Chủ đề này có 4 trả lời

[Crystal]

Bài toán. Cho tứ diện $ABCD$ biết $AB = CD = a,\,\,AD = BC = b,\,AC = BD = c$. Tính thể tích của tứ diện $ABCD$.

Trích Đề thi số 8 - ebooktoan

[tuanzacubi2101995]

Bài này cũng ko có gì quá khó các bạn chỉ cần áp dụng : V= $\frac{1}{6}abd sin\alpha$ trong đó a,b,d là độ dài và khoảng cách của 2 đường chéo nhau trong hình tứ diện đó. Các bạn cần áp dụng thên tích vô hướng để tính d và $sin\alpha$ .
Vậy là bài toán đc giải quyết

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuanzacubi2101995: 16-09-2012 - 09:27

[Mrnhan]

bài này có thể tích là:
$V_{ABCD}=\frac{\sqrt{2}}{12}\sqrt{\prod (a^2+b^2-c^2)}$

[vkhoa]

Bài toán. Cho tứ diện $ABCD$ biết $AB = CD = a,\,\,AD = BC = b,\,AC = BD = c$. Tính thể tích của tứ diện $ABCD$.
 

Trích Đề thi số 8 - ebooktoan

 

Gọi E, F lần lượt là trung điểm AD, BC
$\triangle BAD=\triangle CDA$ (c, c, c)
$\Rightarrow BE =CE$
mà $BF =CF$ $\Rightarrow EF\perp BC$
tương tự $EF \perp AD$
dựng hình bình hành AEFH, DEFK
có BHCK là hình chữ nhật
có $EF \perp mp(BHCK)$
có AH //EF$\Rightarrow AH //mp(BCE)$
$\Rightarrow V_{ABCE} =V_{HBCE}$
tương tự $V_{DBCE} =V_{KBCE}$
$V_{ABCD} =V_{ABCE}+V_{DBCE}$
$ =V_{HBCE} +V_{KBCE} =V_{E.BHCK}$
$BE^2 =\frac{2BA^2 +2BD^2 -AD^2}4 =\frac{2a^2 +2c^2 -b^2}4$
$EF^2 =BE^2 -BF^2 =\frac{2a^2 +2c^2 -b^2}4 -\frac{b^2}4 =\frac{c^2 +a^2 -b^2}2$
$CK^2 =CD^2 -KD^2 =a^2 -\frac{c^2 +a^2 -b^2}2 =\frac{a^2 +b^2 -c^2}2$
$CH^2 =HK^2 -CK^2 =b^2 -\frac{a^2 +b^2 -c^2}2 =\frac{b^2 +c^2 -a^2}2$
$V_{E.BHCK} =\frac13 .EF .CH .CK $
$\Rightarrow V_{ABCD} =\frac{\sqrt{2}}{12} .\sqrt{(a^2 +b^2 -c^2)(b^2 +c^2 -a^2)(c^2 +a^2 -b^2)}$

Hình gửi kèm

• 

[nguyenthanhhung1985]

Nhận xét: Tứ diện có $AB=CD=a; AC=BD=b; BC=AD=c$ nên tứ diện $ABCD$ là tứ diện gần đều

Bước 1: Dựng thiết diện vuông $AB'C'D'$ như sau: Trong mặt phẳng $(BCD)$ các đường thẳng  qua $B$ song song $CD$, qua $C$ song song với $BD$ và qua $D$ song song với $BC$ tạ

o thành tam giác $B'C'D'$

Ta cần chứng minh: Tứ giác $AB'C'D'$ là tứ diện vuông (Hay đôi một vuông góc tại $A$) 

*Từ cách dựng ta suy ra: $DB'=DC'=BC=c$

*Do giả thiết: $BC=AD'$

*Suy ra: $DA=DB'=DC'$

*Cho nên tam giác AB'C' là tam giác vuông tại A

*Tương tự như vậy các tam giác AC'D' và AB'D'

Bước 2: Tính $V_{A.B'C'D'}$ rồi tính $V_{A.BCD}$

*Theo định lý Pi-ta-go áp dụng vào các tam giác vuông đã được ở trên ta có:

$B'C'^2=AB'^2+AC'^2=4c^2$   (1)

$B'D'^2=AB'^2+AD'^2=4b^2$    (2)

$C'D'^2=AD'^2+AC'^2=4a^2$    (3)

Cộng (1) (2) (3) theo từng vế ta có:

$AB'^2+AC'^2+AD'^2=2(a^2+b^2+c^2)$   (4)

Lấy (4) trừ (3), trừ (2) và trừ (1) ta được:

$AB'=\sqrt{2}\sqrt{b^2+c^2-a^2}$

$AC'=\sqrt{2}\sqrt{a^2+c^2-b^2}$

$AD'=\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2-c^2}$

Suy ra: $V_{A.B'C'D'}=\dfrac{AB'.AC'.AD'}{6}=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{(b^2+c^2-a^2)(a^2+c^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}$

*Hai hình chóp A.BCD và A.B'C'D' có cùng đường cao nhưng:

$S_{BCD}=\dfrac{1}{4}S_{B'C'D'}$

Nên suy ra thể tích của hình chóp A.BCD là:

$V_{ABCD}=\dfrac{\sqrt{2}}{12}\sqrt{(b^2+c^2-a^2)(a^2+c^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}$

Bước 3: Kết luận

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthanhhung1985: 26-06-2017 - 19:53