Đến nội dung

Hình ảnh

Cho hàm số $f(x)$ liên tục và thỏa mãn điều kiện $f(2x^2-1)=2xf(x)$ với mọi $x\in R$ . Chứng minh rằng $f(x)=0$ với mọi $x \in [-1;1]$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
Bài toán :
Cho hàm số $f(x)$ liên tục và thỏa mãn điều kiện $f(2x^2-1)=2xf(x)$ với mọi $x\in R$ . Chứng minh rằng $f(x)=0$ với mọi $x \in [-1;1]$
Chọn đội tuyển THPT chuyên Nguyễn Huệ - Thừa Thiên Huế 2008-2009

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#2
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Bài toán :
Cho hàm số $f(x)$ liên tục và thỏa mãn điều kiện $f(2x^2-1)=2xf(x)$ với mọi $x\in R$ . Chứng minh rằng $f(x)=0$ với mọi $x \in [-1;1]$
Chọn đội tuyển THPT chuyên Nguyễn Huệ - Thừa Thiên Huế 2008-2009


Nhận thấy $f(x)$ xác định và liên tục trên $[-1;1]$ giúp ta nghĩ đến lượng giác; $2{x^2} - 1$ giúp ta nghĩ đến công thức $2{\cos ^2}t - 1 = \cos2t$. Từ đó ta có hướng giải quyết sau.

Đặt $x = \cos t$, ta được: $2{\cos ^2}x - 1 = f\left( {\cos 2t} \right) = 2\cos tf\left( {\cos t} \right)$

Suy ra: \[f\left( {\cos 2t} \right) = \frac{{\sin 2t}}{{\sin t}}f\left( {\cos t} \right) \Leftrightarrow \frac{{f\left( {\cos 2t} \right)}}{{\sin 2t}} = \frac{{f\left( {\cos t} \right)}}{{\sin t}}\]
Xét hàm số: $F\left( t \right) = \frac{{f\left( {\cos t} \right)}}{{\sin t}} \Rightarrow F\left( t \right) = F\left( {2t} \right) = ... = F\left( {{2^k}t} \right)$

Đến đây các bạn thử làm tiếp nhé.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh