Chủ đề này có 1 trả lời

[Crystal]

Bài toán. Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $\Delta_1: \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-1}{-1}$ và $\Delta_2: \begin{cases}x=2-t\\y=3-t\\z=-2\end{cases}$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $\Delta_1$ và cắt $\Delta_1$, $\Delta_2$ tại $M$ và $N$ sao cho $MN$ nhỏ nhất.

Trích Đề thi thử ĐH lần 2 năm 2012 - Trường THPT Đông Hưng Hà - Thái Bình

[E. Galois]

Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $\Delta _1$ và cắt $\Delta _2$ tại $N(2-n;3-n;-2)$ nên có phương trình:
$$(x-2+n)+2(y-3+n)-(z+2)=0$$
hay $x+2y-z-10+4n=0$
Vì $M \in \Delta _1$ nên $M(1+m;2+2m;1-m)$. Vì $M \in (P)$ nên:
$$1+m+4+4m-1+m-10+4n=0$$
hay $m=1-\frac{2n}{3}$. Vậy $M\left ( 1-\frac{2n}{3}; 4-\frac{4n}{3};\frac{2n}{3}\right )$
Từ đó, ta có:
$$MN=\sqrt{\left ( 1-\frac{n}{3} \right )^2+\left ( 1-\frac{n}{3} \right )^2+\left ( \frac{2n}{3}+2 \right )^2} = \sqrt{\frac{2n^2}{3}+\frac{4n}{3}+6}$$
Dễ thấy $MN$ nhỏ nhất khi $n=-1$
Vậy ptmp $(P)$ là:
$$x+2y-z-14=0$$