Chủ đề này có 6 trả lời

[Ispectorgadget]

Đề thi HSG lớp 10 trường THPT Thanh Thủy - Phú Thọ

Ngày thi: 7/4/2012

Bài 1: (2đ) Cho hàm số $y=x^2-2x+2$ © , $y=mx+1$ (d) và điểm A(1;2)
a) Biện luận theo m số giao điểm của (d) và ©
b) Khi (d) cắt © tại 2 điểm B,C hãy tìm m để tam giác ABC cân tại A

Bài 2: (2đ) Giải phương trình :
a) $\sqrt[3]{2x^2-x+7}-\sqrt[3]{2x^2-5x+8}-\sqrt[3]{4x-9}=2$
b) $(x+2)\sqrt{x^2-2x+5}=x^2+5$

Bài 3: (2đ) Giải hệ phương trình :
$\begin{cases} 8x^2+18y^2+36xy-(10x+15y)\sqrt{6xy} =0 \\ 2x^2+3y^2=30 \end{cases}$
Bài 4: (2đ) Cho M(2;0) và các đường tròn (C1): $x^2+y^2=2$, (C2): $x^2+y^2=5$. Tìm tọa độ các điểm N,P lần lượt nằm trên các đường tròn (C1)và (C2) để tam giác MNP có diện tích lớn nhất(Biết rằng tam giác MNP tồn tại)

Bài 5: (2đ) CMR nếu $a,b,c> 0$ thì:
$$\frac{1}{b(b+a)}+\frac{1}{c(c+b)}+\frac{1}{a(a+c)}\geq \frac{9}{2(ab+bc+ca)}$$

Nguồn: boxmath.vn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 07-04-2012 - 22:23

[Cao Xuân Huy]

Bài 2: (2đ) Giải phương trình :
a) $\sqrt[3]{2x^2-x+7}-\sqrt[3]{2x^2-5x+8}-\sqrt[3]{4x-9}=2$
b) $(x+2)\sqrt{x^2-2x+5}=x^2+5$

a) Đặt: $a=\sqrt[3]{2x^2-x+7};b=-\sqrt[3]{2x^2-5x+8};c=-\sqrt[3]{4x-9}$
Thì$a+b+c=2;a^3+b^3+c^3=8$
Do đó: $a^3+b^3+c^3-(a+b+c)^3=0 \Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0$
b) Đặt $a=x+2;b=\sqrt{x^2-2x+5}$ ta có:
$$pt\Leftrightarrow ab=b^2+2(a-2) \Leftrightarrow (b-2)(b-a+2)=0$$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

THPT Thanh Thủy - Phú Thọ
Bài 3: (2đ) Giải hệ phương trình :
$\begin{cases} 8x^2+18y^2+36xy-(10x+15y)\sqrt{6xy} =0 \,\,\,\, (1) \\ 2x^2+3y^2=30 \,\,\,\, (2) \end{cases}$

Giải

ĐK: $xy \geq 0$
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
$2(4x^2 + 9y^2 + 12xy) + 12xy - 5(2x + 3y)\sqrt{6xy} = 0$

$\Leftrightarrow 2(2x + 3y)^2 - 5(2x + 3y)\sqrt{6xy} + 12xy = 0 \,\,\,\,\,\,\,\, (1)$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}2x + 3y = A\\\sqrt{6xy} = B \geq 0\end{array}\right.$
Phương trình (1) trở thành: $2A^2 - 5AB + 2B^2 = 0 \Leftrightarrow (2A - B)(B - 2A) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} A = 2B\\B = 2A\end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} 2x + 3y = 2\sqrt{6xy} \,\,\,\, (3)\\\sqrt{6xy} = 2(2x + 3y) \,\,\,\, (4)\end{array}\right.$

Dễ thấy ở cả hai phương trình, nếu x và y < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Mặt khác: $xy \geq 0$. Do đó: $x, y \geq 0$.
Ta có: $(3) \Leftrightarrow (\sqrt{2x} - \sqrt{3y})^2 = 0 \Leftrightarrow 2x = 3y$.
Thế vào phương trình thứ 2 của hệ ban đầu. Giải phương trình bậc hai vừa tìm được và lấy nghiệm không âm của phương tình này.

Phương trình (4) vô nghiệm.

[no matter what]

câu 5 dung cauchy-schwarz,mất nút fx rồi hixx aaaaaaaaaa

@hoangtrong2305: đây nè bạn http://www.codecogs....x/eqneditor.php

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 16-07-2012 - 09:14

[ducthinh26032011]

Bài 5: (2đ) CMR nếu $a,b,c> 0$ thì:

$$\frac{1}{b(b+a)}+\frac{1}{c(c+b)}+\frac{1}{a(a+c)}\geq \frac{9}{2(ab+bc+ca)}$$

$$\frac{1}{b(b+a)}+\frac{1}{c(c+b)}+\frac{1}{a(a+c)}\geq \frac{9}{2(ab+bc+ca)}$$
$$\Leftrightarrow [2(ab+bc+ca)][\frac{1}{b(b+a)}+\frac{1}{c(c+b)}+\frac{1}{a(a+c)}]\geq 9$$
Ta có:$$[c(b+a)+a(c+b)+b(a+c)][\frac{1}{b(b+a)}+\frac{1}{c(c+b)}+\frac{1}{a(a+c)}]\geq (\sum \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{b}})^{2}\geq 9$$
Vậy,bđt ban đầu đúng.

[thedragonknight]

$$\frac{1}{b(b+a)}+\frac{1}{c(c+b)}+\frac{1}{a(a+c)}\geq \frac{9}{2(ab+bc+ca)}$$
$$\Leftrightarrow [2(ab+bc+ca)][\frac{1}{b(b+a)}+\frac{1}{c(c+b)}+\frac{1}{a(a+c)}]\geq 9$$
Ta có:$$[c(b+a)+a(c+b)+b(a+c)][\frac{1}{b(b+a)}+\frac{1}{c(c+b)}+\frac{1}{a(a+c)}]\geq (\sum \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{b}})^{2}\geq 9$$
Vậy,bđt ban đầu đúng.

Cách khác.
Áp dụng cauchy ta có:
$\frac{1}{b(b+a)}+\frac{1}{c(c+b)}+\frac{1}{a(a+c)}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc(a+b)(b+c)(c+a)}}$
Cần chứng minh:
$\frac{3}{\sqrt[3]{abc(a+b)(b+c)(c+a)}}\geq \frac{9}{2(ab+ac+bc)}\Leftrightarrow 2(ab+ac+bc)\geq 3\sqrt[3]{abc(a+b)(a+c)(b+c)}\Leftrightarrow a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)\geq 3\sqrt[3]{abc(a+b)(b+c)(c+a)}$ (đúng theo cauchy)

[luuvanthai]

sach sang tao bdt ca ma