Chủ đề này có 3 trả lời

[vo thi giang]

Tìm nghiệm nguyên của pt: ${x^3} + 4x + 1 = {y^4}$

Bạn học gõ $\LaTeX$ và đặt tiêu đề rõ ràng bằng $\LaTeX$ nhé.

[hxthanh]

Xét phương trình $x^3+4x+1=y^4\quad(1)$

Ta có: $x^3+4x+1=y^4\ge 0 \Rightarrow x\ge 0$

Suy ra $x(x^2+4)=(y^2+1)(y+1)(y-1) \Rightarrow |y|\ge 1$

$\bullet\quad$ Nếu $y=2z,\quad (z\in\mathbb{N}^*)$
Suy ra
$x(x^2+4)= (4z^2+1)(2z+1)(2z-1) \Rightarrow x=2k+1\quad (k\in \mathbb{N}) \Rightarrow \text{gcd}(x,\;x^2+4)=1$
$\Rightarrow \left[ \begin{matrix}\begin{cases}2z-1=1 \\ 2z+1=x \\ 4z^2+1=x^2+4\end{cases} \\ \begin{cases}2z-1=x \\ 2z+1=1 \\ 4z^2+1=x^2+4\end{cases} \end{matrix}\right.\Rightarrow \text{Vô nghiệm}$
$($Do vế 3 nhân tử của vế phải đôi một nguyên tố cùng nhau, mà $x\ge 1)$

$\bullet\quad$ Nếu $y=-2z,\quad (z\in\mathbb{N}^*)$ tương tự trên suy ra vô nghiệm

Do đó $y=2z+1\quad (z\in\mathbb{Z})$
Khi đó: $x(x^2+4)=(4z^2+4z+2)(2z+2)(2z)\quad\Rightarrow x=2k,\quad(k\in \mathbb{N})$
$\Rightarrow k(k^2+1)=z(z+1)(2z^2+2z+1)\quad(2)$

$\bullet\quad$ Nếu $z=0,\;\text{ hoặc }\;z=-1$ thì $k=0$ lúc đó (1) có nghiệm là $x=0;\;y=\pm 1$

$\bullet\quad$ Nếu $z\ne 0,,\;\text{ hoặc }\;z\ne -1$ suy ra vế trái (2) dương.
Lúc đó do 3 nhân tử của vế phải (2) đôi một nguyên tố cùng nhau trong đó $z$ là nhỏ nhất còn $(2z^2+2z+1)$ lớn nhất

Suy ra $\begin{cases}z=1 \\ z+1=k \\ 2z^2+2z+1=k^2+1\end{cases}$ hoặc $\begin{cases}z=-k \\ z+1=-1 \\ 2z^2+2z+1=k^2+1\end{cases}$
Lúc đó (1) có nghiệm là $x=4;\;y=\pm 3$

Đáp số: $\boxed{\begin{cases}x=0 \\ y=\pm 1\end{cases} \vee \begin{cases}x=4 \\ y=\pm 3\end{cases}}$

[duongtoi]

Mình có 1 cách giải khác, tuy phức tạp hơn 1 chút nhưng để các bạn tham khảo.
Từ PT ban đầu ta có thể suy ra $x\ge0$.
Một số chính phương là số có dạng $4k$ hoặc $4k+1$, vì vậy ta suy ra $x=4k$ để $x^3+4x+1$ là một số chính phương.
Suy ra $y$ lẻ, tức là $y\ne x$.
Thử $x=0$ ta thấy thỏa mãn. (TH này $|y|=1$)
Nếu $x\ne 0$ thì $x\ge4$.
Từ đó suy ra $VT\ge 4x^2+4x+1=(2x+1)^2$ và $VT\le x^4+2x^2+1=(x^2+1)^2$.
Vậy $2x+1\le y^2\le x^2+1$. Trong đoạn $[2x+1;x^2+1]$ chỉ có các số chính phương là $x^2,(x-1)^2$ thỏa mãn với $\forall x\ge 4.$
Theo trên, $y\ne x$ nên ta được $y^2=(x-1)^2$ suy ra $|y|=x-1.$
Thay vào PT ban đầu ta giải ra được nghiệm $x=4$. (TH này $|y|=3$)

KL: Vậy nghiệm nguyên $(x;y)$ của PT là $(0;-1);(0;1);(4;-3);(4;3)$.

@nguyenta98: Cách kẹp của bạn sai rồi bạn ạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 31-07-2012 - 18:18

[iamnhl]

Xét phương trình $x^3+4x+1=y^4\quad(1)$

Ta có: $x^3+4x+1=y^4\ge 0 \Rightarrow x\ge 0$

Suy ra $x(x^2+4)=(y^2+1)(y+1)(y-1) \Rightarrow |y|\ge 1$

$\bullet\quad$ Nếu $y=2z,\quad (z\in\mathbb{N}^*)$
Suy ra
$x(x^2+4)= (4z^2+1)(2z+1)(2z-1) \Rightarrow x=2k+1\quad (k\in \mathbb{N}) \Rightarrow \text{gcd}(x,\;x^2+4)=1$
$\Rightarrow \left[ \begin{matrix}\begin{cases}2z-1=1 \\ 2z+1=x \\ 4z^2+1=x^2+4\end{cases} \\ \begin{cases}2z-1=x \\ 2z+1=1 \\ 4z^2+1=x^2+4\end{cases} \end{matrix}\right.\Rightarrow \text{Vô nghiệm}$
$($Do vế 3 nhân tử của vế phải đôi một nguyên tố cùng nhau, mà $x\ge 1)$

$\bullet\quad$ Nếu $y=-2z,\quad (z\in\mathbb{N}^*)$ tương tự trên suy ra vô nghiệm

Do đó $y=2z+1\quad (z\in\mathbb{Z})$
Khi đó: $x(x^2+4)=(4z^2+4z+2)(2z+2)(2z)\quad\Rightarrow x=2k,\quad(k\in \mathbb{N})$
$\Rightarrow k(k^2+1)=z(z+1)(2z^2+2z+1)\quad(2)$

$\bullet\quad$ Nếu $z=0,\;\text{ hoặc }\;z=-1$ thì $k=0$ lúc đó (1) có nghiệm là $x=0;\;y=\pm 1$

$\bullet\quad$ Nếu $z\ne 0,,\;\text{ hoặc }\;z\ne -1$ suy ra vế trái (2) dương.
Lúc đó do 3 nhân tử của vế phải (2) đôi một nguyên tố cùng nhau trong đó $z$ là nhỏ nhất còn $(2z^2+2z+1)$ lớn nhất

Suy ra $\begin{cases}z=1 \\ z+1=k \\ 2z^2+2z+1=k^2+1\end{cases}$ hoặc $\begin{cases}z=-k \\ z+1=-1 \\ 2z^2+2z+1=k^2+1\end{cases}$
Lúc đó (1) có nghiệm là $x=4;\;y=\pm 3$

Đáp số: $\boxed{\begin{cases}x=0 \\ y=\pm 1\end{cases} \vee \begin{cases}x=4 \\ y=\pm 3\end{cases}}$

t thấy bài giải chưa hợp lý

ví dụ 25.63=25.7.9 mà 7,9,25 nguyên tố đôi 1 cùng nhau,25 và 63 cũng nguyên tố cùng nhau

xét vd trong bài x($x^{2}$+4)=(4$z^{2}$+1)(2z-1)(2z+1)

nếu giả sử có $p^{m}$ là ước của 2z-1,$q^{n}$ là ước của 2z+1 và đó là số mũ cao nhất

thì x= $p^{m}$.$q^{n}$ thì sao?