CMR: $(y+z)^4+ (x+z)^4 < (x+y)^4$
---
ĐHV: Chú ý $\LaTeX$
---
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 23-05-2012 - 11:09
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 23-05-2012 - 11:09
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn : $x+y+z = \frac{xy}{z}$
CMR: $(y+z)^4+ (x+z)^4 < (x+y)^4$
---
ĐHV: Chú ý $\LaTeX$
---
Bài này ý tưởng mình nghĩ giống như câu 5 trong đề thì đại học khối A năm 2009.Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn : $x+y+z = \frac{xy}{z}$
CMR: $(y+z)^4+ (x+z)^4 < (x+y)^4$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 31-05-2012 - 13:45
Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn : $x+y+z = \frac{xy}{z}$
CMR: $(y+z)^4+ (x+z)^4 < (x+y)^4$
---
ĐHV: Chú ý $\LaTeX$
---
Từ giả thiết suy ra $\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+1=\frac{xy}{z^2}$
Đặt $\frac{x}{z}=a;\frac{y}{z}=b$
Khi đó $a+b+1=ab$
BĐT cần chứng minh
$\Leftrightarrow (zb+z)^4+(az+z)^4< (az+bz)^4$
$\Leftrightarrow (a+1)^4+(b+1)^4< (a+b)^4$
$\Leftrightarrow a^4+b^4+4(a+b)+4(a^3+b^3)+2+6(a^2+b^2)< a^4+b^4+4ab(a^2+b^2)+6a^2b^2$
$\Leftrightarrow 2(a+b)+2(a+b)(a^2-ab+b^2)+1+3(a^2+b^2)<2ab(a^2+b^2)+3a^2b^2$
$\Leftrightarrow 2(a+b)+2(ab-1)(a^2-ab+b^2)+1+3(a^2+b^2)<2ab(a^2+b^2)+3a^2b^2$
$\Leftrightarrow 2(a+b)+1+(a^2+b^2)+2ab<5a^2b^2$
$\Leftrightarrow 2(ab-1)+1+(a+b)^2<5a^2b^2$
$\Leftrightarrow 2(ab-1)+1+(ab-1)^2=a^2b^2<5a^2b^2$
$\Leftrightarrow 0<4a^2b^2$(bđt này luôn đúng vì $a+b+1=ab$)
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh