Chủ đề này có 1 trả lời

[ToanHocLaNiemVui]

Cho hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix}x_{1}x_{2}x_{3}...x_{1992}=1 & & & & & \\ x_{1}-x_{2}x_{3}...x_{1992}=1 & & & & & \\ x_{1}x_{2}-x_{3}x_{4}...x_{1992}=1 & & & & & \\ ............................ & & & & & \\ x_{1}x_{2}x_{3}...x_{1990}-x_{1991}x_{1992}=1 & & & & & \\ x_{1}x_{2}x_{3}...x_{1991}-x_{1992}=1 & & & & & \end{matrix}\right.$
Hỏi $x_{1990}$ có thể nhận những GT nào?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 15-07-2012 - 11:14

[defaw]

Ta có $x_{i}$ khác $0$ với $i=1,2,...,1992$.
Từ hai phương trình sau:
$x_{1}x_{2}...x_{1989}-x_{1990}x_{1991}x_{1992}=1$ và $x_{1}x_{2}...x_{1990}-x_{1991}x_{1992}=1$, ta suy ra:
$1-(x_{1990}x_{1991}x_{1992})^2=x_{1990}x_{1991}x_{1992}$ (1)và
$1-(x_{1991}x_{1992})^2=x_{1991}x_{1992}$ (2)
Từ (1), ta suy ra $x_{1990}x_{1991}x_{1992}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$ (3)
Từ (2), ta suy ra $x_{1991}x_{1992}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$ (4)
Từ (3) và (4), ta suy ra $x_{1990} = 1$ hoặc $x_{1990} = \frac{\sqrt{5}-3}{2}$ hoặc $x_{1990} = \frac{-3-\sqrt{5}}{2}$.