Chủ đề này có 2 trả lời

[ToanHocLaNiemVui]

Cho các số $x,y,z$ không âm thoả mãn: $x+y+z=1$. Chứng minh BĐT sau:
$\sqrt{x+y^{2}}+\sqrt{y+z^{2}}+\sqrt{z+x^{2}}\geq 2.$
____________________________________________(Phan Thành Nam)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ToanHocLaNiemVui: 12-05-2012 - 16:15

[ToanHocLaNiemVui]

Cho các số $x,y,z$ không âm thoả mãn: $x+y+z=1$. Chứng minh BĐT sau:
$\sqrt{x+y^{2}}+\sqrt{y+z^{2}}+\sqrt{z+x^{2}}\geq 2.$
____________________________________________(Phan Thành Nam)

Hôm nay rảnh vào box thấy bài mình post chưa ai giải cả, vậy mình post cách giải của anh Cẩn bằng PP chuyển vị, lời giải như sau:
Ta có đánh giá sau:

$\sqrt{y^{2}+z^{2}+yz+xy}+\sqrt{x^{2}+z^{2}+xz+zy}\geq \sqrt{y^{2}+z^{2}+yz+yz}+\sqrt{x^{2}+z^{2}+xz+xy}$. (1)

Bình phương 2 vế, và thu gọn, ta thấy bất đẳng thức này tương đương với:

$y(x-y)(x-z)(x+y+z)\geq 0$.

(Đoạn này hơi trâu 1 chút )

Điều này có thể đạt được nếu ta g/s $x=min{x,y,z}$ hoặc $x=max{x,y,z}$. Vậy từ (1) ta có BĐT tương đương:

$\sqrt{x+y^{2}}+\sqrt{x+z^{2}}+y+z\geq 2$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+y^{2}}+\sqrt{x+z^{2}}\geq 2x+y+z$

(Do : $x+y+z=1$ theo g/t)

AD BĐT Minkowski, ta có:

$\sqrt{x+y^{2}}+\sqrt{x+z^{2}}\geq \sqrt{(\sqrt{x}+\sqrt{x})^{2}+(y+z)^{2}}=\sqrt{4x(x+y+z)+(y+z)^{2}}=2x+y+z$.

Vậy ta có điều phải chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi chỉ khi $x=y=z= \frac{1}{3}$ hoặc $x=1,y=z=0$ và các hoán vị tương ứng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ToanHocLaNiemVui: 02-07-2012 - 16:25

[vuducvanno1]

$Ta có:a+b=c+d;\left | a-b \right |\leqslant \left | c-d \right| \Rightarrow (a+b)^{2}-(a-b)^{2}\geqslant (c+d)^{2}-(c-d)^{2}\Rightarrow ab\geqslant cd\Rightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}\geqslant \sqrt{c}+\sqrt{d}$

$Ta có:VT=\sqrt{x^{2}+xy+xz+y^{2}}+\sqrt{yx+y^{2}+yz+z^{2}}+\sqrt{z+x^{2}}\geqslant x+y+\sqrt{z+y^{2}}\geqslant x+y+\sqrt{(\sqrt{z}+\sqrt{z})^{2}+(x+y^{2})}=x+y+z+1=2$

Dấu = khi x=y=z=1/3 hoặc (x,y,z)=(0,0,1) và hoán vị