Chủ đề này có 6 trả lời

[Zaraki]

Câu 1: 1.Rút gọn biểu thức:
$A= 2\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{18}$
$B=\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{1}{\sqrt{x}+1}- \frac{2}{x-1}$

Câu 2: Cho phương trình (ẩn $x$): $$x^2-ax-2=0 \qquad (*)$$
1. Giải phương trình (*) với $a=1$.
2. Chứng minh rằng phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt với mọi $a$.
3. Gọi $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của (*). Tìm giá trị $a$ để biểu thức $N=x_{1}^2 + (x_1+2)(x_2+2) + x_{2}^2$ có giá trị nhỏ nhất.

Câu 3: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Quãng đường sông $AB$ dài 78 km. Một chiếc thuyền máy đi từ A về phía B. Sau đó 1h, một chiếc ca nô đi từ $B$ về phía $A$. Thuyền và ca nô gặp nhau tại $C$ cách $B$ 36 km. Tính thời gian của thuyền, thời gian ca nô đã đi từ lúc khởi hành đến khi gặp nhau, biết vận tốc của ca nô lớn hơn vận tốc của thuyền là 4 km/h

Câu 4: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, trên cạnh $AC$ lấy điểm $D$ (khác A và $C$). Đường tròn $(O)$ đường kính DC cắt BC tại $E$ (khác $C$).
1. CM tg $ABED$ nội tiếp
2. Đường thẳng $BD$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $I$. Chứng minh $ED$ là tia phân giác của góc $AEI$.
3. Giả sử $\tan (ABC) = \sqrt{2}$ . Tìm vị trí của $D$ trên $AC$ để $EA$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $DC$.

Câu 5: Giải phương trình:
$$7+2\sqrt{x} -x=(2+\sqrt{x})\sqrt{7-x}$$

[C a c t u s]

Bài 1 thiếu phần 2
Bổ sung này:
2. Giải phương trình
$\left\{\begin{matrix}2x+y=5\\x+2y=4\end{matrix}\right.$
Nguồn: hocmai.vn

[khanh3570883]

Câu 5: Giải phương trình:
$$7+2\sqrt{x} -x=(2+\sqrt{x})\sqrt{7-x}$$

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt x = t \\
\sqrt {7 - x} = a \\
\end{array} \right.$
Khi đó:
\[{a^2} - a\left( {2 + t} \right) + 2t = 0\]
\[\Delta = {\left( {t - 2} \right)^2} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = t\left( {t \ge 2} \right) \\
a = 2\left( {0 \le t \le 2} \right) \\
\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow x = 3\]

[henry0905]

3) Đặt a là vận tốc của thuyền (km/h)
$\Rightarrow$ vận tốc ca nô là a+4 (km/h)
Trong 1h thuyền đi được a km
Gọi t là thời gian ca nô bắt đầu xuất phát đến C
Ta có hệ PT:
$\left\{\begin{matrix} a+at+t(a+4)=78 & \\ a+at=78-36 & \end{matrix}\right.$
Giải ra được a=14,t=2
Vậy thuyền đi 3h, ca nô đi 2h

[battlebrawler]

Câu 4: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, trên cạnh $AC$ lấy điểm $D$ (khác A và $C$). Đường tròn $(O)$ đường kính DC cắt BC tại $E$ (khác $C$).
1. CM tg $ABED$ nội tiếp
2. Đường thẳng $BD$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $I$. Chứng minh $ED$ là tia phân giác của góc $AEI$.
3. Giả sử $\tan (ABC) = \sqrt{2}$ . Tìm vị trí của $D$ trên $AC$ để $EA$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $DC$.

1. $\widehat{DEC}=90^{\circ}$ (gnt chắn nửa đt) => $\widehat{DEB}=90^{\circ}$ => $\widehat{DEB}+\widehat{BAD}=180^{\circ}$ => đpcm
2. $\widehat{DIC}\equiv \widehat{BIC}=90^{\circ}=\widehat{BAC}$
=> AICB nội tiếp => $\widehat{ABD}=\widehat{ICD}$
Mà $\widehat{ABD}=\widehat{AED}$ (ABED nt) và $\widehat{ICD}=\widehat{IED}$ (ICED nt)
Suy ra: $\widehat{AED}=\widehat{IED}$ => đpcm
3. Khi EA là tiếp tuyến (O) với $\tan (ABC) = \sqrt{2}$ <=> $\frac{AB}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ thì: $\widehat{ABD}=\widehat{ACB}$
=> $\Delta ABD$ đồng dạng $\Delta ACB$
=> $\frac{S\Delta ABD}{S\Delta ACB}=\frac{AB^{2}}{AC^{2}}=\frac{1}{2}$
=> $S\Delta ACB=2S\Delta ABD$
=> $\frac{1}{2}AB.AC=2.\frac{1}{2}AB.AD$
=> AC = 2AD => D là trung điểm AC
Kết luận: Khi $\tan (ABC) = \sqrt{2}$, D phải là trung điểm AC thì EA là tiếp tuyến (O;$\frac{DC}{2}$)

[Nguyễn Trung Nghĩa]

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt x = t \\
\sqrt {7 - x} = a \\
\end{array} \right.$
Khi đó:
\[{a^2} - a\left( {2 + t} \right) + 2t = 0\]
\[\Delta = {\left( {t - 2} \right)^2} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = t\left( {t \ge 2} \right) \\
a = 2\left( {0 \le t \le 2} \right) \\
\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow x = 3\]

ĐKXĐ: $0\leq x\leq 7$
Bình phương hai vế có:
$x^{2}+4x+49+2(14\sqrt{x}-7x-2x\sqrt{x})=(x+4\sqrt{x}+4)(7-x)$
$\Leftrightarrow 2x^{2}-13x+21=0$
Giải phương trình trên đc x=3 và x=3,5

P/S: @khanh3570883 bạn xem lại xem cách của mình có đúng không hay sai nhé

[Nguyễn Trung Nghĩa]

Phần cuối bài hình mình làm thế này mọi người xem có đc không nhá!!!

Giả sử EA là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD, kết hợp với tứ giác ABED nội tiếp: $\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{ACB}$
Có: $\left\{\begin{matrix} \widehat{ABD}+\widehat{ADB}=90^{\circ}\\ \widehat{ACB}+\widehat{ABC}=90^{\circ} \end{matrix}\right. \Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{ABC}$
Xét tam giác ABC vuông tại A có:
$tg\widehat{ABC}=\sqrt{2}\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\sqrt{2}\Rightarrow AC=AB\sqrt{2}$ (1)
Xét tam giác ABD vuông tại A có:
$tg\widehat{ADB}=\sqrt{2}\Rightarrow \frac{AB}{AD}=\sqrt{2}\Rightarrow AB=AD\sqrt{2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra AC=2AD nên D là trung điểm