Chủ đề này có 1 trả lời

[vuhoanganh96]

Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương thỏa mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Chứng minh rằng hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{z-b}+\sqrt{x-b}=1\\ \sqrt{y-a}+\sqrt{z-a}=1\\ \sqrt{x-c}+\sqrt{y-c}=1 \end{matrix}\right.$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 18-08-2012 - 20:21

[hoangtrunghieu22101997]

Lời giải.
Xét tam giác ABC đều có cạnh bằng 1
Áp dụng kết quả sau:
"Nếu M là một điểm bất kì trong tam giác đều thì tổng các khoảng cách từ M hạ xuống 3 cạnh tam giác bằng chiều cao của nó."
Ta kẻ các đường thẳng:
+// BC cách BC một khoảng $\sqrt{a}$
+ // AB cách AB 1 khoảng $\sqrt{b}$
Từ giả thiết có: $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Suy ra khoảng cách từ M xuống AC là $\sqrt{c}$
Theo Pytago thì
$x=MA^2;y=MB^2;c=MC^2$
Chính là một nghiệm của hệ.
Chúng ta sẽ chứng minh đó là cặp nghiệm duy nhất bằng phương pháp phản chứng
Thật vậy
Lần lượt xét TH
+ $x > MA^2;y > MB^2$;...
+ $x=MA^2; y> MB^2$;...