Chủ đề này có 2 trả lời

[Crystal]

Bài toán: Cho hàm số $y=x^4-3x^2-2 $ có đồ thị là $\left( C \right)$,
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $\left( C \right)$
2. Tìm các giá trị của $m>0$ để đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $\left( C \right)$ tại $2$ điểm $A, B$ sao cho tam giác $OAB$ vuông tại $O$

[hoangtrong2305]

Bài toán: Cho hàm số $y=x^4-3x^2-2 $ có đồ thị là $\left( C \right)$,
2. Tìm các giá trị của $m>0$ để đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $\left( C \right)$ tại $2$ điểm $A, B$ sao cho tam giác $OAB$ vuông tại $O$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow$ phương trình $x^4-3x^2-2=m$ có $2$ nghiệm phân biệt

$x^4-3x^2-2=m$

$\Leftrightarrow x^4-3x^2-2-m=0$

$\Delta =4m+17> 0$ (do $m>0$)

$\Rightarrow \begin{bmatrix} x^{2}=\frac{3+\sqrt{4m+17}}{2}\\ x^{2}=\frac{3-\sqrt{4m+17}}{2} \end{bmatrix}$

Do $m>0\Rightarrow \frac{3-\sqrt{4m+17}}{2}<0$ nên ta lấy $x^{2}=\frac{3+\sqrt{4m+17}}{2}$

Vậy ta có

$\left\{\begin{matrix} A(\sqrt{\frac{3+\sqrt{4m+17}}{2}};m)\\ B(-\sqrt{\frac{3+\sqrt{4m+17}}{2}};m) \end{matrix}\right.$

Nhận thấy rằng $A,B$ đối xứng nhau qua trục $Ox$ nên $\Delta OAB$ cân tại O

Để $\Delta OAB$ vuông tại $O\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0$

$\Leftrightarrow m^{2}-\frac{3+\sqrt{4m+17}}{2}=0$

$\Leftrightarrow m^{4}-3m^{2}-m-2=0$

$\Leftrightarrow (m-2)(m^{3}+2m^{2}+m+1)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} m=2\\ m^{3}+2m^{2}+m+1=0 \end{bmatrix}$

Xét hàm $f(m):m^{3}+2m^{2}+m+1$

Khảo sát sự biến thiên của hàm số này, thấy hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$ và $\frac{min \, \, \, f(m)}{m \in (0;+\infty )}=1$ nên phương trình $m^{3}+2m^{2}+m+1=0$ không có nghiệm $m \in (0;+\infty )$

Vậy tóm lại để đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $\left( C \right)$ tại $2$ điểm $A, B$ sao cho tam giác $OAB$ vuông tại $O$ thì $m=2$

[Mrnhan]

Bài toán: Cho hàm số $y=x^4-3x^2-2 $ có đồ thị là $\left( C \right)$,
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $\left( C \right)$
2. Tìm các giá trị của $m>0$ để đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $\left( C \right)$ tại $2$ điểm $A, B$ sao cho tam giác $OAB$ vuông tại $O$

em có cách này, xem thử:
vì y=f(x) là hàm chẵn nên đối xứng với nhau qua trục Oy
vì A,B thuộc f(x) và OAB vuông tai O nên tam gíc OAB vuông cân
y=m>0 nên A, B thuộc phần 1 hoặc 2 của trục tọa độ xOy;
giải sử A thuộc phần 1 của tọa độ xOy suy ra OA có PT y=x từ đó tìm được tọa độ điểm A(2;2)
tương tự B thuộc phần 2 của tọa độ xOy suy ra OB có PT y=-x ........................................B(-2;2)
vậy m=2