Mình đã rất đắn đo không biết nên viết bài viết này vì nó khá trừu tượng nhưng mong bạn đọc hãy kiên nhẫn để khám phá những mô tả sơ khai đầu tiên của một trong những lý thuyết lớn nhất thế kỉ $20$, Topo đại số. Topology  Bản đồ khu vực cầu Königsberg. Thế kỉ $17$, cụ thể vào năm $1736$ thì Leonhard Euler đưa ra một bài báo về bài toán bảy cây cầu ở Königsberg. Sau đó năm $1750$ ông phát hiện ra công thức $V - E + F = 2$ cho các đa diện lồi. Đánh dấu sự bắt đầu của ngành topo. Các thế hệ nhà Toán học tiếp theo như Riemann, Betti, Cauchy, Noether, ... cũng đã có những đóng góp rất đáng kể. Nhưng phải thật sự tới bài báo Analysis Situs của Henri Poincare năm $1895$ thì topo đại số mới chính thức trở thành một ngành nghiên cứu sống động và trở thành một trong các chủ đề chính của Toán học thế kỉ $20$. Trong bài báo này ông giới thiệu nhóm cơ bản, đồng luân, đồng điều, đồng thời đưa ra những mô tả đầu tiên về đối ngẫu Poincare và giả thuyết Poincare (một trong bảy giả thuyết thiên nhiên kỉ, được giải bởi Griogi Perelman năm $2006$). Sau này người ta phát triển thành hai hướng làm topo chính là: topo đại số và topo vi phân. Như hai cái tên thì một bên sử dụng công cụ của đại số và một bên sử dụng các công cụ của giải tích để tấn công những vấn đề khác nhau. (trong bài viết này mình viết chính về topo đại số) Nền tảng của bất kì loại topo là topo đại cương, nhưng được xây dựng hoàn toàn bởi lý thuyết tập hợp dựa trên cơ sở là tổng quát hóa không gian me...

Đóng tạm cái Topic ở đây, từ thứ $5$ sẽ đăng một Series $12$ phần về "Nhà Toán học cuối cùng từ Göttingen của Hilbert: Saunders Maclane, nhà triết học của Toán học." Giới thiệu: - Saunders Maclane, cùng với Samuel Eilenberg là hai người sáng lập ra lý thuyết phạm trù, một ví dụ nữa là các không gian Eilenberg-Maclane $K(G,n)$'s- Doctoral advisor của Maclane là Hermann Weyl.- Ông có các học trò rất nổi tiếng như Roger Lyndon, Irving Kaplansky, David Eisenbud, John Thompson ...- Một cuốn sách nổi tiếng của ông là Category for working mathematician. - ( mình chưa bao giờ học phạm trù ở cuốn này ).  Mình nghĩ đôi khi lịch sử là cái rất hay để kích thích việc học Toán. Hy vọng mình sẽ làm series này đều đặn.

Hai nhà toán học đã phát hiện ra lỗ hổng trong trọng tâm phần chứng minh giả thuyết abc, đây chính là phần chứng minh gây ra tranh luận trong giới toán học suốt gần $60$ năm. Trong một bài báo cáo được đăng tải trong hôm nay ($20/9/2018$), Peter Scholze đến từ đại học Bonn và Jakob Stix từ đại học Goethe University Frankfurt đã nêu ra một lỗ hổng được coi là "nghiêm trọng, không thể sửa chữa được" trong bài chứng minh rất dài của Shinichi Mochizuki, ông là một nhà toán học của đại học Kyoto và nổi tiếng vì trí tuệ của mình. Bài viết của Mochizuki đăng lên mạng năm $2012$ được cho là đã chứng minh được giả thuyết abc - một trong những vấn đề "khó vậy" nhất của lý thuyết số. Dù có nhiều cuộc thảo luận nhằm giải thích cách chứng minh của Mochizuki, các nhà lý thuyết số đã phải nỗ lực để hiểu các ý tưởng nền tảng của nó. Chuỗi các bài viết của Mochizuki gồm $500$ trang được trình bày theo lối viết rất khó hiểu, ngoài ra còn liên kết với các bài viết trước đó của ông, khiến nó trở thành một thứ được cho là "dãy hồi quy vô hạn" theo đánh giá của Brian Conrad từ đại học Stanford. Khoảng $12$ đến $18$ nhà toán học nghiên cứu chuyên sâu chứng minh này đều tin rằng nó đúng, điều này được nhắc đến trong một bức thư điện tử gửi đến Ivan Fesenko của đại học Nottingham. Nhưng chỉ những nhà toán học trong "quỹ đạo của Mochizuki" mới xác nhận của tính chính xác trong bài chứng minh, Conrad đã bình luận như vậy trong một blog tranh luận vào cuối tháng $11$. "Không có một ai...

Ngày thi thứ nhất:Bài 1: (5 điểm)a) cho dãy số $(x_n)_{n>=1}$ được xác định như sau: $x_1=1, x_{n+1}= 1 + \frac{n}{x_n} , n \in \mathbb{N}*$Đặt $y_n = \frac{x_n}{\sqrt{n}}, n \in \mathbb{N}*$. Chứng minh dãy $(y_n)_{n>=1}$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đób) Cho dãy số thực dương $(a_n)_{n>=1}$ có $a_1=1, a_2=2$ và với mọi số nguyên dương $m, n$ đều thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau:  i) $a_{mn} = a_ma_n$ ;     ii) $a_n<=2018n$      iii) $a_{m+n} <= 2019(a_m+a_n)$Chứng minh $a_n=n$ với mọi số nguyên dương $n$Bài 2:(5 điểm) Cho 2 đường tròn có bán kính khác nhau $(O_1),(O_2)$ cắt nhau tại $X,Y$ sao cho $\angle O_1XO_2 = 90^o$. Gọi $AB$ là tiếp tuyến chung ngoài của $(O_1),(O_2) (A \in(O_1), B \in (O_2))$. Đường thẳng $O_2A$ cắt $(O_1)$ lần thứ 2 tại $C$, đường thẳng $O_1B$ cắt $(O_2)$ lần thứ 2 tại $D$. $AC \cap BD = E, AD \cap BC = F$. Tiếp tuyến tại $C$ của $(O_1)$ cắt $AB$ tại $M$.a) Chứng minh $M$ là trung điểm đoạn $AB$b) Chứng minh tồn tại một đường tròn $(J)$ tiếp xúc $(O_1),(O_2)$ lần lượt tại $C,D$ và bán kính của $(J)$ bằng $\frac{1}{3}$ khoảng cách từ $J$ đến đường thẳng $AB$Bài 3: (5 điểm)a) Cho $P(x)$ là đa thức hệ số thực, bậc n ($n>=2$). Giả sử $P(x)$ có hệ số của bậc cao nhất bằng 1, có n nghiệm thực phân biệt là $x_1,x_2, ... ,x_n$ và đồng thời đạo hàm $P'(x)$ có n-1 nghiệm thực phân biệt $y_1, y_2, ..., y_{n-1}$. Chứng minh rằng:$\frac{x_1^2+...+x_n^2}{n}...

Ở đường link sau: https://www.heidelbe...org/event_2018/ Gọi là Heidelberg Laureate, gồm một loạt các đại gia sừng sỏ, bao gồm $10$ huy chương Fields: Zelmanov, Figalli, Peter Scholze, Birkar, Ngo Bao Chau, Faltings, Atiyah, Wendelin Werner, Margulis, Shigefumi Mori.... thì Sir Atiyah trong thời gian 9:45-10:30 ngày 24/9 sẽ báo cáo chứng minh giả thuyết thiên nhiên kỉ Riemann. Cụ thể: Title: The Riemann Hypothesis Abstract: The Riemann Hypothesis is a famous unsolved problem dating from $1859$. I will present a new simple proof using a radically new approach. It's based on work of von Neumann ($1936$), Hirzebruch ($1954$), Dirac ($1928$). Cực kì phấn khích vì tin này dù chưa biết sẽ ra sao.

                 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA TỈNH PHÚ THỌ- NĂM HỌC: 2018-2019. Bài 1: Cho dãy số thực $(a_n)_{n\ge 1}$ xác định bởi: $a_1=a_2=1,a_3=2$ và $a_{n+3}=\frac{a_{n+1}a_{n+2}+7}{a_n}$ với mọi số nguyên dương $n$.a) Chứng minh rằng $a_n$ là số nguyên, với mọi số nguyên dương $n$.b) Tìm giới hạn: $\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{a_{2n+2}a_{2n}+a_{2n+1}^2}{a_{2n}a_{2n+1}}$.Bài 2: Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ lần lượt tại các điểm $D,E,F$. Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của $AD,CF$ với $(I)$. Chứng minh rằng: $\frac{MN.FD}{MF.ND}=3$.Bài 3: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn:$f(f(x)-y^2)=f(x^2)+y^2f(y)-2f(xy)\forall x,y\in \mathbb{R}$.Bài 4: Một bảng ô vuông $ABCD$ kích thước $2018x2018$ gồm $2018^2$ ô vuông đơn vị, mỗi ô vuông đơn vị được điền bởi một trong ba số $-1,0,1$. Một cách điền số được gọi là đối xứng nếu mỗi ô có tâm trên đường chéo $AC$ được điển số $-1$ và mỗi cặp ô đối xứng  qua $AC$ được điền cùng một số $0$ hoặc $1$. Chứng minh rằng với mỗi cách điền số đối xứng bất kì, luôn tồn tại hai hàng có các số trong mỗi ô vuông đơn vị lần lượt theo thứ tự từ trái sang phải là $a_1,a_2,...,a_{2018}$ ở hàng thứ nhất, $b_1,b_2,...,b_{2018}$ ở hàng thứ hai sao cho $S=a_1b_1+a_2b_2+...+a_{2018}b_{2018}$ là một số chẵn. Bài 5: Chứng minh rằng:a) Tồn tại $2018$ số nguyên dương liên tiếp là hợp số.b) Tồn tại $2018$ số nguyên...

                                                                          ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN NĂM 2018                                                                               Môn thi:TOÁN (Ngày thứ nhất)                                                          Thời gian làm bài:180 phút, không kể thời gian phát đề   Bài 1: Cho số nguyên a >1. Tìm giá trị lớn nhất của số thực d sao cho tồn tại một cấp số cộng có công sai d, số hạng đầu tiên là a và có đúng 2 trong các số $a^2,a^3,a^4,a^5$ là những số hạng của cấp số cộng đó.Bài 2: Cho n số thực $x_1,x_2,...,x_n$. Với mỗi i $\in$ {1,2,...,n} gọi $a_i$ là số các chỉ số j mà $\vert x_1-x_j \vert \leq 1$ và $b_i$ là số các chỉ số j mà $\vert x_1-x_j \vert \leq 2$ (i có thể bằng j)   a) Cm tồn tại i mà $b_i \leq 3a_i$   b) Gọi A là số cặp (i,j) có thứ tự mà $\vert x_1-x_j \ve...

Ngày 1 (11/09/2018)   Thời gian: $180$ phútĐề bài:Câu 1: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} (x-y)(x^2+xy+y^2-2)=2ln\frac{y+\sqrt{y^2+1}}{x+\sqrt{x^2+1}}\\ 3^x.2x=3^y+2y+1 \end{matrix}\right.$Câu 2: Xét sự hội tụ của dãy số $(x_n)$ biết $x_0=2, x_{n+1}=\frac{2}{x_n}+\frac{\sqrt{3}}{x_n^2}$Câu 3: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. Dựng ra phía ngoài tam giác $ABC$ các hình bình hành $ABMN$ và $ACPQ$ sao cho tam giác $ABC$ đồng dạng với tam giác $CAP$. Gọi $G$ là giao điểm của $AQ$ và $BM$, $H$ là giao điểm của $AN$ và $CP$. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác $GMQ, HNP$ cắt nhau tại $E$ và $F$ ($E$ nằm trong đường tròn $(O)$).          a) Chứng minh rằng ba điểm $A,E,F$ thẳng hàng.          b) Chứng minh rằng bốn điểm $B,C,O,E$ cùng thuộc một đường tròn.Câu 4: Bạn Thanh viết lên bảng các số $1,2,3,...,2019$. Mỗi một bước Thanh xóa 2 số $a$ và $b$ bất kì trên bảng và viết thêm số $\frac{ab}{a+b+1}$. Chứng minh rằng dù xóa như thế nào thì sau khi thực hiện $2018$ bước trên bảng luôn còn lại số $\frac{1}{2019}$.P/s: Đề tỉnh mình dễ quá, mà mình vẫn còn ý $b$ bài hình, huhuNgày 2 (12/09/2018) Thời gian $180$ phútĐề bài:Câu 1: Cho đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên và $a,b,c$ là các số nguyên thỏa mãn $P(a)=1,P(b)=2,P(c)=3$. Chứng minh rằng: $a+c=2b$.Câu 2: Cho ba số thực dương $a,b,c$. Chứng minh bất đẳng thức: $(\sum a)(\sum \frac{1}{a})+4\sq...

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN MÔN TOÁN NĂM HỌC 2018 - 2019 TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI.Ngày thi thứ nhất: 10 - 9 - 2018Câu 1: Cho tam thức bậc hai $f(x)=x^{2}+ax+b$ với $a,b\in \mathbb{R}.$ Biết rằng tồn tại duy nhất số thực $x_{0}$ sao cho $f\left ( \left ( x_{0} \right ) \right )=0.$ Chứng minh rằng $a,b$ là các số không âm.Câu 2: Cho ba số dương $a_{1},b_{1},c_{1}$ thỏa $a_{1}+b_{1}+c_{1}=1$ và các dãy số $\left ( a_{n} \right ),\left ( b_{n} \right ),\left ( c_{n} \right )$ thỏa mãn: $a_{n+1}=a_{n}^{2}+2b_{n}c_{n}, b_{n+1}=b_{n}^{2}+2a_{n}c_{n}, c_{n+1}=c_{n}^{2}+2a_{n}b_{n},\forall n\in \mathbb{N}^{*}.$Xét dãy $\left ( x_{n} \right )$ xác định bởi $x_{n}=a_{n}^{2}+b_{n}^{2}+c_{n}^{2},\forall n\in \mathbb{Z}^{+}.$ Chứng minh:(a) $x_{n+1}=\frac{2x_{n}^{2}+\left ( x_{n}-1 \right )^{2}}{2},\forall n\in \mathbb{N}^{*}.$(b) $\left ( x_{n} \right )$ có giới hạn hữu hạn khi $n\rightarrow +\infty$ và tìm giới hạn đó.Câu 3: Ghi lên bảng $2018$ số nguyên dương đầu tiên $1,2,3,...,2018.$ Thực hiện thuật toán sau: mỗi lần cho phép xóa đi hai số $a,b$ mà không có số nào là bội của số kia và thay thế chúng bởi hai số là ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất của $a,b.$ Hỏi rằng ta có thể thực hiện thuật toán trên vô hạn lần không? Tại sao?Câu 4: Cho tam giác $ABC$ không cân nội tiếp đường tròn $\left ( O \right ),I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi $E$ là giao điểm của...

Kết quả thi IMO 2018 của chúng ta !!!!