ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA TỈNH PHÚ THỌ- NĂM HỌC: 2018-2019. Bài 1: Cho dãy số thực $(a_n)_{n\ge 1}$ xác định bởi: $a_1=a_2=1,a_3=2$ và $a_{n+3}=\frac{a_{n+1}a_{n+2}+7}{a_n}$ với mọi số nguyên dương $n$.a) Chứng minh rằng $a_n$ là số nguyên, với mọi số nguyên dương $n$.b) Tìm giới hạn: $\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{a_{2n+2}a_{2n}+a_{2n+1}^2}{a_{2n}a_{2n+1}}$.Bài 2: Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ lần lượt tại các điểm $D,E,F$. Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của $AD,CF$ với $(I)$. Chứng minh rằng: $\frac{MN.FD}{MF.ND}=3$.Bài 3: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn:$f(f(x)-y^2)=f(x^2)+y^2f(y)-2f(xy)\forall x,y\in \mathbb{R}$.Bài 4: Một bảng ô vuông $ABCD$ kích thước $2018x2018$ gồm $2018^2$ ô vuông đơn vị, mỗi ô vuông đơn vị được điền bởi một trong ba số $-1,0,1$. Một cách điền số được gọi là đối xứng nếu mỗi ô có tâm trên đường chéo $AC$ được điển số $-1$ và mỗi cặp ô đối xứng  qua $AC$ được điền cùng một số $0$ hoặc $1$. Chứng minh rằng với mỗi cách điền số đối xứng bất kì, luôn tồn tại hai hàng có các số trong mỗi ô vuông đơn vị lần lượt theo thứ tự từ trái sang phải là $a_1,a_2,...,a_{2018}$ ở hàng thứ nhất, $b_1,b_2,...,b_{2018}$ ở hàng thứ hai sao cho $S=a_1b_1+a_2b_2+...+a_{2018}b_{2018}$ là một số chẵn. Bài 5: Chứng minh rằng:a) Tồn tại $2018$ số nguyên dương liên tiếp là hợp số.b) Tồn tại $2018$ số nguyên...

                                                                          ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN NĂM 2018                                                                               Môn thi:TOÁN (Ngày thứ nhất)                                                          Thời gian làm bài:180 phút, không kể thời gian phát đề   Bài 1: Cho số nguyên a >1. Tìm giá trị lớn nhất của số thực d sao cho tồn tại một cấp số cộng có công sai d, số hạng đầu tiên là a và có đúng 2 trong các số $a^2,a^3,a^4,a^5$ là những số hạng của cấp số cộng đó.Bài 2: Cho n số thực $x_1,x_2,...,x_n$. Với mỗi i $\in$ {1,2,...,n} gọi $a_i$ là số các chỉ số j mà $\vert x_1-x_j \vert \leq 1$ và $b_i$ là số các chỉ số j mà $\vert x_1-x_j \vert \leq 2$ (i có thể bằng j)   a) Cm tồn tại i mà $b_i \leq 3a_i$   b) Gọi A là số cặp (i,j) có thứ tự mà $\vert x_1-x_j \ve...

Ngày 1 (11/09/2018)   Thời gian: $180$ phútĐề bài:Câu 1: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} (x-y)(x^2+xy+y^2-2)=2ln\frac{y+\sqrt{y^2+1}}{x+\sqrt{x^2+1}}\\ 3^x.2x=3^y+2y+1 \end{matrix}\right.$Câu 2: Xét sự hội tụ của dãy số $(x_n)$ biết $x_0=2, x_{n+1}=\frac{2}{x_n}+\frac{\sqrt{3}}{x_n^2}$Câu 3: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. Dựng ra phía ngoài tam giác $ABC$ các hình bình hành $ABMN$ và $ACPQ$ sao cho tam giác $ABN$ đồng dạng với tam giác $CAP$. Gọi $G$ là giao điểm của $AQ$ và $BM$, $H$ là giao điểm của $AN$ và $CP$. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác $GMQ, HNP$ cắt nhau tại $E$ và $F$ ($E$ nằm trong đường tròn $(O)$).          a) Chứng minh rằng ba điểm $A,E,F$ thẳng hàng.          b) Chứng minh rằng bốn điểm $B,C,O,E$ cùng thuộc một đường tròn.Câu 4: Bạn Thanh viết lên bảng các số $1,2,3,...,2019$. Mỗi một bước Thanh xóa 2 số $a$ và $b$ bất kì trên bảng và viết thêm số $\frac{ab}{a+b+1}$. Chứng minh rằng dù xóa như thế nào thì sau khi thực hiện $2018$ bước trên bảng luôn còn lại số $\frac{1}{2019}$.P/s: Đề tỉnh mình dễ quá, mà mình vẫn còn ý $b$ bài hình, huhuNgày 2 (12/09/2018) Thời gian $180$ phútĐề bài:Câu 1: Cho đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên và $a,b,c$ là các số nguyên thỏa mãn $P(a)=1,P(b)=2,P(c)=3$. Chứng minh rằng: $a+c=2b$.Câu 2: Cho ba số thực dương $a,b,c$. Chứng minh bất đẳng thức: $(\sum a)(\sum \frac{1}{a})+4\sq...

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN MÔN TOÁN NĂM HỌC 2018 - 2019 TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI.Ngày thi thứ nhất: 10 - 9 - 2018Câu 1: Cho tam thức bậc hai $f(x)=x^{2}+ax+b$ với $a,b\in \mathbb{R}.$ Biết rằng tồn tại duy nhất số thực $x_{0}$ sao cho $f\left ( \left ( x_{0} \right ) \right )=0.$ Chứng minh rằng $a,b$ là các số không âm.Câu 2: Cho ba số dương $a_{1},b_{1},c_{1}$ thỏa $a_{1}+b_{1}+c_{1}=1$ và các dãy số $\left ( a_{n} \right ),\left ( b_{n} \right ),\left ( c_{n} \right )$ thỏa mãn: $a_{n+1}=a_{n}^{2}+2b_{n}c_{n}, b_{n+1}=b_{n}^{2}+2a_{n}c_{n}, c_{n+1}=c_{n}^{2}+2a_{n}b_{n},\forall n\in \mathbb{N}^{*}.$Xét dãy $\left ( x_{n} \right )$ xác định bởi $x_{n}=a_{n}^{2}+b_{n}^{2}+c_{n}^{2},\forall n\in \mathbb{Z}^{+}.$ Chứng minh:(a) $x_{n+1}=\frac{2x_{n}^{2}+\left ( x_{n}-1 \right )^{2}}{2},\forall n\in \mathbb{N}^{*}.$(b) $\left ( x_{n} \right )$ có giới hạn hữu hạn khi $n\rightarrow +\infty$ và tìm giới hạn đó.Câu 3: Ghi lên bảng $2018$ số nguyên dương đầu tiên $1,2,3,...,2018.$ Thực hiện thuật toán sau: mỗi lần cho phép xóa đi hai số $a,b$ mà không có số nào là bội của số kia và thay thế chúng bởi hai số là ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất của $a,b.$ Hỏi rằng ta có thể thực hiện thuật toán trên vô hạn lần không? Tại sao?Câu 4: Cho tam giác $ABC$ không cân nội tiếp đường tròn $\left ( O \right ),I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi $E$ là giao điểm của...

Kết quả thi IMO 2018 của chúng ta !!!!

Đề thi viết bằng tiếng anh em sưu tầm được trên mạng. Anh chị tham khảo. Bản dịch Tiếng Việt (By Phạm Quốc Sang)Bài 1:.Gọi $(T)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Điểm $D$ và $E$ nằm trên các đoạn $AB$ và $AC$ tương ứng sao cho $AD=AE$. Đường trung trực của cạnh $BD$ và $CE$ lần lượt cắt cung nhỏ $AB$ và $AC$ tại $F$ và $G$. Chứng minh rằng $DE$ và $FG$ song song hoặc trùng nhau.Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên $n \geq 3$ sao cho tồn tại các số thực $a_1, a_2, \dots a_{n + 2}$ thoả mãn  $$a_{n + 1} = a_1, a_{n + 2} = a_2$$ và $$a_ia_{i + 1} + 1 = a_{i + 2} \,\,(*),$$ với mọi $i = 1, 2, \dots, n$Bài 3: Tam giác anti-Pascal là một tam giác đều gồm các dãy số sao cho:      Ngoại trừ các chữ số ở hàng cuối cùng thì mỗi số là giá trị tuyệt đối của hiệu 2 số gần nhất bên dưới nó. Ví dụ sau đây là một tam giác anti-Pascal với 4 hàng chứa các số từ $1$ tới $10$:        $4$$2$       $6$$5$        $7$        $1$         $8$        $3$       $10$        $9$    Tồn tại hay không một tam giác anti-Pascal với $2018$ hàng, chứa mỗi số nguyên từ $1$ tới $1+2+…+2018$?

Download   Trên đây chỉ là 1 mã đề trong số 24 mã Mời các bạn cùng thảo luận luôn tại đây.

này được tạo ra để tổng hợp các đề thi vào lớp 10 THPT Chuyên. Các đề thi được tổng hợp từ đóng góp của các thành viên của VMF. Hoan nghênh sự đóng góp của các bạn cho diễn đàn ta ngày một tốt hơn. $\boxed{\text{Chú Ý}}$ +) Vòng 1: Là Toán Chung +) Vòng 2: Là Toán Chuyên Mong các bạn chú ý! Do thời gian tổng hợp đề gấp rút không tránh khỏi sự sai sót nên mong mọi người không nói trong này mà trao đổi với mình trong tin nhắn cá nhân. Trân Trọng! Sau đây là danh sách các đề thi: (Đề thi được tổng hợp theo 2 phần: THPT KHÔNG CHUYÊN và THPT CHUYÊN)I. THPT KHÔNG CHUYÊN  $\boxed{\text{1}}$ Đề thi vào THPT tỉnh Hà Nam - Vòng 1  $\boxed{\text{2}}$ Đề thi vào THPT tỉnh Lai Châu - Vòng 1 $\boxed{\text{3}}$ Đề thi vào THPT tỉnh Bắc Kạn - Vòng 1  $\boxed{\text{4}}$ Đề thi vào THPT tỉnh Bình Định - Vòng 1$\boxed{\text{5}}$ Đề thi vào THPT tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu - Vòng 1$\boxed{\text{6}}$ Đề thi vào THPT tỉnh Tuyên Quang - Vòng 1$\boxed{\text{7}}$ Đề thi vào THPT tỉnh Đắk Lắk - Vòng 1$\boxed{\text{8}}$ Đề thi vào THPT tỉnh Vĩnh Long - Vòng 1$\boxed{\text{9}}$ Đề thi vào THPT tỉnh Hải Phòng - Vòng 1$\boxed{\text{10}}$ Đề thi vào THPT tỉnh Đồng Nai - Vòng 1$\boxed{\text{11}}$ Đề thi vào THPT tỉnh Bắc Giang - Vòng 1$\boxed{\text{12}}$ Đề thi vào THPT tỉnh Quảng Ninh - Vòng 1$\boxed{\text{13}}$ Đề thi vào THPT tỉnh Hải Dương - Vòng 1 $\boxed{\text{14}}$ Đề thi vào THPT tỉnh Vĩnh Phúc - Vòn...

Hôm nay mình sẽ viết một bài viết dành cho tất cả mọi người, bài viết về định lý Riemann cho tổng hoán vị của chuỗi số. Bài viết sẽ cần một chút kiến thức về giới hạn và như vậy thì sẽ phù hợp với đa số các bạn học THPT. Chắc hẳn các bạn hay thấy người ta viết một số kết quả kì lạ như kiểu: $$1 + 2 + 3 + ... + n + ... = \frac{-1}{12}$$ Hay là $$1 - 1 + 1 - 1 + ... = \frac{1}{2}$$ Và kèm theo đó là các lời giải thích như chúng được dùng trong vật lý hoặc ở đâu đó? Các chuỗi số vô hạn luôn tạo ra các kết quả kì lạ, nhưng dưới góc nhìn thông thường của toán học thì hai kết quả vừa trên là sai nhé! Bây giờ ta cần một chút lý thuyết. Giới hạn của dãy số: Một dãy số thực $a_{1},a_{2},...a_{n},...$ viết gọn thành $(a_{n})$ được gọi là hội tụ đến số thực $a$ nếu với mọi $\varepsilon > 0$ tồn tại số tự nhiên chỉ phụ thuộc vào $\varepsilon$, kí hiệu là $N_{\varepsilon}$ sao cho $$|a_{n} - a| < \epsilon \forall n \geq N_{\varepsilon}$$ Giới hạn của dãy số ( nếu tồn tại ) thì là duy nhất ( và ta kí hiệu $a = \lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim a_{n}$ ). Bạn có thể dễ dàng chứng minh điều này. Ở đây dấu $|\cdot|$ là ám chỉ trị tuyệt đối. Chuỗi số Cho một dãy số thực $(a_{n})$. Chuỗi hình thức tương ứng với dãy này là: $$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} + ...$$ Ta gọi số thực $$S_{n} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}$$ Là tổng riêng thứ $n$ với $n=1,2,...$. Số $a_{n}$ gọi là từ thứ $n$, hay số hạn...

Sau khi đã bàn bạc với NHoang1608 một số mem khác của diễn đàn; mình quyết định mở lại topic này để khuấy động bầu không khí hè của diễn đàn cũng như tạo nơi để giao lưu; trao đổi về các bài toán nói chung và tổ hợp rời rạc nói riêng. Thôi; không dài dòng nữa; mình xin được trích các quy định trong topic trước của anh bangbang1412Các quy định phải tuân thủ : 1. Chỉ đăng các bài toán về tổ hợp rời rạc 2. Không được giải bài toán do chính mình đề xuất , không được đăng bài toán của các cuộc thi vẫn chưa kết thúc ở các tạp chí , diễn đàn , .... 3. Ghi rõ nguồn bài toán nếu có . ( nếu tự nghĩ bạn có thể ghi tên mình ) 4. Không spam , lời giải rõ ràng , không vắn tắt làm khó hiểu người đọc . 5. Mỗi bài đăng của bạn sẽ theo form sau mỗi khi bạn giải xong bài toán thứ n  Lời giải bài toán n :  Bài toán n+1 ( nguồn ) : Tiếp đó là bài mà bạn đề xuất6. Không đăng các bài toán mở , các giả thuyết , ...7. Nếu một bài toán trong 4 ngày không được giải chúng ta sẽ đăng bài toán khác và đánh dấu lại bài toán đó . 8. Các bài toán đăng lên độ khó nhất định , có thể không quá khó nhưng yêu cầu tư duy và suy nghĩ . 9. Lưu ý nếu một bài toán khó các bạn có ý tưởng cũng có thể chia sẻ để mọi người cùng nhau giải .Topic này không giới hạn độ tuổi và kiến thức [chỉ có giới hạn là toán rời rạc sơ cấp thôi ]