Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $(y+z)^4+ (x+z)^4 < (x+y)^4$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Lnmn179

Lnmn179

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết
Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn : $x+y+z = \frac{xy}{z}$
CMR: $(y+z)^4+ (x+z)^4 < (x+y)^4$
---
ĐHV: Chú ý $\LaTeX$
---

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 23-05-2012 - 11:09

Hình đã gửi


#2
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết
Bài này làm lâu quá rồi nên chỉ nhớ khúc đầu thôi :P
Giả thiết đã cho viết lại thành $z(x+y+z)=xy\iff xz+zy+z^2+xy=2xy\iff (z+y)(x+z)=2xy$
$$QED \iff (y+z)^4+(x+z)^4=[(y+z)^2+(x+z)^2]^2-2(y+z)^2(x+z)^2=[(y+z)^2+(x+z)^2]^2-8x^2y^2<(x+y)^4$$

Tới đây thì mình không nhớ hướng làm nữa :icon6:

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#3
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn : $x+y+z = \frac{xy}{z}$
CMR: $(y+z)^4+ (x+z)^4 < (x+y)^4$
---
ĐHV: Chú ý $\LaTeX$
---


Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn : $x+y+z = \frac{xy}{z}$
CMR: $(y+z)^4+ (x+z)^4 < (x+y)^4$

Bài này ý tưởng mình nghĩ giống như câu 5 trong đề thì đại học khối A năm 2009.
Đầu tiên là ta sẽ đặt $a=y+z,b=z+x,c=x+y$ khi đó, dễ dàng tính được $$x=\frac{b+c-a}{2},y=\frac{c+a-b}{2},z=\frac{a+b-c}{2}.$$ Thay các giá trị này vào giả thiết của bài toán, ta được \[\frac{a+b-c}{2}\cdot\left (\frac{b+c-a}{2}+\frac{c+a-b}{2}+\frac{a+b-c}{2} \right )=\frac{b+c-a}{2}\cdot\frac{c+a-b}{2},\] hay là \[c^2=a^2+b^2.\] Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại nhu sau \[a^4+b^4<c^4,\] hoặc \[a^4+b^4<(a^2+b^2)^2\] Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng vì \[a^4+b^4<a^4+b^4+2a^2b^2=(a^2+b^2)^2\] Chứng minh hoàn tất. $\Box$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 31-05-2012 - 13:45

Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#4
lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết

Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn : $x+y+z = \frac{xy}{z}$
CMR: $(y+z)^4+ (x+z)^4 < (x+y)^4$
---
ĐHV: Chú ý $\LaTeX$
---

Từ giả thiết suy ra $\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+1=\frac{xy}{z^2}$

Đặt $\frac{x}{z}=a;\frac{y}{z}=b$

Khi đó $a+b+1=ab$

BĐT cần chứng minh 

$\Leftrightarrow (zb+z)^4+(az+z)^4< (az+bz)^4$

$\Leftrightarrow (a+1)^4+(b+1)^4< (a+b)^4$

$\Leftrightarrow a^4+b^4+4(a+b)+4(a^3+b^3)+2+6(a^2+b^2)< a^4+b^4+4ab(a^2+b^2)+6a^2b^2$

$\Leftrightarrow 2(a+b)+2(a+b)(a^2-ab+b^2)+1+3(a^2+b^2)<2ab(a^2+b^2)+3a^2b^2$

$\Leftrightarrow 2(a+b)+2(ab-1)(a^2-ab+b^2)+1+3(a^2+b^2)<2ab(a^2+b^2)+3a^2b^2$

$\Leftrightarrow 2(a+b)+1+(a^2+b^2)+2ab<5a^2b^2$

$\Leftrightarrow 2(ab-1)+1+(a+b)^2<5a^2b^2$

$\Leftrightarrow 2(ab-1)+1+(ab-1)^2=a^2b^2<5a^2b^2$

$\Leftrightarrow 0<4a^2b^2$(bđt này luôn đúng vì $a+b+1=ab$)






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh