Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $A'C$ vuông góc với mặt phẳng $(AMN)$

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
Bài toán. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có mặt đáy $ABC$ vuông tại $B$ và $AB = a, BC=2a, AA' = 3a.$ Từ $A$ kẻ $AM$ vuông góc với $A'C$ và $AN$ vuông góc với $A'B$ ($M\in CC', N\in BB'$). Chứng minh rằng $A'C$ vuông góc với mặt phẳng $(AMN)$. Tính diện tích tam giác $AMN.$

Trích Đề thi thử ĐH lần IV năm 2012 - Trường Chuyên Lê Qúy Đôn - Bình Định



#2
hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 861 Bài viết

Bài toán. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có mặt đáy $ABC$ vuông tại $B$ và $AB = a, BC=2a, AA' = 3a.$ Từ $A$ kẻ $AM$ vuông góc với $A'C$ và $AN$ vuông góc với $A'B$ ($M\in CC', N\in BB'$). Chứng minh rằng $A'C$ vuông góc với mặt phẳng $(AMN)$. Tính diện tích tam giác $AMN.$

Trích Đề thi thử ĐH lần IV năm 2012 - Trường Chuyên Lê Qúy Đôn - Bình Định


Ảnh chụp màn hình_2012-09-03_124828.png



Ta có:

$\left\{\begin{matrix} AN \perp A'B\\ AN \perp BC\, \, \, (BC \perp AA'B'B) \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow AN \perp A'BC$

$\Rightarrow AN \perp A'C$

Mà $ A'C \perp AM$

$\Rightarrow A'C \perp (AMN)$

$\Rightarrow (ACC'A') \perp (AMN)$ theo giao tuyến $AC$

$\Rightarrow S_{\Delta AMN}=\frac{1}{2}.AM.d[N;(ACC'A')]$

Ta có: $\Delta ABC\perp B\Rightarrow AC=a\sqrt{5}$

Ta có: $\Delta A'AC\perp A\Rightarrow \tan \widehat{A'CA}=\tan\widehat{AMC}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$

$\Rightarrow MC=\frac{AC}{\tan\widehat{AMC}}=\frac{5a}{3}$

$\Rightarrow AM=\sqrt{AC^{2}+MC^{2}}=\frac{5a}{3}=\frac{a\sqrt{70}}{3}$

Ta có: $BN//(ACC'A')$

$\Rightarrow d[N;(ACC'A')]=d[B;(ACC'A')]$

Gọi $O$ là hình chiếu của $B$ lên $AC$

$\Rightarrow BO \perp AC$

Mà $ (ABC) \perp (ACC'A')$ theo giao tuyến $AC$

$\Rightarrow d[N;(ACC'A')]=d[B;(ACC'A')]=BO=\frac{AB.BC}{AC}=\frac{2a\sqrt{5}}{5}$

$\Rightarrow S_{\Delta AMN}=\frac{1}{2}.AM.d[N;(ACC'A')]=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{70}}{3}.\frac{2a\sqrt{5}}{5}=\frac{a^{2}\sqrt{14}}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 03-09-2012 - 12:50

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

Hình đã gửi


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh