Chủ đề này có 1 trả lời

[Crystal]

Bài toán. Tìm số phức $z$ thỏa mãn: $|z+1-i| = |\overline{z}+2+2i|$ và $\frac{z-1}{\overline{z}+1}$ là số thuần ảo.

Trích Đề thi thử ĐH lần IV năm 2012 - Trường Chuyên Lê Qúy Đôn - Bình Định

[Scientists]

Gọi số phức cần tìm có dạng $z=a+bi$ ($a; b\in \mathbb{R}$)
Vì $\frac{z-1}{\bar{z}+1}$ là 1 số thuần ảo
Nên $\frac{z-1}{\bar{z}+1}+\bar{\frac{z-1}{\bar{z}+1}}=0$
$\Leftrightarrow \frac{z-1}{\bar{z}+1}+\frac{\bar{z}-1}{z+1}=0$ $\Leftrightarrow \frac{z^{2}-1+\bar{z}^{2}-1}{(\bar{z}+1)(z+1)}=0$ $\Leftrightarrow z^{2}+\bar{z}^{2}-2=0$
$\Leftrightarrow a^{2}-b^{2}=1$ (1)
Lại có: $\left | a+1+(b-1)i \right |=\left | a+2+(2-b)i \right |$
$\Leftrightarrow \sqrt{(a+1)^{2}+(b-1)^{2}}=\sqrt{(a+2)^{2}+(b-2)^{2}}$ $\Leftrightarrow (a+1)^{2}+(b-1)^{2}=(a+2)^{2}+(b-2)^{2}$
$\Leftrightarrow a^{2}+2a+1+b^{2}-2b+1=a^{2}+4a+4+b^{2}-4b+4$ $\Leftrightarrow a-b=-3\Rightarrow a+b=\frac{-1}{3}$ (do (1)) $\Leftrightarrow a=\frac{-5}{3}; b=\frac{4}{3}$
Vậy số phức cần tìm là: $z=\frac{-5}{3}+\frac{4}{3}i$