Kỳ thi Olympic Toán Quốc Tế lần thứ 58Brazil, 2017Ngày thi thứ nhất (18/07/2017)  Bài 1. Với mỗi số nguyên bất kỳ $a_0>1$, xét dãy số $a_0, a_1, a_2, \dots$ xác định bởi:$a_{n+1}=\sqrt{a_n}$ nếu $\sqrt{a_n}$ là số nguyên,$a_{n+1}=a_n+3$ trong trường hợp ngược lại,với mỗi số nguyên $n\geq 0$. Hãy xác định tất cả các số $a_0$ sao cho tồn tại số $A$ mà $a_n=A$ với vô hạn số $n$. Bài 2. Kí hiệu $\mathbb{R}$ là tập số thực. Hãy tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$ sao cho với mọi số thực $x$ và $y$,$$f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy).$$ Bài 3. Một cô thợ săn và một con thỏ tàng hình chơi trò chơi sau trên mặt phẳng. Điểm xuất phát $A_0$ của con thỏ và điểm xuất phát $B_0$ của cô thợ săn trùng nhau. Sau $n-1$ lượt chơi, con thỏ ở điểm $A_{n-1}$ và cô thợ săn ở điểm $B_{n-1}$. Ở lượt chơi thứ $n$, có ba điều lần lượt xảy ra theo thứ tự dưới đây:(i) Con thỏ di chuyển một cách không quan sát được tới điểm $A_n$ sao cho khoảng cách giữa $A_{n-1}$ và $A_n$ bằng đúng $1$.(ii) Một thiết bị định vị thông báo cho cô thợ săn về một điểm $P_n$, đảm bảo khoảng cách giữa $P_n$ và $A_n$ không lớn hơn $1$.(iii) Cô thợ săn di chuyển một cách quan sát được tới điểm $B_n$ sao cho khoảng cách giữa $B_{n-1}$ và $B_n$ bằng đúng $1$.Hỏi điều sau đây sai hay đúng: cho dù con thỏ có di chuyển như thế nào và các điểm được thiết bị định vị thông báo có là những điểm nào, cô thợ săn luôn có thể chọn cho mình cách di chuyển sao cho sau $10^9$ lượt ch...

Như vậy lời giải cho bài Tuần 2 tháng 7/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và anh Trần Quang Huy. Xin trích dẫn lại hai bài toán: Bài 1. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ đường kína $AC$ và $\angle BAD>90^{\circ}$. Gọi $F$ là hình chiếu của $B$ lên $AC$. $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $BD$. Gọi $Q$ đối xứng $C$ qua $OI$. $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $OQ$. $G$ là điểm đối xứng của $B$ qua $F$. $OI$ cắt $BC$ tại $P$. Gỉa sử $BF,OI$ và $AD$ đồng quy, chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $GDP$ đi qua $M$. Bài 2. Cho tam giác $ABC$ có $I$ là trung điểm $BC$ và $P$ là điểm bất kì nằm trên phân giác góc $\angle BAC$. $PI$ cắt $(PBC)$ và phân giác ngoài góc $\angle BAC$ tại $D,K$ tương ứng. Dựng hìnt thang cân $DCBM$ với $BC \parallel DM$. Chứng minh rằng $KA$ phân giác ngoài góc $\angle MKD$. 

 Nhà toán học thiên tài người Iran Maryam Mirzakhani vừa qua đời bởi ung thư tại một bệnh viện ở Hoa Kỳ . Cơ quan thông tấn xã Mehr của Iran đã phỏng vấn người thân của Mirzakhani xác nhận rằng bà đã mất vào thứ bảy . Firouz Naderi cựu giám đốc cơ quan năng lượng mặt trời của NASA cũng đã thông báo về cái chết của bà trong một bài đăng ở Instagram sớm hơn trong cùng ngày.Mirzakhani gần đây đã được đưa đến bệnh viện vì tình trạng sức khỏe của bà trở nên trầm trọng hơn do ung thư ngực . Các tế bào ung thư đã lan rộng ra xương tủy của bà . Bà đã chiến đấu với căn bệnh này trong nhiều năm liền . Vào năm $2014$ , bà đã trở thành người phụ nữ đầu tiên đạt huy chương Fields , một giải thưởng cao quý của toán học . Bà giảng dạy tại đại học Stanford và cũng là người phụ nữ đầu tiên được bầu vào Học viên khoa học quốc gia Hoa Kỳ ( NAS ) vào tháng $5$ năm $2016$ do thành tích xuất sắc và tiếp tục nhận được các thành quả trong nghiên cứu ban đầu của bà . Mirzakhani sinh ra ở Tehran năm $1977$ và lớn lên ở cộng hòa Hồi giáo . Bà từng đạt hai huy chương vàng Olympic toán quốc tế vào năm $1994$ và $1995$ , trong đó bà đạt $42$ điểm tuyệt đối ở năm $1995$ . Sau đó bà lấy bằng cử nhân của đại học Công Nghệ Sharif vào năm $1999$ và tiếp tục con đường của mình ở Hoa Kỳ , nơi bà lấy bằng tiến sĩ ở đại học Havard năm $2004$ và trở thành giáo sư ở Stanford khi $31$ tuổi . Trong một thông điệp , tổng thống Iran Hassan Rouhani lấy làm thương tiếc về sự ra đi của bà...

Hôm nay mình xin thay mặt các thành viên $\text{VMF}$ để lập ra Topic này tổng hợp lại các đề toán trong chuyên mục mỗi tuần một đề toán. Và đặc biệt hơn là vào TUẦN 3 THÁNG 7 sẽ có thêm đề THPT thường dành cho lớp 10 và THPT Chuyên dành cho lớp 11. Với sự giúp đỡ, hỗ trợ và ủng hộ của các Điều Hành Viên, các thành viên.Còn về nội quy bạn Hoàng Quốc Khánh đã nêu ra ở Tuần 1 Tháng 7  Và mình cũng chính là người phụ trách phần $\LaTeX$ cho cá đề. Mong mọi người ủng hộ Topic. Khối 10:THPT THƯỜNG: THPT CHUYÊN:Tuần 1 tháng 7Tuần 2 tháng 7 Khối 11:  Topic sẽ còn tiếp tục cập nhật. Chủ đề này sẽ bị khóa mọi người không thảo luận ở đây!

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 1 tháng 7 năm 2017 đã được đưa ra tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và anh Ngô Quang Dương. Xin được trích dẫn lại hai bài toán mới: Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và tâm nội tiếp $(I)$. $AI$ cắt $(O)$ tại $D$ khác $A$. Lấy $E$ thuộc đoạn $BC$ và $F$ thuộc jung nhỏ $\angle CD$ sao cho $\angle EAB= \angle FAC$. Lấy $M$ thuộc $IF$ sao cho $DM \parallel BC$. Lấy $N$ đối xứng $D$ qua $OM$. $AN$ cắt $DE$ tại $P$. Lấy $Q$ thuộc $AF$ sao cho $DQ \parallel IE$. Chứng minh rằng $PQ$ và $IF$ cắt nhau trên $(O)$.   Bài 2. (Ngô Quang Dương) Cho $(P,P*)$ và $(Q,Q*)$ là hai cặp điểm đẳng giác với tam giác $ABC$. $R$ là giao điểm của $PQ$ và $P*Q*$ trong khi $R*$ là giao điểm của $PQ*$ và $QP*$. Chứng minh rằng $(R,R*)$ là cặp điểm đẳng giác với $ABC$ và đường tròn pedal của $P,Q,R$ với tam giác $ABC$ đồng trục. 

Đây là bài viết báo cáo cuối kì môn Topology của mình về đề tài Định lý Cân bằng Nash trong lý thuyết trò chơi: Ứng dụng Định lý điểm cân bằng. Bài viết phù hợp với những bạn đã nắm chắc về hàm số và các kiến thức về Giải tích cao cấp căn bản. Bài viết còn nhiều phần mình làm chưa kĩ và cũng chưa nhận được phản hồi từ giảng viên của mình nên rất mong nhận được góp ý từ các bạn.

Ngày thi: 3/7/2017. Thời gian làm bài: 210 phút.Cho số thực $a$ và dãy số $\left\{ x_n \right\}$ xác định bởi\      a) Chứng minh rằng với $a=0$ thì dãy $\left\{ x_n \right\}$ hội tụ.      b) Tìm số thực $a$ lớn nhất sao cho dãy $\left\{ x_n \right\}$ hội tụ.   Cho hai đa thức $P(x)=x^3-4x^2+39x-46$ và $Q(x)=x^3+3x^2+4x-3$.      a) Chứng minh rằng $P(x)$, $Q(x)$ đều có các nghiệm dương duy nhất, đặt các nghiệm đó lần lượt là $\alpha$, $\beta$.      b) Chứng minh rằng $\left\{ \alpha \right\} > \left\{ \beta \right\} ^2$, trong đó ký hiệu $\left\{ x \right\}$ là phần lẻ của số thực $x$.   Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $BC$ (khác đường kính) cố định. Điểm $A$ di chuyển trên cung lớn $BC$. Lấy điểm $S$ đối xứng với $O$ qua $BC$. Lấy điểm $T$ trên $OS$ sao cho $AT$, $AS$ đối xứng với nhau qua phân giác góc $BAC$.      a) Chứng minh rằng $T$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $OBC$.      b) $TB$, $TC$ cắt $(O)$ ở các điểm thứ hai $E$, $F$ tương ứng. $AE$, $AF$ lần lượt cắt $BC$ ở $M$, $N$. $SM$ cắt tiếp tuyến của $(O)$ tại $C$ ở $X$, $SN$ cắt tiếp tuyến của $B$ tại $B$ ở $Y$. Chứng minh $AX$, $AY$ đối xứng với nhau qua phân giác góc $BAC$.   Có một nhóm $n \quad (n\geqslant 4)$ người thoả mãn điều kiện i) $2$ người quen nhau thì không có người quen chung. ii) $2$ người không quen nhau thì có đúng $2$ người quen chung.      a)...

Nguồn: Trương Tuấn Nghĩa

Nguồn : Thầy Trần Nam Dũng. Cuộc thi tại trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp.

$$ \huge \text{USA TSTST 2017} $$ Ngày thứ nhất Bài 1. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ nội tiếp đường tròn $\displaystyle \Gamma$ có tâm $\displaystyle O$, và trực tâm $\displaystyle H$. Giả sử $\displaystyle AB\neq AC$ và $\displaystyle \angle A \neq 90^{\circ}$. Gọi $\displaystyle M$ và $\displaystyle N$ lần lượt là trung điểm của $\displaystyle AB$ và $\displaystyle AC$, và $\displaystyle E$ và $\displaystyle F$ lần lượt là chân các đường cao hạ từ $\displaystyle B$ và $\displaystyle C$ của tam giác $\displaystyle ABC$. Gọi $\displaystyle P$ là giao điểm của $\displaystyle MN$ với tiếp tuyến của $\displaystyle \Gamma $ tại $\displaystyle A$. Gọi $\displaystyle Q$ là giao điểm thứ hai của $\displaystyle \Gamma$ với $\displaystyle (AEF)$. Gọi $\displaystyle R$ là giao điểm của $\displaystyle AQ$ và $\displaystyle EF$. Chứng minh rằng $\displaystyle PR \perp OH$. Bài 2. Ana và Banana đang chơi một trò như sau: Đầu tiên Ana chọn một từ, là dãy khác rỗng các chữ cái trong bảng chữ cái tiếng Anh. Sau đó Banana chọn một số tự nhiên $\displaystyle k$ và đố Ana đưa ra một từ có đúng $\displaystyle k$ dãy con bằng với từ của Ana. Ana thắng nếu có thể đưa ra một từ như thế, nếu không, cô ấy sẽ thua. Từ nào mà khi Ana chọn cô ấy sẽ luôn thắng với mọi cách chọn $\displaystyle k$ của Banana? Bài 3. Xét phương trình $\displaystyle x^2-cx+1 = \dfrac{f(x)}{g(x)}$, ở đây $\displaystyle f$ và $\displaystyle g$ là các đa thức với hệ số thực không âm. Với $\displaystyle c>...