Đến nội dung

Hình ảnh

a^n-1

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
QUANVU

QUANVU

    B&S-D

  • Hiệp sỹ
  • 4378 Bài viết
Tìm tất cả các bộ ba http://dientuvietnam...etex.cgi?(a,m,n)\in\mathbb{Z^+}^3 sao cho http://dientuvietnam...tex.cgi?a>1,m>n và tập các ước nguyên tố của http://dientuvietnam...metex.cgi?a^m-1http://dientuvietnam...metex.cgi?a^n-1 là bằng nhau.

Nhìn lại các bài toán của China TST 2005
1728

#2
emvaanh

emvaanh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
Bài này mình xin giải vắn tắt như sau, hãy chứng minh kết quả:
(1)Cho d>1, p nguyên tố lẻ khi đó d^p-1 và d-1 không thể có chung tập ước nguyên tố.
CM, ngược lại xét A=(d^p-1)/(d-1). Xét q là ước nguyên tố bất kì của A, suy ra
d :P 1 (mod q), từ đó suy ra p=q.
Nghĩa là ta vừa chứng minh xong (d^p-1)/(d-1)=p^i. Hãy suy ra i=1 và kết luận mâu thuẫn.
(2)d^2-1 và d-1 cùng tâp ước nguyên tố khi và chỉ khi d=3 (rất dễ)

Áp dụng (1), (2) cho bài của này ta có kết luận (a,m,n)=(3,2,1)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emvaanh: 27-10-2005 - 09:35

Everything having a start has an end.

#3
QUANVU

QUANVU

    B&S-D

  • Hiệp sỹ
  • 4378 Bài viết
Mình cũng chưa ra đến kết quả cuối cùng nhưng hướng cũng na ná như vậy.He he diễn đàn mới xuất hiện thêm cao thủ rồi :x
1728

#4
lehoan

lehoan

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Hiệp sỹ
  • 1213 Bài viết
Kết quả cuối cùng là http://dientuvietnam...=2;n=1;a=2^k-1.

Đây thực chất là một bài trong dự tuyển năm 98.

#5
emvaanh

emvaanh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
Cám ơn đã cho tôi biết nguồn gốc bài toán.
Đáp số tôi đưa ra là đúng đấy còn đáp số lehoan đưa ra sai rồi!
Chỉ cần tìm a sao cho cà a^2-1 và a-1 đều là lũy thừa của 2 thôi mà!
Everything having a start has an end.

#6
lehoan

lehoan

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Hiệp sỹ
  • 1213 Bài viết

Cám ơn đã cho tôi biết nguồn gốc bài toán.
Đáp số tôi đưa ra là đúng đấy còn đáp số lehoan đưa ra sai rồi!
Chỉ cần tìm a sao cho cà a^2-1 và a-1 đều là lũy thừa của 2 thôi mà!

Đó là tất cả các nghiệm của bài toán.
Vì ta có
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(2^k-1)^2-1=2^k(2^k-2) dĩ nhiên có cùng tập ước số nguyên tố với http://dientuvietnam...etex.cgi?2^k-2.

#7
emvaanh

emvaanh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
Ừ mình đã sai lầm ỡ bước cuối là tìm sao cho a^2-1 và a-1 có cùng ước nguyên tố. Rất cám ơn bạn nha!
Everything having a start has an end.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh