Chủ đề này có 1 trả lời

[Crystal]

Bài toán. Cho các số thực $a,b,c,d$ thay đổi thoả: $a^2+b^2=c^2+d^2=5$. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
$$ A=\sqrt{5-a+2b}+\sqrt{5-c+2d}+\sqrt{5-ac-bd}$$

Trích Đề thi thử Đại học lần 2 năm 2012 - Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa

[Crystal]

BĐT tương đương với :
$$\sqrt{10-2a-4b}+\sqrt{10-2c-4d}+\sqrt{10-2ac-2bd} \le 3\sqrt{15} (1)$$
Ta thấy các điểm $M(a,b),N(c,d),P(1,2)$ (trong đó $a,b,c,d$ thỏa điều kiện) cùng nằm trên đương tròn tâm $O(0,0)$, bán kính $R=\sqrt{5}$.
(1) tương đương với: $$MN+NP+MP \le 3\sqrt{15}$$
Điều này đúng vì trong mọi tam giác ta có : $$a^2+b^2+c^2 \le 9R^2$$.
Từ đó ta có đ.p.c.m.
Dấu $"="$ xảy ra khi $a+2b=c+2d=ac+bd=\dfrac{-5}{2} \square$

-----

Trên đây là lời giải của bạn sogenlun bên onluyentoan.vn.

Nhận xét lời giải trên:

1. Thiếu tự nhiên, không dễ để có được bất đẳng thức tương đương, với lại lúc đầu là biểu thức!

2. Với lời giải này chỉ tìm được GTLN, đáp ứng được một phần của bài toán mà thôi.

----