Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi vào lớp 10, môn Toán


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
mango

mango

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 220 Bài viết
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN BẮC GIANG
Năm 2010-2011 ; Thời gian 150 phút

Câu 1: (4,0 điểm): Cho biểu thức:
$T = \frac{2x-\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}} + \frac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}} - \frac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}$
1. Rút gọn T.
2. Tìm tất cả các giá trị của x nguyên để T nguyên.


Câu 2: (4,0 điểm) Gọi
$x_{1}, x_{2}$ là các nghiệm nguyên của phương trình bậc hai $x^{2} - 5x + 2 = 0$
1. Tính giá trị của biểu thức $H = \left|3x_{1}-x_{2} \right| + \left|3x_{2}-x_{1} \right|$
2. Cho $S = \left(5-2\sqrt{17} \right)^{2010} + \left(5+2\sqrt{17} \right)^{2010}$. Chứng minh rằng S là số nguyên.


Câu 3: (2,0 điểm) Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm:
\begin{cases} & \sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}} + \sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}= 2 \\ & 3\sqrt{1-y^{2}}+ 2 \left|x \right|= 4-m\end{cases}

Câu 4: (5,0 điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R, (R là một độ dài cho trước). Hai điểm M, N chạy trên nửa đường tròn (O) sao cho M thuộc cung AN và độ dài dây MN bằng R.
1. Tính tổng các khoảng cách d từ hai điểm A, B đến đường thẳng (MN).
2. Gọi E là giao điểm của dây AN và BM. Tính bán kính của đường tròn ($O_{1}$) ngoại tiếp tam giác EMN theo R.
3. Đường thẳng (AM) cắt đường tròn ($O_{1}$) tại điểm thứ hai k, ($K \neq M$). Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác KAB khi M, N thay đổi trên nửa đường tròn (O) nhưng vẫn thỏa mãn giả thiết của bài toán.


Câu 5: (2,0 điểm) Cho $f(x) = x^{2} +bx +c$. Chứng minh rằng nếu $f(x)> 0$với $x \epsilon R$ thì f(x) có thể phân tích thành tổng các bình phương của 2 nhị thức bậc nhất (tức là chứng minh tồn tại các số thực:$m_{1}, m_{2}, n_{1}, n_{2} với m_{1} \neq 0, m_{2}\neq 0$ sao cho $f(x) = (m_{1}x+n_{1})^{2} + (m_{2}x+n_{2})^{2})$.


Câu 6: (3,0 điểm). Biết rằng với hai số thực không âm a, b bất kì ta luôn có $a+b\geq 2\sqrt{ab}$, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. Chứng minh rằng:
1. Với 3 số thực không âm a, b, c bất kì ta luôn có:
$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$,
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
2. Với 3 số thực dương x, y, z bất kì ra luôn có:
$\frac{1}{x+y+z+1} - \frac{1}{(x+1)(y+1)(z+1)} \leq \frac{1}{8}$
khi nào xảy ra dấu đẳng thức?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mango: 15-06-2012 - 05:52


#2
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết
Câu 5:
$f(x)=x^2+bx+c>0, \forall x \Leftrightarrow b^2-4c<0 \Leftrightarrow b^2<4c \Rightarrow c>0$ và $\dfrac{b^2}{4c}<1$
Ta có
\[
f\left( x \right) = x^2 + bx + c = \frac{{b^2 }}{{4c}}x + 2.\frac{b}{{2\sqrt c }}x.\sqrt c + c + \frac{{4c - b^2 }}{{4c}}x^2 = \left( {\frac{b}{{2\sqrt c }}x + c} \right)^2 + \left( {\frac{{\sqrt {4c - b^2 } }}{{2\sqrt c }}x} \right)^2
\]
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#3
C a c t u s

C a c t u s

    Fly

  • Thành viên
  • 339 Bài viết

Câu 6: (3,0 điểm). Biết rằng với hai số thực không âm a, b bất kì ta luôn có $a+b\geq 2\sqrt{ab}$, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. Chứng minh rằng:
1. Với 3 số thực không âm a, b, c bất kì ta luôn có:
$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$,
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT sau:
$a+b+c+ \sqrt[3]{abc} \geq 4\sqrt[3]{abc}$
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số ta có:
$(a+b) + (c+ \sqrt[3]{abc}) \geq 2\sqrt[]{ab} + 2\sqrt[]{c\sqrt[3]{abc}} \geq 2\sqrt[]{2\sqrt[]{ab}.2\sqrt[]{c\sqrt[3]{abc}}} = 4\sqrt[3]{abc}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi C a c t u s: 16-06-2012 - 19:48

Kỳ tích là tên gọi khác của sự nỗ lực





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh