Bài toán.
Cho hàm số $y = {x^3} - 3\left( {m - 1} \right){x^2} + 3m\left( {m - 2} \right)x + 1$
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$, hàm số có cực đại, cực tiểu. Với giá trị nào của $m$, các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng $y = \frac{1}{2}x + 1$.
Trích Đề thi thử ĐH năm 2012 lần 6 - Trường chuyên ĐHSP Hà Nội
$y' = 3{x^2} - 6\left( {m - 1} \right)x + 3m\left( {m - 2} \right)$
Hàm số có cực đại, cực tiểu $<=> y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt
$\Delta '=9(m-1)^2-9m(m-2)=9>0$
Vậy với mọi giá trị của $m$, hàm số có cực đại, cực tiểu.
Giả sử A là điểm cực đại, B là điểm cực tiểu:
$\left\{ \begin{array}{l}
{x_A} = m => {y_A} = {m^3} - 3{m^2} + 1 \\
{x_B} = m - 2 => {y_B} = {m^3} - 3{m^2} + 5 \\
\end{array} \right.$
$\overrightarrow {AB} = \left( { - 2,4} \right)$
Gọi $M$ là trung điểm $AB$ thì $M\left( {m - 1,{m^3} - 3{m^2} + 3} \right)$
YCBT
$ <=> \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{v_{cp(d)}}} = 0 \\
M \in (d) \\
\end{array} \right.$
\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\left( { - 2} \right).1 + 4.\frac{1}{2} = 0(true) \\
{m^3} - 3{m^2} + 3 = \frac{1}{2}\left( {m - 1} \right) + 1 \\
\end{array} \right. \\
<=> 2{m^3} - 6{m^2} - m + 6 = 0 \\
<=> ...................................... \\
\end{array}\]