Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh đường thẳng Simpson ứng với 4 đỉnh của tứ giác nội tiếp đồng qui


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
25081997

25081997

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết
bài1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi dA là đường thẳng Sim-sơn của $\Delta$ BCD ứng vs điểm A. Các đường thẳng dB, dC, dD được định nghĩa tương tự. CMR 4 đường thẳng này đồng quy.
bài2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Điểm M thay đổi trên đường tròn không trùng vs các đỉnh của tứ giác. Gọi A',B',C' lần lượt là hình chiếu vuông góc của M xuống AB,BC,CD,DA.CMR D' luôn là trực tâm $\Delta$ A'B'C' hoặc không có vị trí nào của M để D' là trực tâm của $\Delta$ này.
bài3: Cho 2 đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B ( O1 và O2 nam về 2 phía của AB). 1 đường thẳng $\Delta$ thay đổi qua A cắt (O1) và (O2) lan lượt tại C và D ( A nằm giữa D và C).Tiếp tuyến tại C của (O1) và tiếp tuyến tại D của (O2) cắt nhau tại T. Gọi P,Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của B xuống các tiếp tuyến này.
a) tìm vị trí củađể BT lớn nhất.
b) CMR PQ tiếp xúc vs 1 đường tròn cố định.
bài4: Cho $\Delta$ ABC nhọn, ngoại tiếp đtròn (O). CMR:
$\frac{OA^{^{2}}}{AB.AC}+\frac{OB^{2}}{BA.BC}+\frac{OC^{2}}{CA.CB}=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 25081997: 14-05-2012 - 07:55


#2
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết
Bài 4:
Để thuận tiện, ta đặt $BC=a;CA=b;AC=b$
Vẽ AO, BO, CO cắt các cạnh đối diện thứ tự tại D,E,F.
Ta có công thức đường phân giác như sau:
\[
AD^2 = \frac{{bc\left( {a + b + c} \right)\left( {b + c - a} \right)}}{{\left( {b + c} \right)^2 }}
\]
Lại theo tính chất đường phân giác, ta có:
\[
\begin{array}{l}
\frac{{OA}}{{OD}} = \frac{{BA}}{{BD}} = \frac{{CA}}{{CD}} = \frac{{b + c}}{a} \Leftrightarrow \frac{{OA}}{{AD}} = \frac{{b + c}}{{a + b + c}} \\
\Leftrightarrow OA^2 = AD^2 .\frac{{\left( {b + c} \right)^2 }}{{\left( {a + b + c} \right)^2 }} = \frac{{bc\left( {a + b + c} \right)\left( {b + c - a} \right)}}{{\left( {b + c} \right)^2 }}.\frac{{\left( {b + c} \right)^2 }}{{\left( {a + b + c} \right)^2 }} = \frac{{\left( {b + c - a} \right)bc}}{{a + b + c}} \\
\Leftrightarrow \frac{{OA^2 }}{{bc}} = \frac{{b + c - a}}{{a + b + c}} \\
\end{array}
\]
Lập các biểu thức tương tự rồi cộng lại, ta có đpcm.
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#3
cool hunter

cool hunter

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 544 Bài viết

bài1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi dA là đường thẳng Sim-sơn của $\Delta$ BCD ứng vs điểm A. Các đường thẳng dB, dC, dD được định nghĩa tương tự. CMR 4 đường thẳng này đồng quy.
bài2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Điểm M thay đổi trên đường tròn không trùng vs các đỉnh của tứ giác. Gọi A',B',C' lần lượt là hình chiếu vuông góc của M xuống AB,BC,CD,DA.CMR D' luôn là trực tâm $\Delta$ A'B'C' hoặc không có vị trí nào của M để D' là trực tâm của $\Delta$ này.
bài3: Cho 2 đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B ( O1 và O2 nam về 2 phía của AB). 1 đường thẳng $\Delta$ thay đổi qua A cắt (O1) và (O2) lan lượt tại C và D ( A nằm giữa D và C).Tiếp tuyến tại C của (O1) và tiếp tuyến tại D của (O2) cắt nhau tại T. Gọi P,Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của B xuống các tiếp tuyến này.
a) tìm vị trí củađể BT lớn nhất.
b) CMR PQ tiếp xúc vs 1 đường tròn cố định.
bài4: Cho $\Delta$ ABC nhọn, ngoại tiếp đtròn (O). CMR:
$\frac{OA^{^{2}}}{AB.AC}+\frac{OB^{2}}{BA.BC}+\frac{OC^{2}}{CA.CB}=1$

Bài 1: Trước hết c/m: rằng các đoạn thẳng nối mỗi điểm trong số các điểm A,B,C,D vs trực tâm của tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm còn lại có cùng trung điểm I. Sau đó c/m các đường thẳng ơ-le đang xét đi qua trung điểm I.
_______
TGo.JPG
Bài 2: Hạ $MB_{1}\perp BD $.
khi đó $\overline{A',B_{1},D'};\overline{B',C',B_{1}}$.
Nếu có một vị trí của M để D' là trực tâm $\Delta ABC$ khi đó c/m: ABCD là hình chữ nhật(c/m AD // MC',...), sau đó c/m: đối vs hcn ABCD thì vs 1 vị trí của M trên (O) thì D' luôn là trực tâm $\Delta A'B'C'$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Beautifulsunrise: 03-01-2013 - 20:00

Thà đừng yêu để giữ mình trong trắng

Lỡ yêu rôì nhất quyết phải thành công

                                                                 





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh