Chủ đề này có 1 trả lời

[Crystal]

Bài toán. Trong không gian $Oxyz$ cho ba điểm $A\left( {4; - 1;2} \right),\,\,B\left( {1;2;2} \right),\,\,C\left( {1; - 1;5} \right)$. Chứng minh rằng tam giác $ABC$ đều. Tìm tọa độ điểm $S$ sao cho hình chóp $S.ABC$ là hình chóp đều và cạnh bên $SA$ tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc bằng $30^0$, biết rằng tung độ của điểm $S$ là số dương.

Trích Đề thi thử ĐH năm 2012 lần 6 - Trường chuyên ĐHSP Hà Nội

[E. Galois]

Ta có:

$$\overrightarrow{AB}=(-3;3;0);\overrightarrow{BC}=(0;-3;3);\overrightarrow{AC}=(-3;0;3)$$

Dễ thấy:

$$AB=BC=AC=3\sqrt{2}$$

Nên tam giác $ABC$ là tam giác đều.

 

Trọng tâm của tam giác $ABC$ là: $G\left ( 2;0;3 \right )$.

Điểm $S$ nằm trên đường thẳng $d$ đi qua $G$ và vuông góc với $(ABC)$. Ta có:

$$(d):\left \{ \begin{matrix} x=&2+t\\y=&t \\ z=&3+t \end{matrix}\right.$$

Vậy $S(2+t;t;3+t), t > 0$. Ta có.

$$\overrightarrow{AS} = (t-2;t+1;t+1);\overrightarrow{AG} = (-2;1;1)$$

Vì góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng $30^o$ nên:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\overrightarrow{AG}.\overrightarrow{AS}}{\left |\overrightarrow{AG} \right |.\left |\overrightarrow{AS} \right |}$$

$$\Leftrightarrow 3t^2+6=64\Leftrightarrow t=\sqrt{\frac{58}{3}}$$

Vậy

$$S\left (2+\sqrt{\frac{58}{3}};\sqrt{\frac{58}{3}};3+\sqrt{\frac{58}{3}} \right )$$