3y}
\end{pmatrix}^2=3xy-2y^2$
Chia 2 vế cho $y^2$ ta có $(\frac{x^2}{3y^2}+\frac{2}{3})=3\frac{x}{y}-2$
Đặt $t=\frac{x}{y}$ giải nốt cái này là xong ! Nghiệm ra khá đẹp

[25 minutes]

Bai3 mình làm thế này có vẻ đơn giản hơn
Đặt a=$x^{3},b= y^{3},c= z^{3}\Rightarrow xyz=1$
Ta có: $x^{3}+y^{3}\geq xy\left ( x+y \right )\Rightarrow x^{3}+y^{3}+1=x^{3}+y^{3}+xyz\geq xy\left ( x+y+z \right )\Rightarrow \frac{1}{x^{3}+y^{3}+1}\leq \frac{1}{xy\left ( x+y+z \right )}= \frac{z}{x+y+z}$
Tuong tu cho 2 bdt con lai ta suy ra dieu can chung minh?

[Ispectorgadget]

Đây là phần đề với đáp án mình tổng hợp lại .
 de thi HSG.pdf   134.9K   918 Số lần tải