Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Chuyên mục

 Photo

EGMO 2017

Hôm qua, 21:10

EGMO 2017 Ngày $1$. $1$. Cho tứ giác lồi $ABCD$ với $\angle DAB = \angle BCD = 90^{\circ}$ và $\angle ABC > \angle CDA$. Gọi $Q$ và $R$ lần lượt là các điểm trên các đoạn $BC$ và $CD$ sao cho $QR$ cắt $AB$ và $AD$ lần lượt tại $P$ và $S$. Biết rằng $PQ=RS$. Gọi trung điểm của $BD$ là $M$ và trung điểm của $QR$ là $N$. Chứng minh rằng các điểm $M,N,A$ và $C$ cùng thuộc một đường tròn. $2$. Gọi $\mathbb{Z}_{>0}$ là tập tất cả các số nguyên dương. Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho tồn tại một cách tô màu các số nguyên dương bằng $k$ màu (mỗi số được tô bởi duy nhất một màu) và một hàm $f:\mathbb{Z}_{>0}\mapsto\mathbb{Z}_{>0}$ với hai điều kiện sau:$\bullet$ Với mọi số nguyên dương $m,n$ (không nhất thiết phân biệt) cùng màu, $f(m+n)=f(m)+f(n)$.$\bullet$ Tồn tại các số nguyên dương $m,n$ (không nhất thiết phân biệt) sao cho $f(m+n)\ne f(m)+f(n)$. $3$. Có $2017$ đường thẳng trên mặt phẳng sao cho không có ba đường nào đồng quy. Cô ốc sên $\text{Turbo}$ nằm trên một điểm thuộc đúng một đường trong số này và bắt đầu trượt đi dọc theo các đường theo nguyên tắc sau: cô ta di chuyển trên đường thẳng cho đến khi gặp một giao điểm của hai đường thẳng. Tại đây, cô ta sẽ tiếp tục hành trình trên trên đường thẳng thứ hai, theo một trong hai hướng trái hoặc phải, và thay đổi cách chọn hướng trong lần k...

  84 Lượt xem · 0 Trả lời

 Photo

Tuần 4 tháng 4/2017: Đường tròn pedal của $A$ ứng với tam giác $PKL$ tiếp xúc đường trung bình ứng với $A$ của tam giác $ABC$.

Hôm qua, 20:27

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 3 tháng 4 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và bạn Trịnh Huy Vũ. Xin trích dẫn lại hai bài toán. Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Trên đường thẳng qua $O$ vuông gód với đường đối trung qua $A$ lấy các điểm $M,N$ sao cho $AM \perp AB, AN \perp AC$. Trên trung trực của $CA,AB$ lần lượt lấy các điểm $K,L$ sao cho $KC,LB$ cùng vuông gcc với $BC$. $KN$ cắt $LM$ tại $P$. Chứng minh rằng đường tròn pedal của $A$ ứng với tam giác $PKL$ tiếp xúc đường trung bình ứng với $A$ của tam giác $ABC$.   Bài 2. Cho tam giác $ABC$ có tem nội tiếp $I$ và tâm ngoại tiếp $O$. Đường thẳng $OI$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $IAB$ lần thứ hai tại $D$. Lấy điểm $J$ thuộc đường tròn $(IAB)$ sao cho $IJ \perp BD$. Chứng minh rằng đối xứng của $J$ qua $OI$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $IAC$. 

  102 Lượt xem · 1 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi xuantrandong )

 Photo

USAMO 2017 ngày 1

20-04-2017

Bài 1: CMR tồn tại vô hạn cặp $(a,b)$ thoả mãn $a$, $b$ nguyên tố cùng nhau và đồng thời lớn hơn 1 để $a^b+b^a$ chia hết cho $a+b$ Bài 2: Cho $m_1, m_2, \ldots, m_n$ là n số nguyên dương không nhất thiết phân biệt . Với dãy các số nguyên bất kì $A = (a_1, \ldots, a_n)$ và 1 hoán vị bất k ì$w = w_1, \ldots, w_n$ của $m_1, m_2, \ldots, m_n$ định nghĩa $A$-inversion của $w$ là các  cặp $w_i$ và $w_j$ với $i$ < $j$ thoả mãn các điều kiện :   i)  $a_i \ge w_i > w_j$   ii) $w_j > a_i \ge w_i$ hoặc iii)  $w_i > w_j > a_i$ CMR với 2 dãy số nguyên $A = (a_1, \ldots, a_n)$  và $B = (b_1, \ldots, b_n)$ và với mỗi số nguyên dương $k$ ,số hoán vị của $m_1, \ldots, m_n$ có đúng k $A$-inversion bằng với số bộ hoán vị $m_1, \ldots, m_n$ có đúng $k$ $B$-inversion. Bài 3: Cho $ABC$ là tam giác không có 3 cạnh bằng nhau , nội tiếp $\Omega$ và có tâm nội tiếp $I$. Tia $AI$ cắt $BC$ tại $D$ và $\Omega$ lần thứ 2 tại M. Đường tròn đường kính $DM$ cắt $\Omega$ tại $K$ . $MK$ cắt $BC$ tại $S$. Lấy $N$ là trung điểm của tia $IS$. Đường tròn ngoại tiếp $\triangle KID$ và $\triangle MAN$ cắt nhau lần lượt tại $L_1$ và $L_2$. CMR $\Omega$ đi qua trung điểm của $IL_1$ hoặc $IL_2$.                                                                        ...

  399 Lượt xem · 5 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi canhhoang30011999 )

 Photo

Tuần 3 tháng 4/2017: Chứng minh rằng đường thẳng $QR$ đi qua điểm cố định khi $P$ thay đổi.

16-04-2017

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 2 tháng 4/2017 đã được đăng tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và bạn Nguyễn Đức Bảo. Xin trích dẫn lại hai bài toán Bài 1. Cho tam giác $ABC$ có $P$ nằm trên phân giác gód $\angle BAC$. $D,E,F$ là hình chiếu của $P$ lin $BC,CA,AB$. $AP$ cắt đường tròn $(PBC)$ tại $Q$ khác $P$. $DP$ cắt đường tròn $(DEF)$ tại $K$ khác $D$. $L$ đối xứng $K$ qua $EF$. $AL$ cắt $BC$ tại $R$. Chứng minh rằng đường thẳng $QR$ đi qua điểm cố định khi $P$ thay đổi.   Bài 2. Cho tam giác $ABC$, $P$ thuộc đường thẳng cố định. Các đường thẳng qua $P$ lần lượt vuông góc với $CA,AB$ cắt các đường thẳng $AB,AC$ theo thứ tự tại $E,F$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $PEF$ thuộc một đường thẳng cố định.

  528 Lượt xem · 5 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi manhtuan00 )

 Photo

Tuần 2 tháng 4/2017: Chứng minh rằng $\frac{MP}{NQ}= \frac{JM}{JN}$.

09-04-2017

Như vậy lời giải cho Tuần 1 tháng 4/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và anh Ngô Quang Dương. Xin trích dẫn lại hai bài toán: Bài 1. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $K$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $AOC$ và nằm trong tứ giác. Đường tròn $(K,KA)$ lần lượt cắt $AB,AD$ tại $M,N$ khác $A$. $MN$ theo thứ tự cắt $CB,CD$ tại $P,Q$. $L$ là tâm ngoại tiếp tam giác $CPQ$. $KL$ cắt $MN$ tại $J$. Chứng minh rằng $\frac{MP}{NQ}= \frac{JM}{JN}$.   Bài 2. Cho $P,Q$ là hai điểm liên hợp đẳng giác với tam giác $ABC$. $E,F$ lần lượt là hình chiếu vuông gcc của $P$ lên $AC,AB$. $AP$ cắt $(ABC)$ tại $X$ khác $A$, $D$ là hình chiếu vuông góc của $X$ lên $BC$. $EF$ cắt $(ABC)$ tại hai điểm $U,V$. $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $DUV$. Chứng minh rằng đối xứng của $Q$ qua $K$ nằm trên $(ABC)$.

  523 Lượt xem · 6 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi quanghung86 )

  859 Lượt xem · 16 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi quangantoan )

 Photo

Đề thi $Olympic$ $30/4$ lớp $11$ năm $2017$

08-04-2017

ĐỀ THI OLYMPIC 30/4NĂM:2017-2018LỚP:11 Bài 1. Giải hệ phương trình sau$\left\{\begin{matrix}\frac{3}{\sqrt{y}}-\frac{1}{x}=\frac{5x+\sqrt{y}}{2{{x}^{2}}+y} \\ \frac{1}{xy}+\frac{4}{\sqrt{y}}=\frac{2}{y}+\frac{8}{3} \\ \end{matrix}\right.$ Bài 2. Tính giới hạn của tổng sau khi $n \to + \infty$\ Bài 3. Tứ giác $ABCD$ có $AB=BC=CD$ và $P$ là giao điểm của $AC,BD$ thỏa mãn $AP\cdot AC=DP\cdot DB$.Gọi $O$ là tâm của $(PBC)$ sao cho tam giác $OAB,ODC$ cùng hướng dương. a) Chứng minh rằng $OA=OD.$ b) Chứng minh rằng $AB \perp CD.$ Bài 4. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ liên tục và thỏa mãn\  Bài 5. Tìm tất cả các số tự nhiên $n \ge 2$ để với với mọi số tự nhiên $k$ nhỏ hơn $n$ thì tồn tại $x$ nguyên dương để $S(xn)$ chia $n$ dư $k$, trong đó ký hiệu $S(x)$ là tổng các chữ số của $x$. Bài 6. Người ta tô màu một đa giác đều $A_1A_2…A_{38}$ mà trong đó có $19$ đỉnh được tô màu đen, $19$ đỉnh được tô màu xanh. Xét tập hợp $S$ gồm đường chéo $A_1A_4$ và các đường chéo có cùng độ dài với nó. Chứng minh rằng trong $S$, số đường chéo có hai đỉnh được tô đen bằng với số đường chéo có hai đỉnh được tô xanh. Nguồn: Nguyễn Trường Hải, THPT Chuyên Trần Hưng Đạo, Bình Thuận.

  1431 Lượt xem · 5 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi manhtuan00 )

  3695 Lượt xem · 12 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi nhatnam2609 )

 Photo

Tuần 1 tháng 4/2017: Chứng minh rằng $MN \parallel GL$.

02-04-2017

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 4 tháng 3/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và anh Nguyễn Tiến Dũng. Xin trích dẫn lại hai bài toán: Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nhọn có đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$ và có tâm ngoại tiếp $O$. Đường tròm đường kính $AO$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BOC$ tại $K$ khác $O$ và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $DKH$ tại $L$ khác $K$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $DKH$ cắt $BC$ tại $G$ khác $D$. $GE,GF$ lần lượt cắt $DF,DE$ tại $M,N$. Chứng minh rằng $MN \parallel GL$. Bài 2. Cho tam giác $ABC$ cố định và điểm $P$ thay đổi sao cho $\frac{PB}{PC} =\frac{AB}{AC}$. Dựng hai hình chứ nhật bằng nhau cùng ngược hướng với tam giác $ABC$ là $PBDE$ và $PGCF$. Chứng minh rằng khi $P$ thay đổi thì đường tròn nối tâm hai hình chữ nhật luôn đi qua một điểm cố định. 

  626 Lượt xem · 4 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi baopbc )

 Photo

Tuần 4 tháng 3/2017: $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định khi $(K)$ thay đổi.

26-03-2017

Như vậy lời giải cho hai bài toán Tuần 3 tháng 3/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng Hùng và thầy Nguyễn Lê Phước. Xin trích dẫn lại hai bài toán:  Bài 1. Cho tam giác $ABC$ cố định và đường tròn $(K)$ thay đổi đi qua $B,C$ cắt $CA,AB$ tại $E,F$. Gọi $J,L$ lần lượt là tâm ngoại tiếp của các tam giác $ABE,ACF$. $EJ$ cắt $FL$ tại $P$. $Q$ là tâm ngoại tiếp tam giác $KEF$. Chứng minh rằng đường thẳng $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định khi $(K)$ thay đổi.   Bài 2. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ cố định với $B,C$ cố định và $A$ di chuyển trên $(O)$. $P$ là điểm cố định trên trung trực $BC$. Trên đường thẳng $CA,AB$ lấy các điểm $E,F$ sao cho $PE \parallel AB, PF \parallel AC$. Chứng minh rằng trung trực $EF$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ di chuyển.

  746 Lượt xem · 4 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi quanghung86 )


Những bài toán trong tuần

Cho các đường tròn $(O_{1};R_{1});(O_{2};R_{2})$ sao cho tiếp tuyến chung ngoài $M_{1}M_{2}$ vuông góc với tiếp tuyến chung trong $N_{1}N_{2}$ tại A. Gọi tiếp tuyến chung trong thứ hai là $P_{1}P_{2}$ (các tiếp điểm $M_{1};N_{1};P_{1}\in (O_{1})$ và các tiếp điểm $M_{2};N_{2};P_{2}\in (O_{2})$). Tính diện tích $\Delta AP_{1}P_{2}$ theo $R_{1};R_{2}$.

>>Tham gia giải bài toán này<<

Những bài toán đã qua


Mỗi tuần 1 bài toán hình học

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ có $P$ nằm trên phân giác gód $\angle BAC$. $D,E,F$ là hình chiếu của $P$ lin $BC,CA,AB$. $AP$ cắt đường tròn $(PBC)$ tại $Q$ khác $P$. $DP$ cắt đường tròn $(DEF)$ tại $K$ khác $D$. $L$ đối xứng $K$ qua $EF$. $AL$ cắt $BC$ tại $R$. Chứng minh rằng đường thẳng $QR$ đi qua điểm cố định khi $P$ thay đổi.
Bài 2. Cho tam giác $ABC$, $P$ thuộc đường thẳng cố định. Các đường thẳng qua $P$ lần lượt vuông góc với $CA,AB$ cắt các đường thẳng $AB,AC$ theo thứ tự tại $E,F$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $PEF$ thuộc một đường thẳng cố định.


Tham gia giải bài toán này

Ấn phẩm của Diễn đàn Toán học

 

 

 

Bài viết mới


  • 572498 Bài viết
  • 92756 Thành viên
  • ekidvnn Thành viên mới nhất
  • 17600 Online đông nhất

Portal v1.4.0 by DevFuse | Based on IP.Board Portal by IPS