Chủ đề này có 3 trả lời

[Tham Lang]

Bài toán 1.
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$ . Chứng minh rằng :
$$\dfrac{b\sqrt{c}}{a\left (\sqrt{3c}+\sqrt{ab}\right )}+\dfrac{c\sqrt{a}}{b\left (\sqrt{3a}+\sqrt{bc}\right )}+\dfrac{a\sqrt{b}}{c\left (\sqrt{3b}+\sqrt{ca}\right )}\ge \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$$
Bài toán 2.
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :
$$\left |\dfrac{a^3-b^3}{a+b}+\dfrac{b^3-c^3}{b+c}+\dfrac{c^3-a^3}{c+a}\right |\le \dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{4}$$

[Ispectorgadget]

Bài 2 ở đây

[Ispectorgadget]

Bài toán 1.
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$ . Chứng minh rằng :
$$\dfrac{b\sqrt{c}}{a\left (\sqrt{3c}+\sqrt{ab}\right )}+\dfrac{c\sqrt{a}}{b\left (\sqrt{3a}+\sqrt{bc}\right )}+\dfrac{a\sqrt{b}}{c\left (\sqrt{3b}+\sqrt{ca}\right )}\ge \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$$

$$QED \iff \sum\frac{\sqrt{\frac{bc}{a}}}{\sqrt{\frac{3ac}{b}+a}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{4}$$
Với $x=\sqrt{\frac{bc}{a}};y=\sqrt{\frac{ac}{b}};z=\sqrt{ab}c$ do $a+b+c=1$ nên $xy+xz+yz=1$. BĐT cần chứng minh trở thành $$\sum \frac{x}{\sqrt{3}y+yz}\ge \frac{3\sqrt{3}}{4}$$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có
$$\sum \frac{x}{\sqrt{3}y+yz}\ge \frac{(\sum x)^2}{\sqrt{3}+3xyz}\geq \frac{3\sum xy}{\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$$

[Nguyenhuyen_AG]

Bài toán 2.
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :
$$\left |\dfrac{a^3-b^3}{a+b}+\dfrac{b^3-c^3}{b+c}+\dfrac{c^3-a^3}{c+a}\right |\le \dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{4}$$

Bài này bạn có thể xem lời giải ở đây http://mathifc.wordp.../inequality-24/