Chủ đề này có 7 trả lời

[minhtuyb]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

Thi vào lớp 10 chuyên Toán-Tin

Năm học 2008-2009. Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1: Ba số dương $a,b,c$ thỏa mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne \sqrt{c}$ và $a+b=(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})^2$. Chứng minh đẳng thức:
$$\displaystyle{\frac{a+(\sqrt{a}-\sqrt{c})^2}{b+(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}}$$

Câu 2.
1. Với mỗi số dương $a$ thỏa mãn $a^3=6(a+1)$, chứng minh phương trình sau vô nghiệm:
$$x^2+ax+a^2-6=0$$
2. Tìm tất cả các giá trị của $a,b$ sao cho
$$2(a^2+1)(b^2+1)=(a+1)(b+1)(ab+1)$$

Câu 3:Ba số dương $a,b,c$ đôi một khác nhau và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
$(i): a$ là ước của $b+c+bc$
$(ii): b$ là ước của $a+c+ac$
$(iii): c$ là ước của $a+b+ab$
CMR: $a,b,c$ không đồng thời là các số nguyên tố

Câu 4: Cho tam giác $ABC$. Một đường tròn $©$ đi qua các điểm $A,B$ và cắt các cạnh $CA,CB$ tại các điểm $L,N$ tương ứng $(L\ne A,C;N\ne B,C)$. Gọi $M$ là trung điểm của cung $LN$ của đường tròn $©$ và $M$ nằm trong tam giác $ABC$. Đường thằng $AM$ cắt cắt các đường thẳng $BL$ và $BN$ tại các điểm $D$ và $F$ tương ứng, đường thẳng $BM$ cắt các đường thẳng $AN$ và $AL$ tại các điểm $E$ và $G$ tương ứng. Gọi $P$ là giao điểm của $AN$ và $BL$.
1. Chứng minh $DE//GF$
2. Nếu tứ giác $DEFG$ là hình bình hành, hãy chứng minh:
$a) \Delta ALP\sim \Delta ANC\\ b)DF\perp EG$

Câu 5: Cho $13$ điểm phân biệt nằm trong hay trên cạnh của một tam giác đều có cạnh bàng $6 cm$. Chứng minh rằng luôn tồm tại hai điểm trong số $13$ điểm đã cho mà khoảng cách giữa chúng không vượt quá $\sqrt{3} cm$

--------------------------HẾT--------------------------

Thấy VMF chưa có đề này nên mình đưa lên cho ae tham khảo . Cái đề này mình thấy ở trong một quyển sách của mình nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 21-05-2012 - 11:31

[L Lawliet]

Câu 1: Ba số dương $a,b,c$ thỏa mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne \sqrt{c}$ và $a+b=(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})^2$. Chứng minh đẳng thức:

$$\displaystyle{\frac{a+(\sqrt{a}-\sqrt{c})^2}{b+(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}}$$

Câu 2.
1. Với mỗi số dương $a$ thỏa mãn $a^3=6(a+1)$, chứng minh phương trình sau vô nghiệm:
$$x^2+ax+a^2-6=0$$
2. Tìm tất cả các giá trị của $a,b$ sao cho
$$2(a^2+1)(b^2+1)=(a+1)(b+1)(ab+1)$$

Đề này cũng từng giải rồi
Câu 1:
Ta có $a+b=(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})^2\Rightarrow a=(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})^2-b=(\sqrt{a}+2\sqrt{b}-\sqrt{c})(\sqrt{a}-\sqrt{c})$
và $a+b=(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})^2\Rightarrow b=(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})^2-a=(2\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})(\sqrt{b}-\sqrt{c})$
Do đó $\displaystyle{\frac{a+(\sqrt{a}-\sqrt{c})^2}{b+(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2}}=\frac{(\sqrt{a}+2\sqrt{b}-\sqrt{c})(\sqrt{a}-\sqrt{c})+(\sqrt{a}-\sqrt{c})^2}{(2\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})(\sqrt{b}-\sqrt{c})+(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2}$
$=...=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}$
Câu 2:
1. Xét $\Delta =a^2-4a^2+24=3(8-a^2)$
Giả sử phương trình có nghiệm tức là$0< a\leq 2\sqrt{2}$
Ta có $a^3=6(a+1)$ nên$6+\frac{6}{a}=a^2\leq 8\Rightarrow \frac{6}{a}\leq 2\Rightarrow a\geq 3> 2\sqrt{2}$ (mâu thuẫn)
Vậy ta có đpcm.
2. Ta có $2(a^2+1)\geq (a+1)^2;2(b^2+1)\geq (b+1)^2;(a^2+1)(b^2+1)\geq (ab+1)^2\Rightarrow 2(a^2+1)(b^2+1)\geq (a+1)(b+1)(ab+1)$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$

[NLT]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

Thi vào lớp 10 chuyên Toán-Tin

Năm học 2008-2009. Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 3:Ba số dương $a,b,c$ đôi một khác nhau và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
$(i): a$ là ước của $b+c+bc$
$(ii): b$ là ước của $a+c+ac$
$(iii): c$ là ước của $a+b+ab$
CMR: $a,b,c$ không đồng thời là các số nguyên tố

Câu 4: Cho tam giác $ABC$. Một đường tròn $©$ đi qua các điểm $A,B$ và cắt các cạnh $CA,CB$ tại các điểm $L,N$ tương ứng $(L\ne A,C;N\ne B,C)$. Gọi $M$ là trung điểm của cung $LN$ của đường tròn $©$ và $M$ nằm trong tam giác $ABC$. Đường thằng $AM$ cắt cắt các đường thẳng $BL$ và $BN$ tại các điểm $D$ và $F$ tương ứng, đường thẳng $BM$ cắt các đường thẳng $AN$ và $AL$ tại các điểm $E$ và $G$ tương ứng. Gọi $P$ là giao điểm của $AN$ và $BL$.
1. Chứng minh $DE//GF$
2. Nếu tứ giác $DEFG$ là hình bình hành, hãy chứng minh:
$a) \Delta ALP\sim \Delta ANC\\ b)DF\perp EG$

$P/S:$ 2 bài này đã có ở đây !
---

[Math Is Love]

Bài 5;
[/img]Chia tam giác đều thành 12 phần bằng nhau như trên. Ta tính được độ dài đoạn lớn nhất trong mỗi phần là $\sqrt{3}$
13 điểm chia vào 12 hình $\Rightarrow$ có ít nhất một hình chứa 2 điểm. Theo nguyên lí Đi-rích-lê ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doxuantung97: 21-05-2012 - 19:15

[Linhh Chii]

Chia tam giác thành 12 phaanftrong đó

G là trọng tâm của tam giác ABC

M,N,P là trung điểm GA,GB,GC

D,E,F là trung điểm của BC,CA,AB

Theo nguyên tắn Diriclet, trong số 13 điểm đã cho có ít nhất 2 điểm cùng thuộc 1 phần

[tandatcr2000pro]

Xin đóng góp một bài, không khó nhưng phổ biến trong các đề thi lớp 8.

$\frac{163-x}{13}+\frac{214-x}{32}+\frac{291-x}{47}+\frac{362-x}{53}=10$

[Ngoc Hung]

Xin đóng góp một bài, không khó nhưng phổ biến trong các đề thi lớp 8.

$\frac{163-x}{13}+\frac{214-x}{32}+\frac{291-x}{47}+\frac{362-x}{53}=10$

$\frac{163-x}{13}-1+\frac{214-x}{32}-2+\frac{291-x}{47}-3+\frac{362-x}{53}-4=0\Leftrightarrow (150-x)\left ( \frac{1}{13}+\frac{1}{32}+\frac{1}{47}+\frac{1}{53} \right )=0\Rightarrow x=150$

[ledacthuong2210]

Đúng rồi đó