Chủ đề này có 1 trả lời

[Crystal]

Bài toán. Cho hàm số $y = \frac{x}{{x - 1}}\,\,\,\,\left( C \right)$
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $\left( C \right)$
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị $\left( C \right)$, biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị $\left( C \right)$ đến tiếp tuyến là lớn nhất.

Trích Đề thi số 8 - ebooktoan

[ngunhubo]

1.TXĐ=R\{1}
Sự biến thiên:
-Chiều biến thiên:
y'=-$\frac{1}{(x_{o}-1)^{2}}$ <0 với mọi x thuộc D
hàm số nghịch biến trên tập xác định
-Cực trị: hàm số không có cực trị
-Giới hạn:
$\lim_{x\to- \infty }y$ =$\lim_{x\to+ \infty }y$=1 nên y=1 là tiệm cận ngang
$\lim_{x\to 1^{+}}=+\infty$;$\lim_{x\to 1^{-}}=-\infty$ nên x=1 là tiệm cận đứng
-Bảng biến thiên
-Đồ thị:
Giao của đồ thị với Ox (0,0)
Đồ thị nhận giao 2 tiêm cận I(1,1) làm tâm đối xứng
2,
Giả sử M(x₀ ; y₀) thuộc © mà tiếp tuyến với đồ thị tại đó có khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp tuyến là lớn nhất
Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng :
$\ y=-\frac{1}{(x_{o}-1)^{2}}(x-x_{o})+\frac{x_{o}}{x_{o}-1}$
<=>$\ -\frac{1}{(x_{o}-1)^{2}}x-y+\frac{x_{o}^{2}}{(x_{o}-1)^{2}}$=0
Ta có:
d(I,tt)=$\frac{\frac{2}{|x_{o}-1|}}{\sqrt{1+\frac{1}{(x_{o}+1)^{4}}}}$
Xét hàm số f(t) =$\frac{2t}{\sqrt{1+t^{4}}} (t>0)$ ta có:
$\ f'(t)=\frac{(1-t)(1+t)(1+t^{2})}{(1+t^{4})(\sqrt{1+t^{4}})}$

-f’(t) = 0 khi t = 1
-Bảng biến thiên

-Từ bảng biến thiên ta thấy d(I ;tt) lớn nhất khi và chỉ khi t = 1 hay :
|x_o-1|=1 <=>x_o=2 hoặc x_o=0

+ Với x₀ = 0 ta có tiếp tuyến là y = -x
+ Với x₀ = 2 ta có tiếp tuyến là y = -x+4

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngunhubo: 28-05-2012 - 09:59