Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: khoảng cách từ G đến AB không phụ thuộc vị trí 2 điểm M, N.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Beautifulsunrise

Beautifulsunrise

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 450 Bài viết
Cho đoạn thẳng AB, 2 điểm M, N nằm trên đoạn thẳng sao cho M nằm giữa A và N. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tam giác đều AMD, MNE, BNF. Gọi G là trọng tâm tam giác DEF. CMR: khoảng cách từ G đến AB không phụ thuộc vị trí 2 điểm M, N.

#2
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Cho đoạn thẳng AB, 2 điểm M, N nằm trên đoạn thẳng sao cho M nằm giữa A và N. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tam giác đều AMD, MNE, BNF. Gọi G là trọng tâm tam giác DEF. CMR: khoảng cách từ G đến AB không phụ thuộc vị trí 2 điểm M, N.

Lời giải.

 

 

           Untitled_zps735157ef.png

 

 

Lấy $I$ trung điểm $DE$, $O$ là trung điểm $GF$.

Lấy $D',I',H,E',O',F'$ lần lượt là hình chiếu của $D,I,G,E,O,F$ trên $AB$.

$\blacktriangleright$ Hình thang $DD'E'E$ có $II'$ là đường trung bình nên $II'= \frac{DD'+EE'}{2} \qquad (1)$.

$\blacktriangleright$ Hình thang $II'O'O$ có $GH$ là đường trung bình nên $2GH= II'+OO' \qquad (2)$.

Lại có $OO'$ là đường trung bình của hình thang $GHF'F$ nên $OO'= \frac{GH+FF'}{2} \qquad (3)$.

 

Từ $(1),(2)$ và $(3)$ ta suy ra $3GH= DD'+EE'+FF'$.

Vì $DAM,MNE,NBF$ đều là các tam giác đều nên $DD'= \frac{ \sqrt 3}{2} AM , \; EE'= \frac{ \sqrt 3}{2} MN, \; FF'= \frac{ \sqrt 3}{2} NB$.

Do đó $GH= \frac{AB}{2 \sqrt 3}$, không phụ thuộc vào $M,N$.


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh