Chủ đề này có 1 trả lời

[Crystal]

Bài toán. Tính tích phân: $I = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2}{e^{{x^3}}} + \frac{{\sqrt[4]{x}}}{{1 + \sqrt x }}} \right)dx} $

Trích Đề thi số 8 - ebooktoan

[Crystal]

Ta có: \[I = \int\limits_0^1 {{x^2}{e^{{x^3}}}dx + \int\limits_0^1 {\frac{{\sqrt[4]{x}}}{{1 + \sqrt x }}dx} = {I_1} + {I_2}} \]
1. Đặt: $t = {x^3} \Rightarrow dt = 3{x^2}dx$.

Đổi cận: $x:0 \to 1 \Rightarrow t:0 \to 1$.

Suy ra: ${I_1} = \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {{e^t}} dt = \left. {\frac{1}{3}{e^t}} \right|_0^1 = \frac{1}{3}\left( {e - 1} \right)$

2. Đặt $t = \sqrt[4]{x} \Rightarrow {t^4} = x \Rightarrow 4{t^3}dt = dx$

Đổi cận: $x:0 \to 1 \Rightarrow t:0 \to 1$

Khi đó: \[{I_2} = 4\int\limits_0^1 {\frac{{{t^4}}}{{1 + {t^2}}}} dt = 4\int\limits_0^1 {\left( {{t^2} - 1 + \frac{1}{{{t^2} + 1}}} \right)} dt = \left. {4\left( {\frac{{{t^3}}}{3} - t + arctgt} \right)} \right|_0^1 = 4\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{2}{3}} \right)\]
Vậy $I = \dfrac{1}{3}\left( {e - 1} \right) + 4\left( {\dfrac{\pi }{4} - \dfrac{2}{3}} \right) = \boxed{\dfrac{e}{3} + \pi - 3}$