Chủ đề này có 3 trả lời

[Beautifulsunrise]

Cho tam giác ABC. Gọi D, E là 2 điểm nằm trên cạnh BC sao cho $\widehat{BAD}=\widehat{CAE}$. Đg tròn nội tiếp các tam giác ABD, ACE tiếp xúc cới BC lần lượt tại M, N.
CMR: $\frac{1}{MB}+\frac{1}{MD} =\frac{1}{NC}+\frac{1}{NE}$

[datkjlop9a2hVvMF]

Cho tam giác ABC. Gọi D, E là 2 điểm nằm trên cạnh BC sao cho $\widehat{BAD}=\widehat{CAE}$. Đg tròn nội tiếp các tam giác ABD, ACE tiếp xúc cới BC lần lượt tại M, N.
CMR: $\frac{1}{MB}+\frac{1}{MD} =\frac{1}{NC}+\frac{1}{NE}$

Mình post cái hình trước @@

[Leonguyen]

Câu này là IMO Shortlist 1993 lSL3

 

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leonguyen: 09-04-2023 - 17:47

[HaiDangPham]

Lời giải. Gọi $(I_b, r_b)$, $(I_c, r_c) $ lần lượt là đường tròn nội tiếp các tam giác ABD và ACE. $(I_b)$ tiếp xúc AD tại M' và $(I_c)$ tiếp xúc AE tại N'. 

Ta có $S_{ABD}=\frac{1}{2}.AB.AD. \sin{\angle BAD}$,  $S_{ACE}=\frac{1}{2}.AC.AE. \sin{\angle CAE}$. Mà $\angle BAD=\angle CAE$ nên 

$\frac{S_{ABD}}{S_{ABD}}=\frac{AB.AD}{AC.AE}$ $(1)$

Theo một cách khác $S_{ABD}=\frac{1}{2}.(AB+AD+BD).r_b$ và $S_{ACE}=\frac{1}{2}.(AC+AE+EC).r_c$. Do đó 

$\frac{S_{ABD}}{S_{ACE}}=\frac{AB+AD+BD}{AC+AE+EC}.\frac{r_b}{r_c}$ 

Cũng do $\angle BAD=\angle CAE$ nên tam giác $AI_bM'$ đồng dạng với tam giác $AI_cN'$. Suy ra 

$\frac{r_b}{r_c}=\frac{AM'}{AN'}=\frac{AB+AD-BD}{AC+AE-EC}$

Do đó 

$\frac{S_{ABD}}{S_{ACE}}=\frac{(AB+AD)^2-BD^2}{(AC+AE)^2-EC^2}.$  $(2)$

Từ (1) và (2), áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có 

$\frac{S_{ABD}}{S_{ACE}}$

$=\frac{(AB+AD)^2-BD^2 -4.AB.AD}{(AC+AE)^2-EC^2-4.AC.AE}$

$=\frac{(AB-AD)^2-BD^2}{(AC-AE)^2-EC^2}$

$=\frac{(AB+BD-AD)(AD+BD-AB)}{(AC+EC-AE)(AE+AE-AC)}$

$=\frac{MB.MD}{NC.NE}$

Cuối cùng, theo một cách khác nữa $\frac{S_{ABD}}{S_{ACE}}=\frac{BD}{CE}$. Do đó $\frac{BD}{CE}=\frac{MB.MD}{NC.NE}$. Để ý $BD=MB+MD$ và $CE=NC+NE$ ta suy ra điều phải chứng minh. 

____

Một lời giải hơi cồng kềnh ^^! Thú vị nhất chỗ dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vì chẳng mấy khi mình dùng trong chứng minh hình học. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 12-04-2023 - 04:13