Kì thi Olympic Toán Sinh viên 2012
Môn: Giải tích.
Thi ngày: 11/04/2012
Thời gian làm bài: 180 phút.
Câu 1. Cho dãy số $\left( {{a_n}} \right)$ thỏa mãn điều kiện:
\[{a_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{n}{a_n} - \frac{2}{n},\,\,\,{a_1} = \alpha ,\,\,\,n = 1,2,3,...\]
Tìm $\alpha $ để $\left( {{a_n}} \right)$ hội tụ.
Câu 2. Cho $P(x)$ là đa thức bậc $n \geqslant 1$ với hệ số thực và đa thức $Q(x)$ cho bởi hệ thức
\[Q\left( x \right) = \left( {2012{x^2} + 1} \right)P\left( x \right)P'\left( x \right) + 2012x\left\{ {{{\left[ {P\left( x \right)} \right]}^2} + {{\left[ {P'\left( x \right)} \right]}^2}} \right\}\]
Chứng minh rằng nếu phương trình $P\left( x \right) = 0$ có đúng $n$ nghiệm thực phân biệt trong $\left[ {\frac{1}{2}, + \infty } \right)$ thì phương trình $Q\left( x \right) = 0$ có ít nhất $2n-1$ nghiệm thực phân biệt.
Câu 3. Tính tích phân \[\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{dx}}{{\left( {{{2012}^x} + 1} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}}} \]
Câu 4. Tìm các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
\[f\left( {\frac{{x + y}}{{2012}}} \right) = \frac{1}{2}\left[ {f\left( {\frac{x}{{2013}}} \right) + f\left( {\frac{y}{{2014}}} \right)} \right],\,\,\forall x,y \in \mathbb{R}\]
Câu 5. Giả sử hàm số $f$ liên tục trên đoạn $\left[ {0,2012} \right]$ và thỏa mãn điều kiện
\[f\left( x \right) + f\left( {2012 - x} \right) = 0,\,\,\forall x \in \left[ {0,2012} \right]\]
Chứng minh \[\int\limits_0^{2012} {f\left( x \right)dx} = 0\]
và phương trình \[\left( {x - 2012} \right)f\left( x \right) = 2012\int\limits_0^{2012 - x} {f\left( u \right)du} \]
có nghiệm trong khoảng $\left( {0,2012} \right)$.
Câu 6. Thí sinh chọn một trong hai câu sau:
6a. Cho hàm số $f(x)$ khả vi liên tục hai lần trên $\mathbb{R}$. Giả sử $f\left( 1 \right) = 0$ và $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = 0} $. Chứng minh rằng với mọi $\alpha \in \left( {0,1} \right)$, ta có
\[\left| {\int\limits_0^\alpha {f\left( x \right)dx} } \right| \leqslant \frac{2}{{81}}\mathop {\max }\limits_{0 \leqslant x \leqslant 1} \left| {f''\left( x \right)} \right|\]
6b. Cho $f:\left[ {0,1} \right] \to \mathbb{R}$ là hàm lõm (hay còn gọi là lồi lên phía trên), khả vi liên tục thỏa mãn $f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right) = 0$. Chứng minh rằng
\[\sqrt {1 + 4\mathop {\max }\limits_{0 \leqslant x \leqslant 1} {f^2}\left( x \right)} \leqslant \int\limits_0^1 {\sqrt {1 + {{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}} } dx \leqslant 1 + 2\mathop {\max }\limits_{0 \leqslant x \leqslant 1} f\left( x \right)\]