Chủ đề này có 3 trả lời

[Zaraki]

Tìm mọi số nguyên không âm $(a,b,c)$ sao cho \[\left(1+\frac{1}{a}\right) \left(1+\frac{1}{b}\right) =1+\left( \frac{2}{3} \right)^c\]

[tay du ki]

bài này thì giải sao nhỉ !

[tay du ki]

Tìm mọi số nguyên không âm $(a,b,c)$ sao cho \[\left(1+\frac{1}{a}\right) \left(1+\frac{1}{b}\right) =1+\left( \frac{2}{3} \right)^c\]

giả sử $a\geq b$ 

ta có  \[\left(1+\frac{1}{a}\right) \left(1+\frac{1}{b}\right) =1+\left( \frac{2}{3} \right)^c\]

$\Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b}+ \frac{1}{ab}= \left ( \frac{2}{3} \right )^{c}$

Nếu trong 2 số a,b có 1 số bằng 1 thì phương trình vô nghiệm  vô nghiệm 

Nếu c= 0 thì dễ dàng tính được a=3 và b=2 hoặc a= 2 và b=3

Nếu c = 1 và c= 2 và c= 4 . Tương tự 

Với c>4

Nếu trong 2 số a,b có 1 số bằng 1 thì phương trình vô nghiệm  vô nghiệm 

vì VT>1 còn VP$\leq$ $\frac{2}{3}$ 

Nếu trong 2 số a,b không có số nào bằng 1 thì 

Không mất tính tổng quát : 

Giả sử b$\geq$ a thì ta có $\frac{2}{a} + \frac{1}{a^{2}} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{ab}= \frac{4}{9}$ 

$\Rightarrow 18a +9\geq 4 a^{2} \Rightarrow a=1 ;2 ; 3 ;4$

ta có $\left ( \frac{2}{3} \right )^{c}\leq \frac{16}{81}$

Ta có với a= 1 loại vì 1> \frac{16}{81}$ 

với a= 2 loại vì $\frac{1}{a} = \frac{1}{2}\geq \frac{16}{81}$

với a= 3 loại vì $\frac{1}{a} = \frac{1}{3}\geq \frac{16}{81}$

Với a= 4 loại vì $\frac{1}{a} = \frac{1}{4}\geq \frac{16}{81}$

vậy với c>4 thì phương trình vô nghiệm 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tay du ki: 20-10-2016 - 17:29

[IHateMath]

Giả sử b$\geq$ a thì ta có $\frac{2}{a} + \frac{1}{a^{2}} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{ab}= \frac{4}{9}$ 

Chỗ này không đúng. Ta có $1/a+1/b+1/ab=(2/3)^c<16/81<4/9$ nếu $c>4$. Bất đẳng thức của bạn bị ngược dấu nên không kết luận được gì về trường hợp $c>4$. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IHateMath: 23-10-2016 - 17:19