Chủ đề này có 12 trả lời

[Crystal]

Câu 1. (4,5 điểm)
Cho hàm số $y = {x^4} - 8{m^2}{x^2} - 2$, $m$ là tham số.
1. Khi $m=1$, gọi $\left( C \right)$ là đồ thị của hàm số. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$, biết tiếp tuyến cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3.
2. Tìm $m$ để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng ${120^0}$.

Câu 2. (5,0 điểm)
1. Giải phương trình: $\frac{{\sin x - \sin 2x}}{{2\sqrt 3 \cos x - 2\sin 3x - \sqrt 3 }} = \frac{1}{2}$
2. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}} + \frac{2}{{x + y}} = \frac{1}{{xy}}\\
{x^2} + {y^2} - \frac{1}{{x + y}} = - {x^2} + 2x + 1
\end{array} \right.$

Câu 3. (3,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ cho đường tròn $\left( T \right):{x^2} + {y^2} - 2x - y - 5 = 0$ và đường thẳng $d:3x + 4y - 5 = 0$. Chứng minh rằng $d$ cắt $(T)$ tại hai điểm phân biệt $B,C$. Tìm trên $(T)$ điểm $A$ có hoành độ âm sao cho tam giác $ABC$ có bán kính đường tròn nội tiếp $r=1$.

2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho điểm $M\left( {1;3;0} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + y + z + 2 = 0$, tam giác $ABC$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ có $A\left( { - 1; - 1;0} \right)$. Gọi $H$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$. Tìm tọa độ điểm $H$, biết $AH = \sqrt 2 $ và $BC \bot AM$.

Câu 4. (2,5 điểm)
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = a;B'C' = a\sqrt 5 $, các đường thẳng $A'B$ và $B'C$ cùng tạo với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ một góc ${45^0}$, tam giác $A'AB$ vuông tại $B$, tam giác $A'CD$ vuông tại $D$.
1. Tính thể tích của khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ theo $a$.
2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA'$ và $BD$ theo $a$.

Câu 5. (3,0 điểm)
Tính các tích phân: $$I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{x + \sin 2x}}{{1 + \sin x}}} dx\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {2 + {{\tan }^2}x} \right)\ln \left( {1 + \tan x} \right)dx} $$

Câu 5. (2,0 điểm)
Giả sử $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P = 2\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) - {x^2} - {y^2} - {z^2} + 2xyz + 3$$

-----HẾT-----

[hoangtrong2305]

Câu 2. (5,0 điểm)
2. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}} + \frac{2}{{x + y}} = \frac{1}{{xy}}\\
{x^2} + {y^2} - \frac{1}{{x + y}} = - {x^2} + 2x + 1
\end{array} \right.$

ĐKXĐ: $\left\{\begin{matrix} x+y\neq 0\\ xy\neq 0 \end{matrix}\right.$

$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}} + \frac{2}{{x + y}} = \frac{1}{{xy}}(1)\\
{x^2} + {y^2} - \frac{1}{{x + y}} = - {x^2} + 2x + 1(2)
\end{array} \right.$

$(1)\Leftrightarrow \frac{(x+y)^{2}-2xy}{xy}+\frac{2}{x+y}-\frac{1}{xy}=0$

$\Leftrightarrow \frac{(x+y)^{2}-1}{xy}+\frac{2}{x+y}-2=0$

$\Leftrightarrow \frac{(x+y+1)(x+y-1)}{xy}-\frac{2(x+y-1)}{x+y}=0$

$\Leftrightarrow (x+y-1)(\frac{x+y+1}{xy}-\frac{2}{x+y})=0$

$\Leftrightarrow (x+y-1)(x^{2}+y^{2}+x+y)=0$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y+1=0\\ x^{2}+y^{2}+x+y=0 \end{matrix}\right.$


TH1: $x+y+1=0\Leftrightarrow y=1-x$ , thay vào $(2)$

$3x^{2}-4x-1=0$

$\boldsymbol{\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{2-\sqrt{7}}{3}\Rightarrow y=\frac{1+\sqrt{7}}{3}\\ x=\frac{2+\sqrt{7}}{3}\Rightarrow y=\frac{1-\sqrt{7}}{3} \end{bmatrix}}$


TH2: $x^{2}+y^{2}+x+y=0\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=-(x+y)$ , thay vào $(2)$:

$x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}}=-x^{2}+2x+1$

Áp dụng BĐT Cauchy cho VT: $x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\geq 2$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=1$

VP $=-x^{2}+2x+1=-(x-1)^{2}+2\leq 2$

Như vậy $(2)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}}=2\\ -(x-1)^{2}+2=2 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=1\\ x=1 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ y^{2}=0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=0 \end{matrix}\right.$ (loại do $x.y=0$, trái với ĐKXĐ)

[bugatti]

Từ phương trình đầu ta có:
$\frac{(x+y)^{2}-2xy}{xy}+\frac{2}{x+y}=\frac{1}{xy}$ (1)
Đến đây để cho dễ nhìn, ta đặt :$\left\{\begin{matrix} x+y=a & \\ xy=b& \end{matrix}\right.$
(1) $\Leftrightarrow \frac{a^{2}-2b}{b}+\frac{2}{a}=\frac{1}{b}$
$\Leftrightarrow a^{3}-2ab+2b-a=0$
$\Leftrightarrow (a-1).[a.(a+1)-2b]=0$
Đến đây có lẽ đã ngon hơn rồi, các bạn giải tiếp nhé, xem có sai sót ở đâu không nha

[hai_ddt_311]

Ai làm giúp em câu bất đẳng thức với.

[Ispectorgadget]

Câu 5. (2,0 điểm)
Giả sử $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P = 2\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) - {x^2} - {y^2} - {z^2} + 2xyz + 3$$

-----HẾT-----

Để ý đẳng thức:
$$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz) $$
$$\Rightarrow 2xyz=\dfrac{2}{3}(x^3+y^3+z^3)-2(x^2+y^2+z^2)+2(xy+yz+xz)$$
Biểu thức $P$ được viết lại thành:
$$P=\dfrac{8}{3}(x^3+y^3+z^3)-3(x^2+y^2+z^2)+2(xy+yz+zx)+3$$
$$=\dfrac{8}{3}(x^3+y^3+z^3)-4(x^2+y^2+z^2)+(x+y+z)^2+3$$
$$=\dfrac{8}{3}(x^3+y^3+z^3)-4(x^2+y^2+z^2)+12$$
$$=\dfrac{4}{3}.(x-1)^2(2x+1)+\dfrac{4}{3}.(y-1)^2(2y+1)+\dfrac{4}{3}.(z-1)^2(2z+1)+8 \ge 8 $$
Đẳng thức khi $$x=y=z=1$$

Nguồn: boxmath.vn

[Crystal]

Lời giải bài 5 ở trên tương tự bài này: http://diendantoanho...ndpost&p=278030

----------

Các bạn hãy thử tìm GTLN của $P$ nhé.

----------

[YenThanh2]

Cho mình trao đổi tý nha:s
Bài 3.1 tìm được A(-1:-1)
3.2 Tìm được 2 điểm H là H1(-1:-2:1) và H2(-1:0:-1)
Bài lượng giác thì $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi ,x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi và x=\frac{\pi }{6}+k4\pi $.
Bài tích phân thì I=2-ln2, còn J chưa ra.
Các bạn góp ý với....

[MinhPhuong95]

Gợi ý cho mình ý 1 câu 2 và ý 1 câu 3 với.
Ý 1 câu 2 mình phân tích ra thành nhân tử nhưng mới xử lý được 1 nửa.
Cảm ơn mọi người.
Thân! :X

[nthoangcute]

Câu 5. (2,0 điểm)
Giả sử $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P = 2\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) - {x^2} - {y^2} - {z^2} + 2xyz + 3$$

Cách khác!
$P-8=2\left(x+y+z\right)^{3}-6\left(x+y+z\right) \left(yx+yz+z
x\right)-\left(x+y+z\right)^{2}+2yx+2yz+2zx+8xyz-5$
$=40-16yx-16yz-16zx+8xyz$
$=\frac{4}{3}\left(\left(x+y+z\right)^3+9xyz-4\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\right)+4\left(1-abc\right)$
$\geq0$
Suy ra đpcm!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 14-08-2012 - 17:47

[nthoangcute]

Câu 3. (3,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ cho đường tròn $\left( T \right):{x^2} + {y^2} - 2x - y - 5 = 0$ và đường thẳng $d:3x + 4y - 5 = 0$. Chứng minh rằng $d$ cắt $(T)$ tại hai điểm phân biệt $B,C$. Tìm trên $(T)$ điểm $A$ có hoành độ âm sao cho tam giác $ABC$ có bán kính đường tròn nội tiếp $r=1$.

Số giao điểm của $d$ và $(T)$ là số nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
{x^2} + {y^2} - 2x - y - 5 = 0\\
3x+4y-5=0
\end{matrix}\right.$
Dễ dàng tìm được tọa độ giao điểm là $B(-1,2)$ và $C(3,-1)$
Gọi $A(m,n)$ với $-\frac{3}{2} \leq m<0$ và $\frac{1-\sqrt{21}}{2} \leq n \leq \frac{1+\sqrt{21}}{2}$
Để $r=1$ thì $AB.AC=AB+BC+CA$
Suy ra $(AB.AC-5)^2=(AB+AC)^2$
$\Leftrightarrow AB.AC(AB.AC-12)=0$
$\Leftrightarrow AB.AC=12$
$AB=\sqrt{(m+1)^2+(n-2)^2}$
$BC=\sqrt{(m-3)^2+(n+1)^2}$
$m^2+n^2-2m-n=5$
Suy ra :

$$\left\{\begin{matrix}
((m+1)^2+(n-2)^2)((m-3)^2+(n+1)^2))=144\\
m^2+n^2-2m-n=5
\end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
(3m+4n+7)(3m+4n-17)+(m^2+n^2-2m-n-5)^2=0\\
m^2+n^2-2m-n=5
\end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
(3m+4n+7)(3m+4n-17)=0\\
m^2+n^2-2m-n=5
\end{matrix}\right.$$
$$ \Leftrightarrow \left\{ m=3,n=2 \right\} , \left\{ m=-1,n=-1 \right\} , \left\{ m={
\frac {3}{25}},n=-{\frac {46}{25}} \right\} ,\left\{ m={\frac {47}{25}
},n={\frac {71}{25}} \right\} $$
Suy ra $A(-1,-1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 14-08-2012 - 18:43

[MinhPhuong95]

Gọi $A(m,n)$ với $-\frac{3}{2} \leq m<0$ và $\frac{1-\sqrt{21}}{2} \leq n \leq \frac{1+\sqrt{21}}{2}$
Để $r=1$ thì $AB.AC=AB+BC+CA$
Suy ra $(AB.AC-5)^2=(AB+AC)^2$
$\Leftrightarrow AB.AC(AB.AC-12)=0$
$\Leftrightarrow AB.AC=12$

Bạn có thể giải thích cụ thể hơn cho mình chỗ này ko ? Mình cảm ơn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MinhPhuong95: 14-08-2012 - 21:03

[nthoangcute]

Bạn có thể giải thích cụ thể hơn cho mình chỗ này ko ? Mình cảm ơn.

1. Em mới có lớp 10 nên anh thông cảm giùm, cách em hơi dài dòng !
2. Điều kiện $-\frac{3}{2} \leq m<0$ và $\frac{1-\sqrt{21}}{2} \leq n \leq \frac{1+\sqrt{21}}{2}$ là do $A \in (T)$ và $A$ có hoành độ âm !
3. $AB.AC=AB+BC+CA$ là do áp dụng công thức:
$$S=pr, \text{với p là nửa chu vi, r là bán kính đường tròn nội tiếp}$$
Lại có thêm $S=\frac{AB.AC}{2}$ (Do $\Delta ABC$ vuông tại $A$)
4. Cái chỗ "Suy ra $(AB.AC-5)^2=(AB+AC)^2$" là do $BC=5$ nên em chuyển vế và bình phương hai vế lên !
5. $AB.AC(AB.AC-12)=0$ là do khai triển nó ra !

[MinhPhuong95]

1. Em mới có lớp 10 nên anh thông cảm giùm, cách em hơi dài dòng !
2. Điều kiện $-\frac{3}{2} \leq m<0$ và $\frac{1-\sqrt{21}}{2} \leq n \leq \frac{1+\sqrt{21}}{2}$ là do $A \in (T)$ và $A$ có hoành độ âm !
3. $AB.AC=AB+BC+CA$ là do áp dụng công thức:
$$S=pr, \text{với p là nửa chu vi, r là bán kính đường tròn nội tiếp}$$
Lại có thêm $S=\frac{AB.AC}{2}$ (Do $\Delta ABC$ vuông tại $A$)
4. Cái chỗ "Suy ra $(AB.AC-5)^2=(AB+AC)^2$" là do $BC=5$ nên em chuyển vế và bình phương hai vế lên !
5. $AB.AC(AB.AC-12)=0$ là do khai triển nó ra !

1.Cảm ơn em.
2. Cách làm của em dài thật. Đọc qua lần đầu thật khó hiểu.
3. Bài này nên vẽ hình ra và làm như thông thường, ko cần phải đặt điều kiện gì cho dài dòng.
4. Khi tính đc tích AB.AC và tổng AB+AC thì tính ra AB,AC rồi tìm A dễ dàng chứ ko nên làm thế kia.
Góp ý !
Thân!