VMF - ĐỀ THI THỬ SỐ 6 - MÔN TOÁN
Ngày 10/04 - 17/04/2012
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề)
PHẦN CHUNG: (Dành cho tất cả các thí sinh) (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số $y=x^3-3x^2+2\,\,\,\,\,\left( C \right)$
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số trên.
2. Tìm trên $\left( C \right)$ điểm $A$ sao cho khoảng cách từ $A$ đến $B(2;-4)$ là nhỏ nhất.
Câu II (2 điểm):
1. Giải phương trình: $\frac{{4\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right) - 4\sqrt 3 \sin x\cos x - 3}}{{4{{\cos }^2}x - 1}} = 1$
2. Giải bất phương trình: $\sqrt 6 \left( {{x^2} - 3x + 1} \right) + \sqrt {{x^4} + {x^2} + 1} \leqslant 0\,\,;\,\,x \in \mathbb{R}$
Câu III (1 điểm) : Tính tích phân: $I = \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{2 + \sin x}}{{1 + \cos x}}dx} $
Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA$ là đường cao và đáy là hình chữ nhật $ABCD$, biết $SA = a,AB = b,AD = c$. Trong mặt phẳng $(SDB)$, vẽ qua trọng tâm $G$ của tam giác $SBD$ một đường thẳng cắt cạnh $SB$ tại $M$ và cắt cạnh $SD$ tại $N$. Mặt phẳng $(AMN)$ cắt cạnh $SC$ của hình chóp $S.ABCD$ tại $K$. Xác định vị trí của $M$ trên cạnh $SB$ sao cho thể tích của hình chóp $S.AMKN$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị đó theo $a,b,c$.
Câu V (1 điểm): Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn ${a^2} + {b^2} + {c^2} \leqslant \frac{3}{4}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P = \left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}$$
PHẦN RIÊNG: (Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần: A hoặc B) (3 điểm)
A. Chương trình chuẩn:
Câu VI.a (2 điểm):
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho ba điểm $A\left( { - 1;7} \right),B\left( {4; - 3} \right),C\left( { - 4;1} \right)$. Hãy viết phương trình đường tròn $\left( C \right)$ nội tiếp tam giác $ABC$.
2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):\,2x+y+3z-1=0$ và đường thẳng $d: \dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{-3}=\dfrac{z}{-1}$. Hãy viết phương trình hình chiếu của đường thẳng $\Delta : \dfrac{x}{-1}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z+3}{2}$ lên mặt phẳng $(P)$ theo phương $(d)$.
Câu VII.a (1 điểm): Xác định tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $(2-z)(i+\overline{z})$ là số thuần ảo.
B. Chương trình nâng cao:
Câu VI.b (2 điểm):
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho điểm ${F_1}\left( {2;1} \right),\,\,{F_2}\left( {6;4} \right)$. Một elip $(E)$ nhận ${F_1},\,\,{F_2}$ làm hai tiêu điểm và tiếp xúc với $Ox$ tại $M$. Tìm tọa độ điểm $M$.
2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {0; - 1;1} \right)$ và $B\left( {1;2;1} \right)$. Viết phương trình mặt cầu $(S)$ có đường kính là đoạn vuông góc chung của đường thẳng $AB$ và đường thẳng chứa trục $Ox$.
Câu VII.b (1 điểm): Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} \left( {{m^2} + 2m} \right)x + \left( {1 - {m^2}} \right)y + {m^2} - 2m - 2 = 0\\ {x^2} + {y^2} + 2x - 9 = 0 \end{array} \right.$
Chứng minh rằng hệ phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt $\left( {{x_1};{y_1}} \right)$ và $\left( {{x_2};{y_2}} \right)$. Tìm $m$ để biểu thức $P = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + {\left( {{y_1} - {y_2}} \right)^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
___________________________________________________________________________________________
Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm.
Đề thi được biên soạn bởi Hoàng Ngọc Thế, Nguyễn Công Định, Nguyễn Sanh Thành đến từ VMF.