Như vậy lời giải cho bài Tuần 3 tháng 5/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và bạn Nguyễn Tiến Hoàng. Xin trích dẫn lại hai bài toán: Bài 1. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. $P,Q$ là hai điểm đối xứng nhau qua trung điểm $BC$ sao cho $PQ \perp AB$. $K$ là lâm ngoại tiếp tam giác $APQ$ và $AR$ là đường đối trung của tam giác $APQ$. $M$ đối xứng $C$ qua phân giác $\angle PAQ$. Lấy $E$ trên $AQ$ sao cho $CE=CQ$. Giả sử có $X$ thuộc $KR$ và $Y$ thuộc $AX$ sao cho $AX=AP, AY=EQ$. Chứng minh rằng $MY \parallel KR$.   Bài 2. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ cố định với $B,C$ cố định và $A$ di chuyển trên $(O)$. $AO$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BOC$ tại $P$ khác $A$. $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $APH$ cắt $(O)$ tại $X$ khác $A$. Chứng minh rằng $AX$ luôn đi qua điểm cố định. 

Olympic Toán Châu Á - Thái Bình Dương 2017 lần thứ XXIX Tháng ba, 2017Thời gian làm bài: 4 tiếng                                                                                                                                                                                                      Số điểm mỗi bài toán là 7 Các bài toán phải được giữ bí mật cho đến khi chúng được đăng lên ở đây: http://apmo.ommenlinea.org/. Không được tiết lộ cũng như trao đổi về các bài toán trên internet cho đến khi đó. Thí sinh không được sử dụng máy tính. $\text{Bài toán 1}$. Ta gọi một bộ $5$ số nguyên là sắp xếp được nếu các phần tử của nó có thể được đánh dấu $a,b,c,d,e$ theo một thứ tự nào đó sao cho $a-b+c-d+e=29$. Xác định tất cả các bộ $2017$ số nguyên $n_1,n_2,\dots ,n_{2017}$ sao cho nếu ta đặt chúng lên đường tròn theo chiều kim đồng hồ thì bất kỳ bộ $5$ số nguyên liên tiếp nào cũng...

\[\textbf{IRAN TST 2017}\] $\text{Ngày thứ nhất}$ Bài 1. Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương với $a+b+c+d=2$. Chứng minh rằng\[\frac{(a+c)^{2}}{ad+bc}+\frac{(b+d)^{2}}{ac+bd}+4\geq 4\left ( \frac{a+b+1}{c+d+1}+\frac{c+d+1}{a+b+1} \right )\]Bài 2. Có $13$ học sinh tham gia kỳ thi chọn đội $\text{IMO}$ của một quốc gia. Họ đã làm $6$ bài kiểm tra và điểm đã được công bố. Giả sử không có hai học sinh có điểm bằng nhau ở một bài kiểm tra. Để chọn ra đội tuyển, hội đồng quyết định chọn một hoán vị của $6$ bài kiểm tra và bắt đầu từ bài kiểm tra đầu tiên, ai có điểm cao nhất trong bài này thì được chọn,… Hỏi theo cách này, mọi học sinh đều có thể được chọn? (Đội $\text{IMO}$ sẽ gồm $6$ học sinh).Bài 3. Cho tam giác $ABC$ với $I_a$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$. Gọi $\omega $ là một đường tròn bất kỳ qua $A,I_a$ và cắt phần kéo dài của các cạnh $AB,AC$ (kéo dài từ $B,C$) tại $X,Y$ tương ứng. Gọi $S,T$ là các điểm trên các đoạn $I_aB,I_aC$ tương ứng sao cho $\angle AXI_a=\angle BTI_a$ và $\angle AYI_a=\angle CSI_a$. Các đường thẳng $BT,CS$ cắt nhau tại $K$. Các đường thẳng $KI_a,TS$ cắt nhau tại $Z$. Chứng minh rằng $X,Y,Z$ thẳng hàng. $\text{Ngày thứ hai}$ Bài 4. Gọi $P_i$ là số nguyên tố thứ $i$. Cho $n_1<n_2< \cdots$ là dãy các số nguyên dương sao cho với mỗi $i=1,2,3,\cdots$, phương trình $x^{n_i} \equiv 2 \pmod {p_i}$ có nghiệm. Liệu...

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 2 tháng 5/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới. Xin trích dẫn lại hai bài đó: Bài 1. (Trần Quang Hùng) Cho đường tròn $(O)$ cố định với day $BC$ cố định và $A$ di chuyển bên trong $(O)$. Đường tròn $(K)$ tiếp xúc $CA,AB$ và tiếp xúc trong $(O)$. Một đường tròn khác $(O)$ qua $B,C$ tiếp xúc $(K)$ tại $P$. $J$ là tâm bàng tiếp góc $A$ của tam giác $ABC$. $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$. $M,N$ là trung điểm $BC,AH$. $MN$ cắt $JP$ tại $Q$. Chứng minh rằng đường thẳng $AQ$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ thay đổi. Bài 2.  (Trần Quang Hùng, Trịnh Huy Vũ, Trần Quang Huy, Ngô Quang Dương) Cho tam giác $ABC$ có đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$. $O$ là tâm ngoại tiếp tam giác $ABC$. $P$ là một điểm nằm trên đường thẳng qua $Q$ song song $BC$. $Q$ là đẳng giác của $P$ trong tam giác $ABC$. $QB,QC$ cắt $EF$ tại $M,N$. Chứng minh rằng $A,M,H,N$ cùng thuộc một đường tròn.

\[\textbf{USA JMO 2017}\] $\text{Ngày thứ nhất}$ Bài 1. Chứng minh rằng có vô hạn cặp số nguyên $(a,b)$ sao cho $a>1,b>1$,$(a,b)=1$ và $a^b+b^a$ chia hết cho $a+b$.Bài 2. Xét phương trình $(3x^3+xy^2)(x^2y+3y^3)=(x-y)^7$$(a)$ Chứng minh rằng phương trình có vô hạn nghiệm nguyên dương;$(b)$ Tìm tất cả nghiệm nguyên dương của phương trình.Bài 3. Cho tam giác đều $ABC$ và điểm $P$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp của nó. Gọi $D$ là giao điểm của $PA$ và $BC$, $E$ là giao điểm của $PB$ và $AC$, $F$ là giao điểm của $PC$ và $AB$. Chứng minh rằng diện tích của tam giác $DEF$ gấp đôi diện tích của tam giác $ABC$. $\text{Ngày thứ hai}$ Bài 4. Tồn tại hay không bộ ba các số nguyên dương $(a,b,c)$ sao cho $(a-2)(b-2)(c-2)+12$ là một số nguyên tố và nó là ước thực sự của số nguyên dương $a^2+b^2+c^2+abc-2017$ ?Bài 5. Cho $O$ và $H$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm của tam giác nhọn $ABC$. Các điểm $M$ và $D$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $BM=CM$ và $\angle BAD = \angle CAD$. Tia $MO$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHC$ tại $N$. Chứng minh rằng $ \angle ADO=  \angle HAN$.Bài 6. Cho $P_1,P_2,...,P_{2n}$ là $2n$ điểm phân biệt trên đường tròn $x^2+y^2=1$, khác $(1,0)$. Mỗi điểm được tô xanh hoặc đỏ, sao cho có đúng $n$ điểm đỏ và $n$ điểm xanh. Gọi $R_1,R_2,...,R_n$...

Như vậy lời giải cho hai bài toán Tuần 1 tháng 5/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và của hai anh Hoàng Hữu Quốc Huy, Ngô Quang Dương. Xin trích dẫn lại hai bài toán: Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp trong đường tròn $(O)$ và có đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$. $AO$ cắt $EF$ tại $J$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AJD$ cắt $(O)$ tại $K$ khác $A$. $HK$ cắt $EF$ tại $P$. $N$ là trung điểm $EF$. $Q$ đối xứng $P$ qua $N$. $R$ là hình chiếu của $H$ trên $AN$. Trên $QR$ lấy $L$ sao cho $HL \perp EF$. Chứng minh rằng trung trực $HL$ chia đôi $BC$.   Bài 2. Cho hai điểm $P,Q$ liên hợp đẳng giác với tam giác $ABC$. $PA,PB,PC$ cắt $BA,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Một đường thẳng $\ell$ đi qua $Q$ lần lượt cắt $BC,CA,AB$ tại $X,Y,Z$. Chứng minh rằng các đường tròn $(ADX),(BEY),(CFZ),(ABC)$ có một điểm chung.

$34^{th}$ Balkan Mathematical Olyimpiad 2017 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn: \ 2. Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB<AC$) nội tiếp đường tròn $\Gamma$. $t_{B}$ và $t_{C}$ lần lượt là các tiếp tuyến của $\Gamma$ tại $B$ và $C$, $L$ là giao điểm của 2 tiếp tuyến đó. Đường thẳng qua $B$ song song với $AC$ cắt $t_{C}$ tại điểm $D$. Đường thẳng qua $C$ song song với $AB$ cắt $t_{B}$ tại điểm $E$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDC$ cắt $AC$ tại $T$ ($T$ nằm giữa $A$ và $C$). Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BEC$ cắt đường thẳng $AB$ tại $S$ ($B$ nằm giữa $S$ và $A$). Chứng minh rằng $ST,AL$ và $BC$ đồng quy. 3. Kí hiệu $\mathbb{N}$ là tập hợp các số tự nhiên. Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N}$ sao cho \[n+f(m)\mid f(n)+nf(m)\] với $m,n\in \mathbb{N}$ 4. Trên $1$ bàn tròn có $n>2$ học sinh ngồi. Đầu tiên, mỗi học sinh có $1$ viên kẹo. Mỗi bước tiếp theo, mỗi học sinh chọn một trong những hành động sau: (A) Đưa $1$ viên kẹo cho học sinh ngồi bên trái hoặc bên phải người đó. (B) Chia số kẹo thành $2$ phần (có thể không có gì), $1$ phần đưa cho người bên trái và phần còn lại cho người bên phải người đó. Mỗi bước, các học sinh thực hiện hành động của mình cùng một lúc. Sự phân chia số kẹo được gọi là hợp lệ nếu nó xảy ra trong số bước hữu hạn. Tìm số lượng phân chia hợp lệ. (Hai sự sắp xếp khác nhau khi mà có một học sinh ở mỗi sự sắp xếp có số kẹo khác nhau ) Spoiler Tiếng anh tàm tạm. Bài tổ hợp dịch kh...

$\text{TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN}$$\textbf{TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN}$ \[\textbf{ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2017}\]Môn thi: TOÁNThời gian làm bài: 180 phút,không kể thời gian phát đề $\text{Ngày thi thứ nhất}$ Câu 1. Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_1=2017$ và\ với mọi số nguyên dương $n \ge 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ để $a_n - 2$ chia hết cho $5^{2017}$Câu 2. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực sao cho\ với mọi bộ số $(a,b,c)$ thỏa mãn $ab+bc+ca+1=0$Câu 3. Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại các điểm $D,E,F$. Trên đường thẳng $EF$ lấy các điểm $M,N$ sao cho $CM \parallel BN \parallel DA$. $DM,DN$ lần lượt cắt đường tròn $(I)$ tại $P,Q$ khác $D$.a) Chứng minh rằng $BP,CQ,AD$ đồng quy tại điểm $J$b) Gọi $X$ là trung điểm $PQ$. Chứng minh rằng $JX$ đi qua trung điểm $MN$.Câu 4. Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng\[ \left( \frac{2+a}{1+a+b} \right)^2 + ca \left( \frac{2+b}{1+b+c} \right)^2+ a \left( \frac{2+c}{1+c+a} \right)^2 \le 1+a+ca \] $\text{Ngày thi thứ hai}$ Câu 5. Tìm tất cả các bộ số nguyên không âm $(m,n,k)$ thỏa mãn\ Câu 6. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp trong đường tròn $(O)$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. $AI$ cắt $BC$ tại $D$ và cắt $(O)$ tại $K$ khác $A$. $P$ là một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$ và nằm trong tam giác $ABC$. $PK$...

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 4 tháng 4/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và anh Ngô Quang Dương. Xin được trích dẫn lại hai bài toán. Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ và có tem nội tiếp $I$. $M$ là trung điểm $AI$. $N$ đối xứng $M$ qua $OI$. $K$ thuộc $BC$ sao cho $IK \perp IO$. $AK$ cắt $MN$ tại $J$. $H$ là trực lâm tam giác $AIN$. Chứng minh rằng $JH \perp IO$.   Bài 2. Cho tam giác $ABC$. $F_1,F_2$ lần lượt là điểm Fermat thứ nhất và thứ hai của tam giác $ABC$. $F_a,F_b,F_c$ lần lượt là điểm Fermat thứ hai của tam giác $F_1BC,F_1CA,F_1AB$. Chứng minh rằng $F_a,F_b,F_c,F_2$ đồng viên. 

Bài 1$ABCD$ là hình thang với $AB$ song song $CD$. Hai đường chéo cắt nhau tại $P$. Gọi $w_{1}$ là đường tròn qua $B$ và tiếp xúc với $AC$ tại $A$. $w_{2}$ là đường tròn qua $C$ và tiếp xúc với $BD$ tại $D$. $w_{3}$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $BPC$Chứng minh rằng dây cung chung của $w_{1},w_{3}$ và $w_{2},w_{3}$ cắt nhau trên $AD$Bài 2Tìm n nguyên dương lớn nhất sao cho tồn tại n số nguyên dương thỏa mãn không có 2 số nào là ước của nhau nhưng trong 3 số bất kì có 1 số là ước của tổng 2 số còn lạiBài 3Có 27 tấm thẻ trên đó có thể có 1,2 hoặc 3 biểu tượng trên đó. Các biểu tượng có thể là hình vuông, tam giác, hoặc hình tròn và mỗi tấm thẻ được tô màu xám, trắng hoặc đen. 3 tấm thẻ được gọi là 'hạnh phúc' nếu chúng có cùng hoặc đôi một khác số lượng các biểu tượng trên đó và chúng có cùng hoặc đôi một khác nhau các biểu tượng và  có cùng hoặc đôi một khác màu nhau. Hỏi có thể chọn ra tốt đa bao nhiêu tấm thẻ sao cho không có 3 tấm thẻ nào 'hạnh phúc'