Chủ đề này có 25 trả lời

[hola0905]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TS VÀO LỚP 10 THPT
ĐĂK LẮK NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi :TOÁN CHUYÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150p,không kể thời gian giao đề

Bài 1.(3 điểm)
1)Giải phương trình$\sqrt{x-2\sqrt{x-1}} +\sqrt{x-1}=3$
2)Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} \frac{x}{y} -\frac{8}{x^2y}=2& \\ \frac{y}{x}-\frac{8}{xy^2}=2& \end{matrix}\right.$
Bài 2.(2,0 điểm)
1) Tìm giá trị của m dương để phương trình $x^{3}-(m+1)x^2+(m+2)x-2=0$ có 3 nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2},x_{3}$ sao cho$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}=3$
2) cho x,y là số thực tùy ý.Chứng minh rằng
$x^4+y^4+4x^2y^2\geq 3(x^3y+xy^3)$
Bài 3.(2,0 điểm)
1) Cho 2 số nguyên dương a,b thỏa mãn $\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}$ là số nguyên. Chứng minh rằng ước số chung lớn nhất của a và b không lớn hơn$\sqrt{a+b}$
2) Tìm số tự nhiên x,y thỏa mãn $4^x +17=y^2$
Bài 4.(2,0 điểm)
Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O.Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa đường tròn đường kính AB và nửa đường tròn (O') đường kính AO.Trên (O') lấy điểm M ( khác A và O),tia OM cắt (O) tại N,gọi P là giao điểm thứ hai của AN với (O').
1) Chứng minh tam giác APM câm.
2) Đường thẳng AM cắt OP tại H.Đường tròn ngoại tiếp tam giác NOH căt (O) tại điểm thứ hai là Q.Chứng minh A,M,Q thẳng hàng.
3) Cho $\widehat{QAB}=60^0$. Chứng minh AQ=6HM
Bài 5.(1,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A và $\widehat{A}=36^0$. Chứng minh$\frac{AB}{BC}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 01-07-2012 - 13:26

[Ispectorgadget]

Đề này cũng dễ thở
Bài 1:Điều kiện $x\geq 1$
Phương trình đã cho $\Leftrightarrow |\sqrt {x-1}+1|+\sqrt{x-1}=3$
\[
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x - 1} + 1 = 3 - \sqrt {x - 1} \\
\sqrt {x - 1} + 1 = - 3 + \sqrt {x - 1} (l) \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2
\]
Bài 3:
a) Gọi d là ước cũa a,b
Quy đồng ta được $\frac{a^2+b^2+a+b}{ab}$ là số nguyên nên $a^2+b^2+a+b$ chia hết cho ab
mà $ab\vdots d^2$ do đó $a^2+b^2+a+b\vdots d^2$
Mặt khác lại có $a^2+b^2\vdots d^2$ (do d là ước của a và b)
Do vậy $a+b\vdots d^2\Rightarrow a+b\geq d^2\Rightarrow \sqrt{a+b}\geq d$
Từ đây suy ra điều cần chứng minh $\blacksquare$

[Ispectorgadget]

Bài 2.(2,0 điểm)
2) cho x,y là số thực tùy ý.Chứng minh rằng
$x^4+y^4+4x^2y^2\geq 3(x^3y+xy^3)$

Bất đẳng thức đã cho $\Leftrightarrow a^4-2a^2b^2+b^4+a^4-a^3b+b^4-ab^3\geq 0$
$$\Leftrightarrow (a^2-b^2)^2+(a^3-b^3)(a-b)\ge 0$$
$$\Leftrightarrow (a-b)^2[3(a+b)^2+a^2+b^2]\ge 0$$
Vì thế Bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b$ $\blacksquare$

Bài 5 để chừng nào rảnh chém

[L Lawliet]

Làm bài hình nha mọi người (hình không biết cách up mọi người thông cảm )
a) Ta có: $\Delta ANO$ cân tại O (AO và ON là bán kính của đường tròn tâm O); $\angle APO=90o$ (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn tâm O')
$\Rightarrow \angle APO=\angle PON$ (hệ quả góc nội tiếp) hay $\Delta APM$ cân tại P (ĐPCM)
b) Gọi giao điểm của O'P với AM là K
Ta có: $\angle AQB=90o$ (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn tâm O);
$\angle AMO=90o$ (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn tâm O');
$\angle AKO'=90o$ (O'K là đường trung bình của $\Delta AMO$)
Vậy theo tiên đề Ơ-clit ta có ĐPCM
c) Đang suy nghĩ làm sau nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 13-04-2012 - 19:42

[hoangtrong2305]

Bài 1.(3 điểm)
2)Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} \frac{x}{y} -\frac{8}{x^2y}=2& \\ \frac{y}{x}-\frac{8}{xy^2}=2& \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} \frac{x}{y} -\frac{8}{x^2y}=2& \\ \frac{y}{x}-\frac{8}{xy^2}=2& \end{matrix}\right.$

ĐIỀU KIỆN: $\left\{\begin{matrix} x\neq 0\\ y\neq 0 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} \frac{x}{y} -\frac{8}{x^2y}=2& \\ \frac{y}{x}-\frac{8}{xy^2}=2& \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{3}-8=2x^{2}y\\ y^{3}-8 =2xy^{2}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x^{3}-y^{3}=2x^{2}y-2xy^{2}$

$\Leftrightarrow (x-y)(x^{2}-xy+y^{2})=0$

$\Leftrightarrow (x-y)(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})=0$

$\Leftrightarrow (x-y)(x^{3}+y^{3})=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x-y=0\\ x^{3}+y^{3}=0 \end{bmatrix}$


Đến đây đơn giản rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 18-03-2012 - 08:22

[L Lawliet]

Bài 2.(2,0 điểm)
1) Tìm giá trị của m dương để phương trình $x^{3}-(m+1)x^2+(m+1)x-2=0$ có 3 nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2},x_{3}$ sao cho$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}=3$

Giải quyết cho xong cái đề này luôn .
Bài 2:
Đầu tiên ta CM hệ thức Vi-ét cho phương trình bậc ba. Các bạn xem ở đây:
http://thinhlong.inf...read.php?t=5161
Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình bậc ba ta có:
$x_{1}+x_{2}+x_{3}=m+1$
$x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}=m+1$
$x_{1}x_{2}x_{3}=2$
Ta có:
$$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}=\frac{x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}}{x_{1}x_{2}x_{3}}=3$$
$$\Leftrightarrow \frac{m+1}{2}=3$$
$$\Leftrightarrow m=5$$
Thử lại ta thấy giá trị $m$ vừa tìm được thỏa mãn.
P/s: Đó là cách làm của mình tuy nhiên mình nghĩ vẫn chưa hay nên mong có cách giải khác .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 30-03-2012 - 17:19

[NTHMyDream]

bài 2: $x^{3}-(m+1)x^{2}+(m+2)x-2=0$
$(x+1)(x^{2}-mx+2)=0$
$\begin{bmatrix} x-1=0\\ x^{2}-mx+2=0 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} x_{1}=1\\ x^{2}-mx+2=0(1) \end{bmatrix}$
pt có 3 nghiệm khi(1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1
$\begin{bmatrix} \triangle > 0\\ 1^{2}-m.1+2\neq 0 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} m> 2\sqrt{2} hoac m< -2\sqrt{2} \\ m\neq 3 \end{bmatrix}$
theo Viet ta có $x_{2}+x_{3}=m$
$x_{2}x_{3}=2$
$\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}+\frac{1}{x_{3}^{2}}$=3
$1+\frac{(x_{2}+x_{3})^{2}-2x_{2}x_{3}}{(x_{2}x_{3})^{2}}$=3
$\frac{m^{2}-4}{4}=2$
$m=\pm 2\sqrt{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnThuy: 20-05-2012 - 20:46

[L Lawliet]

bài 2: $x^{3}-(m+1)x^{2}+(m+2)x-2=0$
$(x+1)(x^{2}-mx+2)=0$
$\begin{bmatrix} x-1=0\\ x^{2}-mx+2=0 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} x_{1}=1\\ x^{2}-mx+2=0(1) \end{bmatrix}$
pt có 3 nghiệm khi(1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1
$\begin{bmatrix} \triangle > 0\\ 1^{2}-m.1+2\neq 0 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} m> 2\sqrt{2} hoac m< -2\sqrt{2} \\ m\neq 3 \end{bmatrix}$
theo Viet ta có $x_{2}+x_{3}=m$
$x_{2}x_{3}=2$
$\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}+\frac{1}{x_{3}^{2}}$=3
$1+\frac{(x_{2}+x_{3})^{2}-2x_{2}x_{3}}{(x_{2}x_{3})^{2}}$=3
$\frac{m^{2}-4}{4}=2$
$m=\pm 2\sqrt{3}$

Bạn có nhầm lẫn gì không chứ khi thay $x=-1$ vào thì phương trình lúc đầu đâu đúng? Khi phân tích thì là $(x+1)$ mà sao lát sau lại là $(x-1)$ vậy?

[minhtuyb]

Bài 5.(1,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A và $\widehat{A}=36^0$. Chứng minh$\frac{AB}{BC}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Đề này dễ thở . Bài 5 ở đây: http://diendan.hocma...571#post1800571

[NTHMyDream]

Bạn có nhầm lẫn gì không chứ khi thay $x=-1$ vào thì phương trình lúc đầu đâu đúng? Khi phân tích thì là $(x+1)$ mà sao lát sau lại là $(x-1)$ vậy?

hjhj` nhầm thật.chỗ dòng 2 (x-1) thành (x+1). kết quả vẫn đúng chứ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnThuy: 22-05-2012 - 07:46

[L Lawliet]

2) Tìm số tự nhiên x,y thỏa mãn $4^x +17=y^2$

Giải luôn câu này cho rồi (không biết có bị gọi là đào mộ không )
$$4^x+17=y^2$$
$$\Leftrightarrow y^2-2^{2x}=17$$
$$\Leftrightarrow (y+2^x)(y-2^x)=17$$
Mà $17=1.17=(-1).(-17)$
Mặt khác $x$, $y$ là số tự nhiên nên $\Leftrightarrow (y+2^x)(y-2^x)=1.17$ và $y+2^x>y-2^x\Rightarrow y+2^x=17;y-2^x=1$
Giải hệ trên ta tìm được $x=3$, $y=3$
Vậy phương trình có nghiệm nguyên $(x;y)$ là $(3;3)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 13-06-2012 - 11:26

[tubmt97]

bài 2: $ x^{3}-(m+1)x^{2}+(m+2)x-2=0 $

Đề mà như vậy thì Lawliet chẳng chỉ ra cái link chứng minh Vi-et (hình như đó là web bán vé máy bay, mình không tìm thấy chỗ chứng minh Vi-et) kia làm gì cả.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tubmt97: 13-06-2012 - 18:27

[L Lawliet]

Đề mà như vậy thì Lawliet chẳng chỉ ra cái link chứng minh Vi-et (hình như đó là web bán vé máy bay, mình không tìm thấy chỗ chứng minh Vi-et) kia làm gì cả.

Mình chứng minh luôn vậy:
Giả sử phương trình bậc ba tổng quát $ax^3+bx^2+cx+d=0$ có ba nghiệm phân biệt $m$, $n$, $p$ (mình dùng $m$, $n$, $p$ cho dễ nhìn) thì khi đó phương trình được phân tích thành:
$$a(x-m)(x-n)(x-p)=0$$
$$\Leftrightarrow ax^3-a(m+n+p)x^2+a(mn+np+pm)x-amnp=0$$
Nên ta có:
$$-a(m+n+p)=b\Rightarrow m+n+p=-\frac{b}{a}$$
$$a(mn+np+pa)=c\Rightarrow mn+np+pm=\frac{c}{a}$$
$$-amnp=d\Rightarrow mnp=-\frac{d}{a}$$

[NTHMyDream]

Đề mà như vậy thì Lawliet chẳng chỉ ra cái link chứng minh Vi-et (hình như đó là web bán vé máy bay, mình không tìm thấy chỗ chứng minh Vi-et) kia làm gì cả.

à đối chiếu đề giấy của mình hola0905 viết đề sai đó. đề chính xác chỗ đó phải là m+2.
còn nếu làm theo m+2 thì bạn L Lawliet làm đúng

[L Lawliet]

à đối chiếu đề giấy của mình hola0905 viết đề sai đó. đề chính xác chỗ đó phải là m+2.
còn nếu làm theo m+2 thì bạn L Lawliet làm đúng

Nếu đề là $m+2$ thì quá hay rồi:
Nhận thấy phương trình có 1 nghiệm $x=1$ nên phương trình được viết lại:
$$(x-1)(x^2-mx+2)=0(*)$$
Để phương trình đầu có 3 nghiệm phân biệt thì $(*)$ phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1, tức là:
$1^2-m.1+2\neq 0\Leftrightarrow m\neq 3(1)$
Xét $\Delta >0\Leftrightarrow m^2-8>0\Leftrightarrow \left | m \right |> 2\sqrt{2}(2)$
Kết hợp điều kiện $(1)$ và $(2)$, theo hệ thức Viete ta có:
$$x_{2}+x_{3}=m$$
$$x_{2}x_{3}=2$$
(Ta giả sử $x_{1}=1$)
Vậy:
$$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}=3$$
$$\Leftrightarrow \frac{x_{2}+x_{3}}{x_{2}x_{3}}=2$$
$$\Leftrightarrow x_{2}+x_{3}=2x_{2}x_{3}$$
$$\Leftrightarrow m=4$$
Giá trị $m$ vừa tìm được thỏa mãn $(1)$ và $(2)$, thử lại đúng
Vậy $m=4$

[tubmt97]

Mình chứng minh luôn vậy:
Giả sử phương trình bậc ba tổng quát $ax^3+bx^2+cx+d=0$ (1) có ba nghiệm phân biệt $m$, $n$, $p$ (mình dùng $m$, $n$, $p$ cho dễ nhìn) thì khi đó phương trình được phân tích thành:
$$a(x-m)(x-n)(x-p)=0$$ (2)
$$\Leftrightarrow ax^3-a(m+n+p)x^2+a(mn+np+pm)x-amnp=0$$ (3)
Nên ta có:
$$-a(m+n+p)=b\Rightarrow m+n+p=-\frac{b}{a}$$
$$a(mn+np+pa)=c\Rightarrow mn+np+pm=\frac{c}{a}$$
$$-amnp=d\Rightarrow mnp=-\frac{d}{a}$$

Mình chỉ muốn hỏi để biết rõ hơn về vấn đề, hoàn toàn không phải bới móc bài viết của bạn.
Thừa nhận PT (1) tương đương với PT (2) nhưng đâu phải VT (1) = VT (2) = VT (3) nên -a(m+n+p)=b là chưa rõ ràng.
Nếu nói vì (1) tương đương (3) nên -a(m+n+p)= b thì mình nghĩ là đúng nhưng theo mình nhớ thì chưa được học tính chất nào như vây trong chương trình.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tubmt97: 14-06-2012 - 08:13

[L Lawliet]

Mình chỉ muốn hỏi để biết rõ hơn về vấn đề, hoàn toàn không phải bới móc bài viết của bạn.
Thừa nhận PT (1) tương đương với PT (2) nhưng đâu phải VT (1) = VT (2) = VT (3) nên -a(m+n+p)=b là chưa rõ ràng.
Nếu nói vì (1) tương đương (3) nên -a(m+n+p)= b thì mình nghĩ là đúng nhưng theo mình nhớ thì chưa được học tính chất nào như vây trong chương trình.

Mình hiểu ý Tú nhưng nếu không chấp nhận cách chứng minh này thì Tú có thể lên gg xem cách chứng minh thử nhé, cách chứng minh của mình hoàn toàn giống vs trên gg đấy.

[L Lawliet]

Mình chỉ muốn hỏi để biết rõ hơn về vấn đề, hoàn toàn không phải bới móc bài viết của bạn.
Thừa nhận PT (1) tương đương với PT (2) nhưng đâu phải VT (1) = VT (2) = VT (3) nên -a(m+n+p)=b là chưa rõ ràng.
Nếu nói vì (1) tương đương (3) nên -a(m+n+p)= b thì mình nghĩ là đúng nhưng theo mình nhớ thì chưa được học tính chất nào như vây trong chương trình.

Tú tham khảo ở đây nhé:
http://daykemquynhon..._p_10/41-1-0-94
http://nguyentatthu....ntry_id/1898196
vả lại, đề lúc đầu cũng không đúng, nếu đúng thì không cần máy móc sử dụng Viete bậc ba đâu!

[taitwkj3u]

Mình chỉ muốn hỏi để biết rõ hơn về vấn đề, hoàn toàn không phải bới móc bài viết của bạn.
Thừa nhận PT (1) tương đương với PT (2) nhưng đâu phải VT (1) = VT (2) = VT (3) nên -a(m+n+p)=b là chưa rõ ràng.
Nếu nói vì (1) tương đương (3) nên -a(m+n+p)= b thì mình nghĩ là đúng nhưng theo mình nhớ thì chưa được học tính chất nào như vây trong chương trình.

tớ giải thích thế này xem được không
do phương trình (1) và (2) bằng nhau với mọi x
mà (1) và (2) cùng bậc
suy ra tất cả các hệ số ở các bậc bằng nhau của 2 phương trình phải bằng nhau
suy ra

[tubmt97]

tớ giải thích thế này xem được không
do phương trình (1) và (2) bằng nhau với mọi x
mà (1) và (2) cùng bậc
suy ra tất cả các hệ số ở các bậc bằng nhau của 2 phương trình phải bằng nhau
suy ra

Ai chẳng suy nghĩ tới đó nhưng học toán thì phải áp dụng những kiến thức đã có và chứng minh định lý rõ ràng.
Mình cũng ko muốn nói về vấn đề này nữa vì đề sai nên mới phải dùng đên biện pháp là Viet thôi.