Chủ đề này có 13 trả lời

[mysmallstar12]

Tìm m để phương trình $10x^2+8x+4=m(2x+1)\sqrt{x^2+1}$ có 2 nghiệm thực

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mysmallstar12: 21-05-2012 - 20:18

[Crystal]

Tìm m để phương trình $10x^2+8x+4=m(2x+1)\sqrt{x^2+1}$ có 2 nghiệm thực

Biến đổi phương trình thành: $$2\left(\dfrac{2x+1}{\sqrt{x^2+1}}\right)^2-m\left(\dfrac{2x+1}{\sqrt{x^2+1}}\right)+2=0$$.
Từ đó khảo sát hàm số $f(t)=\dfrac{2t^2+2}{t}$

Theo phamtuankhai

[mysmallstar12]

Biến đổi phương trình thành: $$2\left(\dfrac{2x+1}{\sqrt{x^2+1}}\right)^2-m\left(\dfrac{2x+1}{\sqrt{x^2+1}}\right)+2=0$$.
Từ đó khảo sát hàm số $f(t)=\dfrac{2t^2+2}{t}$

Theo phamtuankhai

Biến đổi thế nào được vậy?

[Crystal]

Biến đổi thế nào được vậy?

Phương trình đã cho viết thành:
\[8{x^2} + 8x + 2 - m\left( {2x + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} + 2{x^2} + 2 = 0\]
\[ \Leftrightarrow 2\left( {4{x^2} + 4x + 1} \right) - m\left( {2x + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} + 2\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow 2{\left( {2x + 1} \right)^2} - m\left( {2x + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} + 2\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\]
Chia cả hai vế của phương trình cho ${x^2} + 1 \ne 0$ ta được:
\[2\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} - m\frac{{\left( {2x + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}{{{x^2} + 1}} + 2 = 0\]
\[ \Leftrightarrow 2{\left( {\frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right)^2} - m\left( {\frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right) + 2 = 0\]
OK.

[Be Strong]

Phương trình đã cho viết thành:
\[8{x^2} + 8x + 2 - m\left( {2x + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} + 2{x^2} + 2 = 0\]
\[ \Leftrightarrow 2\left( {4{x^2} + 4x + 1} \right) - m\left( {2x + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} + 2\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow 2{\left( {2x + 1} \right)^2} - m\left( {2x + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} + 2\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\]
Chia cả hai vế của phương trình cho ${x^2} + 1 \ne 0$ ta được:
\[2\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} - m\frac{{\left( {2x + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}{{{x^2} + 1}} + 2 = 0\]
\[ \Leftrightarrow 2{\left( {\frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right)^2} - m\left( {\frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right) + 2 = 0\]
OK.

bạn đặt ẩn phụ, tìm đk và giải nốt phần còn lại cho mình với

[Crystal]

bạn đặt ẩn phụ, tìm đk và giải nốt phần còn lại cho mình với

Vâng! Tối về mình sẽ giải tiếp, giờ mình phải đi học đây. Bạn thông cảm nhé!

[nthoangcute]

Tìm m để phương trình $10x^2+8x+4=m(2x+1)\sqrt{x^2+1}$ có 2 nghiệm thực

Không biết anh học lớp 12 chưa chứ nếu học rồi thì có thể giải theo cách này:
$10x^2+8x+4=m(2x+1)\sqrt{x^2+1}$ có 2 nghiệm thực
$\Leftrightarrow$ đường thẳng $y=m$ cắt đường cong $y=2.\,{\frac {5\,{x}^{2}+4\,x+2}{ \left( 2\,x+1 \right) \sqrt {{x}^{2}+1}
}}$ tại hai điểm phân biệt !
Xét hàm số $f(x)=2.\,{\frac {5\,{x}^{2}+4\,x+2}{ \left( 2\,x+1 \right) \sqrt {{x}^{2}+1}
}}
$
Suy ra $f'(x)=-2.\,{\frac {x \left( 3\,x+4 \right) \left( x-2 \right) }{ \left( 2\,x
+1 \right) ^{2} \sqrt{\left( {x}^{2}+1 \right) ^{3}}}}$
Vẽ bảng biến thiên, ta được kết quả là:
Điều kiện cần và đủ để phương trình $10x^2+8x+4=m(2x+1)\sqrt{x^2+1}$ có đúng 2 nghiệm thực là
$m=\pm 4$ hoặc $m>\frac{12\sqrt{5}}{5}$ hoặc $m\leq-5$
(tức $m\leq \lim_{x \to - \infty } f(x)=-5$)
Xong !!!
_______________________________
Em mới học lớp 10 nên trình bày hơi lủng củng...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 17-10-2012 - 22:54

[Crystal]

Mình làm tiếp...

Đặt $t = \frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = f\left( x \right)$. Ta tìm tập giá trị của $t$ bằng cách khảo sát hàm $f\left( x \right)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Ta có: \[f'\left( x \right) = \frac{{2\sqrt {{x^2} + 1} - \left( {2x + 1} \right)\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{2\left( {{x^2} + 1} \right) - x\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{ - x + 1}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}\]
Suy ra: $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1$.

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$, ta suy ra được: $ - 2 \leqslant t \leqslant \frac{{3\sqrt 2 }}{2}$.

Khi đó, phương trình trở thành:
\[2{t^2} - mt + 2 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{2{t^2} + 2}}{t} = 2t + \frac{2}{t} = g\left( t \right),t \in \left[ { - 2;0} \right) \cup \left( {0;\frac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right]\]
Đến đây khảo sát sự tương giao giữa đồ thị hàm số $g\left( t \right) = 2t + \frac{2}{t}\,\,\,\,\left( C \right)$ với đường thẳng $d:y = m$.

Số giao điểm của $\left( C \right)$ và $d$ chính là số nghiệm của phương trình đã cho.

Ta có: $g'\left( t \right) = 2 - \frac{2}{{{t^2}}} \Rightarrow g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\\
t = - 1
\end{array} \right.$

Dựa vào bảng biến thiên (bạn tự vẽ nhé), ta suy ra được: đường thẳng $d:y=m$ cắt đồ thị hàm số $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi $ - 5 \le m < - 4;\,\,4 < m \le \frac{{11\sqrt 2 }}{3}$.

Vậy cá giá trị $m$ cần tìm là $m \in \left[ { - 5; - 4} \right) \cup \left( {4;\frac{{11\sqrt 2 }}{3}} \right]$.

P/S: Hai kết quả của hai cách làm khác nhau. Bạn xem lại giúp mình nhé (do gõ vội không tránh khỏi sai sót ).

[Be Strong]

Mình làm tiếp...

Đặt $t = \frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = f\left( x \right)$. Ta tìm tập giá trị của $t$ bằng cách khảo sát hàm $f\left( x \right)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Ta có: \[f'\left( x \right) = \frac{{2\sqrt {{x^2} + 1} - \left( {2x + 1} \right)\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{2\left( {{x^2} + 1} \right) - x\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{ - x + 1}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}\]
Suy ra: $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1$.

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$, ta suy ra được: $ - 2 \leqslant t \leqslant \frac{{3\sqrt 2 }}{2}$.

Khi đó, phương trình trở thành:
\[2{t^2} - mt + 2 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{2{t^2} + 2}}{t} = 2t + \frac{2}{t} = g\left( t \right),t \in \left[ { - 2;0} \right) \cup \left( {0;\frac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right]\]
Đến đây khảo sát sự tương giao giữa đồ thị hàm số $g\left( t \right) = 2t + \frac{2}{t}\,\,\,\,\left( C \right)$ với đường thẳng $d:y = m$.

Số giao điểm của $\left( C \right)$ và $d$ chính là số nghiệm của phương trình đã cho.

Ta có: $g'\left( t \right) = 2 - \frac{2}{{{t^2}}} \Rightarrow g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\\
t = - 1
\end{array} \right.$

Dựa vào bảng biến thiên (bạn tự vẽ nhé), ta suy ra được: đường thẳng $d:y=m$ cắt đồ thị hàm số $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi $ - 5 \le m < - 4;\,\,4 < m \le \frac{{11\sqrt 2 }}{3}$.

Vậy cá giá trị $m$ cần tìm là $m \in \left[ { - 5; - 4} \right) \cup \left( {4;\frac{{11\sqrt 2 }}{3}} \right]$.

P/S: Hai kết quả của hai cách làm khác nhau. Bạn xem lại giúp mình nhé (do gõ vội không tránh khỏi sai sót ).

bạn ơi, trong cách giải của bạn đó là coi mỗi giá trị t cho 1 giá trị của x, nhưng nhỡ mỗi giá trị của t cho 2,3,4... giá trị của x thì sao???

[nthoangcute]

Mình làm tiếp...
...
Số giao điểm của $\left( C \right)$ và $d$ chính là số nghiệm của phương trình đã cho.
...

Em nghĩ anh Thành nhầm chỗ này rồi !!!
Với mỗi giá trị của $t$ thỏa mãn $-2<t<\frac{3\sqrt{2}}{2}$ thì sẽ suy ra được hai giá trị phân biệt của $x$
Do đó $( C)$ phải cắt $d$ tại một điểm thỏa mãn $-2<t<\frac{3\sqrt{2}}{2}$ là xong ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 17-10-2012 - 23:01

[Be Strong]

Em nghĩ anh Thành nhầm chỗ này rồi !!!
Với mỗi giá trị của $t$ thỏa mãn $-2<t<\frac{3\sqrt{2}}{2}$ thì sẽ suy ra được hai giá trị phân biệt của $x$
Do đó $( C)$ phải cắt $d$ tại một điểm thỏa mãn $-2<t<\frac{3\sqrt{2}}{2}$ là xong ...

thực ra bài bạn Thành tính đạo hàm f'(x) sai nên đúng ra là điều kiện của t phải là $-2<t\leq \sqrt{5}$. trong đó, t $\epsilon$ (-2;2) thì một t cho một x, t $\epsilon (2;\sqrt{5}]$ thì một t cho hai x, bạn có thể vẽ bảng biến thiên ra sẽ rõ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Be Strong: 17-10-2012 - 23:56

[Ke Vo Tinh]

thực ra bài bạn Thành tính đạo hàm f'(x) sai nên đúng ra là điều kiện của t phải là $-2<t\leq \sqrt{5}$. trong đó, t $\epsilon$ (-2;2) thì một t cho một x, t $\epsilon (2;\sqrt{5}]$ thì một t cho hai x, bạn có thể vẽ bảng biến thiên ra sẽ rõ

Đạo hàm tính đúng mà bạn.

[Crystal]

Chính xác là mình tính đạo hàm ở bước đầu bị sai.

Phải là $f'\left( x \right) = \frac{{ - x + 2}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }} \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2$

Từ bảng biến thiên: $t \in \left[ { - 2;\sqrt 5 } \right]$.

[Be Strong]

vậy có bạn nào nói rõ hơn cho mình về cái một t tương ứng với mấy x được ko?