Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Chuyên mục

 Photo

KẾT QUẢ KỲ THI VMO 2017

24-01-2017

Hiện đã có file danh sách kết quả của kỳ thi VMO năm 2017 (mình lấy trên mạng, nhưng 99.99% là chính xác):
http://www.mediafire...SGQG_2017-1.pdf
Ngoài ra theo thông tin từ thầy Trần Nam Dũng, giáo viên trường ĐHQG TPHCM thì năm nay có 1 bạn lớp 10 đạt giải Nhất, kết quả một số tỉnh như sau:
Hà Tĩnh: 5 nhì, 4 ba
Vũng Tàu, 1 nhất, 1 nhì, 2 ba, 1 kk
Vĩnh Phúc có ít nhất là 3 giải nhì
Hạ Long 1 nhì, 2 ba, 5 kk
Binh Thuận 1 ba, 3 kk
Đồng Nai 1 ba
Ninh Bình 2 kk

Hà Nội toàn đoàn có giải, trong đó 3 Nhất.
Xin chúc mừng tất cả các bạn đạt giải trong kỳ thi năm nay.
Các mem của VMF ai có giải xin giơ tay!
P/s: Cá nhân mình cũng tham gia nhưng không đạt giải.

 

Xem xong file thì mình thấy có rất nhiều đoàn đạt giải toàn đoàn, trong đó đặc biệt là Nghệ An (không tính đến ĐH Vinh) với 10 giải Nhì!
P/s: Các bạn baopbc, canhhoang30011999, Nguyen Dinh Hoang team Nghệ An này!

 

Thêm một số thông tin từ thầy Nam Dũng: năm nay cut-off cho các giải từ nhất tới KK là 28:22.5:18:14. Điểm để dự thi TST (chọn đội tuyển IMO) là 23.

  2063 Lượt xem · 13 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi I Love MC )

 Photo

Tuần 4 tháng 1 năm 2017 : $JL\perp ON$

22-01-2017

Như vậy thầy Hùng đã đưa ra lời giải bài cũ trong tuần 4 tháng 1 và kèm theo đó là bài toán mới, xin trích dẫn lại bài toán mới,

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, tâm bàng tiếp góc $A$ là $J$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC$, $CA$, $AB$ tại $D$, $E$, $F$. $K$ là hình chiếu của $D$ trên $EF$. $AK$ cắt $(O)$ tại $L$ khác $A$. Tiếp tuyến qua $A$ của $(O)$ cắt $BC$ tại $T$. Trên trung trực $AL$ lấy $P$ sao cho $TP\parallel AI$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $JL$, $MP$. Chứng minh rằng $JL\perp ON$.

  1160 Lượt xem · 5 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi quanghung86 )

 Photo

ĐỀ THI THỬ NGHIỆM THPT QG 2017

21-01-2017

Gửi bởi E. Galois trong Thi TS ĐH

Bộ Giáo dục và đào tạo vừa công bố đề thi Thử nghiệm THPT QG 2017

 

File gửi kèm  1_De_Toan_ThuNghiem_K17.pdf   503.43K   685 Số lần tải

 

File gửi kèm  2_De_VatLi_ThuNghiem_K17.pdf   360.64K   182 Số lần tải

 

File gửi kèm  3_De_Hoa_ThuNghiem_K17.pdf   388.58K   187 Số lần tải

 

File gửi kèm  4_De_Sinh_ThuNghiem_K17.pdf   542.4K   143 Số lần tải

 

File gửi kèm  5_De_Nguvan_Thunghiem_K17.pdf   360.41K   163 Số lần tải

 

File gửi kèm  6_De_Lichsu_ThuNghiem_K17.pdf   226.5K   120 Số lần tải

 

File gửi kèm  7_De_Dia_ThuNghiem_K17.pdf   299.93K   107 Số lần tải

 

File gửi kèm  8_De_TAnh_ThuNghiem_K17.pdf   275.1K   202 Số lần tải

 

File gửi kèm  14_De_GDCD_ThuNghiem_K17.pdf   324.26K   147 Số lần tải

  581 Lượt xem · 1 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi NamMay )

 Photo

Bình chọn Thành viên nổi bật 2016

20-01-2017

Các bạn thành viên thân mến!

 

Theo kế hoạch, từ ngày 20/01/2017 đến hết ngày 15/02/2017, Diễn đàn sẽ tổ chức cho các bạn bình chọn thành viên nổi bật năm 2016. 

 

$$\textbf{DANH SÁCH ỨNG VIÊN BÌNH CHỌN THÀNH VIÊN NỔI BẬT 2016}$$
$$\begin{array}{|c|l|l|l|} \hline \textbf{STT}& \textbf{Nick} & \textbf{Tên thật} & \textbf{Đóng góp nổi bật}\\ \hline 1& \textit{Baoriven} & \text{Lê Hoàng Bảo} & \text{Thảo luận sôi nổi, quản lý tốt box được phụ trách}\\ \hline 2& \textit{baopbc} & \text{Nguyễn Đức Bảo} & \text{Thảo luận sôi nổi, Nổi bật trong box Hình học}\\ \hline 3 & \textit{IloveMC} & \text{Nguyễn Minh Quang} & \text{Sôi nổi, tích cực ở các box Số Học}\\ \hline 4& \textit{Dinh Xuan Hung} & \text{Đinh Xuân Hùng} & \text{Nhiều topic hay, làm tốt công tác ĐHV và VMEO}\\ \hline 5& \textit{tritanngo99} & \text{Ngô Tấn Trí} & \text{Thảo luận sôi nổi ở nhiều topic}\\ \hline 6& \textit{bangbang1412} & \text{Phạm Khoa Bằng} & \text{khởi xướng phong trào marathon, thảo luận sôi nổi, làm tốt công tác ĐHV}\\ \hline 7& \textit{PlanBbyFESN} & \text{Đậu Anh Kiên } & \text{Nhiều bài viết hay trong box BĐT}\\ \hline 8 & \textit{vanchanh123} & \text{Lê Văn Chánh} & \text{Thảo luận sôi nổi ở nhiều topic}\\ \hline 9& \textit{JUV} & \text{Nguyễn Hoàng Huy} & \text{Nhiều bài viết hay trong box Tổ hợp, số học}\\ \hline 10& \textit{tpdtthltvp} & \text{Hà Ngọc Khánh} & \text{Thảo luận sôi nổi, làm tốt công tác ĐHV}\\ \hline 11 & \textit{kimchitwinkle} & \text{Bùi Thị Kim Chi} & \text{Thảo luận sôi nổi, làm tốt công tác ĐHV}\\ \hline 12& \textit{NTA1907} & \text{Nguyễn Thành An } & \text{Thảo luận sôi nổi}\\ \hline 13& \textit{Royal1534} & \text{Trần Lê Vũ Long} & \text{Thảo luận sôi nổi ở nhiều topic}\\ \hline 14 & \textit{Nguyenhuyen_AG} & \text{Nguyễn Văn Huyện } & \text{Thảo luận sôi nổi ở các box BĐT}\\ \hline  15&  \textit{viet nam in my heart} & \text{Đỗ Trung Phương } & \text{Thảo luận nhiều topic hay, làm tốt công tác ĐHV}\\  \hline  16&  \textit{Ego} & \text{Nguyễn Trung Nghĩa } & \text{khởi xướng phong trào marathon, thảo luận sôi nổi, làm tốt công tác ĐHV}\\   \hline \end{array}$$
Các bạn chưa có tên xin cho BQT biết tên
 

Quyền bình chọn: Chỉ có những thành viên đăng kí trước 26/12/2015 hoặc đã có 50 bài viết trở lên mới có quyền bình chọn (Điều này để tránh gian lận).

Các bạn có thể bình chọn cho 1 hay nhiều ứng viên.

 

Năm thành viên có số phiếu cao nhất sẽ được BQT vinh danh, Ba thành viên có số phiếu cao nhất được khen thưởng. 

  2578 Lượt xem · 6 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi Dragon Knight )

 Photo

Tuần 3 tháng 1 năm 2017: Chứng minh $PA^2=PI \cdot PJ$.

15-01-2017

Như vậy lời giải cho bài Tuần 2 tháng 1 đã được thầy Hùng cho tại đây và kèm theo đó là bài toán mới. Xin được trích dẫn lại bài toán mới:

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với tâm nội tiếp $I$. Đường tròn $(J)$ tiếp xúc với $CA,AB$ tại $E,F$ và tiếp xúc trong $(O)$. Tiếp tuyến qua $A$ của các đường tròn $(K),(L)$ ngoại tiếp các tam giác $ABE, ACF$ cắt $BE,CF$ lần lượt tại $S,T$. $KS$ cắt $LT$ tại $M$. Trung trực $AI$ cắt $AO$ tại $N$. $MN$ cắt $AI$ tại $P$. Chứng minh rằng $PA^2= PI \cdot PJ$.

 

 Screen Shot 2017-01-16 at 12.25.20 AM.png

  692 Lượt xem · 1 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi ecchi123 )

 Photo

Giải Wolf $2017$

13-01-2017

wolf-2017-fefferman.jpg wolf-2017-schoen.jpg

Charles Fefferman ( trái ) , đại học Princeton và  Richard Schoen ( phải ) , đại học Califonia , Irivine đã giành được giải thưởng Wolf năm $2017$ trong toán học cho " những đóng góp đột phá trong giải tích và hình học " . Giải thưởng $100000$ đô được chia cho hai người . 

Trích dẫn cho Charles Fefferman là ông ấy có những đóng góp lớn với nhiều lĩnh vực , như giải tích phức nhiều biến , phương trình đạo hàm riêng và vấn đề subelliptic . Ông giới thiệu các kĩ thuật cơ bản trong giải tích điều hóa và khám phá ứng dụng cho một loạt các lĩnh vực như động lực học vật chất , hình học phổ và vật lý toán . Ngoài ra ông ấy còn giải quyết các vấn đề lớn liên quan đến các cấu trúc phức tạp , tinh tế cho các phương trình đạo hàm riêng . Fefferman nhận giải Fields năm $1978$ , giải thưởng Bergman năm $1982$ và giải thưởng tưởng niệm Bocher năm $2008$ . 

Richard Schoen được công nhận là " người tiên phong " và tạo động lực trong hình học giải tích. Đoạn trích dẫn tiếp : " Các công trình của ông về hàm điều hòa và mặt cực tiểu đã có ảnh hưởng lâu dài . Lời giải của ông ấy cho vấn đề Yamabe là cơ sở để phát hiện một mối liên hệ sâu sắc với thuyết tương đối tổng quát . Thông qua công việc của mình trong hình học giải tích , Schoen đã có đóng góp rất lớn cho sự hiểu biết của chúng ta về mối tương quan giữa phương trình đạo hàm riêng và hình học vi phân . Schoen nhận giải tưởng niệm Bocher năm $1989$ , là thành viên viện hàn lâm khoa học , cũng như một thành viên của AMS , American Academy of Arts , Sciences , và hiệp hội Mỹ vì sự tiến bộ của khoa học . Ông hiện là một phó chủ tịch của AMS . 

Giải thưởng Wolf , được đưa ra lần đầu tiên năm $1978$ , được trao bởi quỹ Wolf . Người trúng giải sẽ nhận giải từ tổng thống Israel trong một buổi lễ đặc biệt tại tòa nhà Quốc hội Israel ở Jerusalem . Đây là danh sách những người đoạt giải năm nay . 

Nguồn : ams.org

  238 Lượt xem · 0 Trả lời

 Photo

Vài điều lý thú về định lý Brouwer và định lý Borsuk-Ulam

10-01-2017

Định lý Brouwer và định lý Borsuk-Ulam

 

 

Trong cái hỗn độn luôn có một trật tự nào đó , quả thật như vậy . Hai định lý toán học định lý điểm bất động Brouwer và định lý Borsuk-Ulam sẽ cho ta thấy một phần trật tự trong cái hỗn độn đó , và nó cũng là hai định lý rất nổi tiếng của toán học . 

Định lý điểm bất động Brouwer 

Trước tiên ta bắt đầu với một ví dụ : 

 

 

34-dinhlidiembatdong.jpg

 

400px-Mainpic134.jpg

 

Chúng ta lấy hai đĩa tròn một cái màu xanh một cái đỏ để đè lên nhau ,cái đỏ ở trên , dĩ nhiên đè khít lên sau đó chúng ta có thể bóp méo cái đĩa đỏ . Hoặc là chúng ta lấy hai tờ giấy đè sát lên nhau , nếu ta vo cục giấy kia thành hình " khá tròn " rồi để lên tờ còn lại , ép phẳng nó ra . Cũng tương tự như khi bạn làm với sợi dây hoặc xoay tròn nước trong một tách cafe .bạn lấy Định lý Brouwer nói với ta rằng luôn có một điểm tiếp xúc không thay đổi . Vậy một cách toán học thì thực ra các " bóp méo " của ta là thực hiện một ánh xạ liên tục lên chính dụng cụ ta đang dùng .

Ta cùng tham khảo thêm một số thông tin : 

Định lý điểm bất động Brouwer phát biểu năm $1912$ bởi nhà luận lý học người Hà Lan Luizen Egtebus Jan Brouwer . Đây là một trong các định lý toán học quan trọng của thế kỉ $20$ , ngày nay vẫn được mở rộng . Chứng minh của nó sử dụng phương pháp bậc của ánh xạ liên tục trong topo . Ngày nay đã có ít nhất $5$ chứng minh khác nhau . Sau đây là phát biểu nguyên thủy ( ta không tìm hiểu thêm mở rộng ) : 

" Mọi ánh xạ liên tục từ hình cầu đóng trong $R^{n}$ vào chính nó phải có điểm bất động " .

Một thông tin khá thú vị mà mình tìm trên diendantoanhoc.net từ thành viên TieuSonTrangSi , xin phép trích lại đoạn đó : 

" Một trong những nhà luận lý , toán học người Hà Lan Jan Brouwer ( $1881 - 1966$) là người dẫn đầu trường phái trực giác . Trường phái của ông chống lại chủ nghĩa hình thức của Hilbert và chủ nghĩa logic của Russell . Đặc biệt Brouwer bài bác tất cả các chứng minh sử dụng phép phản chứng . Theo ông mọi chứng minh phải có tính xây dựng . Những nỗi quan tâm về triết lý toán học làm Brouwer mất ăn mất ngủ và mất giá trị trong lính vực của mình ( topo ) . Ông không bao giờ dạy topo , chỉ dạy triết lý toán học theo phái trực giác . Có điều khá mỉa mai là Brouwer tìm ra chứng minh định lý điểm bất động rất quan trọng nhưng ở thế kỉ $21$ khi người ta nhắc đến chứng minh định lý điểm bất động Brouwer thì chứng minh ngắn nhất sử dụng phép phản chứng và người ta không thể đưa ra một phép xây dựng cho nó" .

Nhưng mặc cho như vậy , định lý này vẫn là một trong các định lý quan trọng của toán học .

Định lý Borsuk - Ulam

Trong khí tượng học có một định lý khá hay là : 

" Tại mọi thời điểm trên mặt cầu trái đất luôn tồn tại hai điểm mà ở đó có cùng nhiệt độ và áp xuất khí quyển . " 

Nhưng hay thay nó không liên quan lắm đến khí tượng hay gì cả , mà lại nằm trong phần bài tập sách topology của Munkres ( cười ) . Lịch sử về nó thì không nhiều lắm nên mình chỉ nêu phát biểu nguyên thủy của nó : 

" Mọi ánh xạ liên tục $f$ từ hình cầu $S^{n}$ vào $R^{n}$ luôn có hai điểm trái tọa độ nhưng lại cùng giá trị " , nôm na là tồn tại  $x \in S^{n}, f(x) = f(-x)$ . Bạn có thể hiểu $x$ và $-x$ là hai điểm đối xứng nhau qua tâm trái đất , còn $f(x),f(-x)$ là nhiệt độ hoặc áp xuất tại đó . 

Vậy trong khí tượng hàm nhiệt độ và áp xuất ra sao như nào mình không biết như trong toán nó là có lý . Dĩ nhiên ta nên bảo với mấy ông bên khí tượng là tại sao hai hàm của các ông lại liên tục vậy . Sau đây là một video liên quan đến nó và kết thúc bài viết của mình .

Nguồn : 
Youtube.com 
Wikipedia 
Math fun fact 
diendantoanhoc.net

  1078 Lượt xem · 2 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi bangbang1412 )

 Photo

Tuần 2 tháng 1/2017: Chứng minh đường tròn đi qua 2 điểm cố định

09-01-2017

Như vậy bài toán Tuần 1 tháng 1 đã được thầy Hùng cho lời giải tại đây kèm theo đó là bài toán mới. Xin trích dẫn lại bài toán mới:

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$. $P$ di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác. $S,T$ là hai điểm cố định trên $(O)$. $PS,PT$ lần lượt cắt $CA,AB$ tại $E,F$. $EF$ cắt một đường tròn $(K)$ cố định qua $BC$ tại $Q,R$. Chứng minh rằng đường tròn $(PQR)$ luôn đi qua hai điểm cố định khi $P$ thay đổi.

 

 Screen Shot 2017-01-09 at 6.05.53 AM.png

  553 Lượt xem · 4 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi SonKHTN1619 )

 Photo

Đề Thi VMO năm 2017

04-01-2017

     BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2017

                                                                                                         

       ĐỀ THI CHÍNH THỨC

                             Môn Toán 

                         Thời gian : 180 phút

                                     

Ngày thi thứ nhất 05/01/2017

 

Bài 1 . (5,0 điểm)

 

Cho $a$ là số thực và xét dãy số $(u_n)$ xác định bởi : 

 

$$u_1=a,u_{n+1}=\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{2n+3}{n+1}u_n+\frac{1}{4}}\forall n\in\mathbb{N^{*}}$$

 

a)Khi $a=5$ ,chứng minh dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

 

b)Tìm tất cả các giá trị của $a$ để dãy số $(u_n)$ xác định và có giới hạn hữu hạn

 

Bài 2 . (5,0 điểm)

 

Tồn tại hay không đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên thỏa mãn : 

 

$$\left\{\begin{matrix} P(1+\sqrt[3]{2})=1+\sqrt[3]{2} & & \\ P(1+\sqrt{5})=2+3\sqrt{5} & & \end{matrix}\right.$$

 

Bài 3 . (5,0 điểm)

 

Cho tam giác $ABC$ nhọn ,không cân nội tiếp đường tròn $(O)$ .Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ và $E,F$ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh $B,C$ ; $AH$ cắt $(O)$ tại $D$ ($D$ khác $A$)

 

a)Gọi $I$ là trung điểm của $AH$ ; $EI$ cắt $BD$ tại $M$ và $FI$ cắt $CD$ tại $N$ . Chứng minh rằng: $MN\perp OH$

 

b)Các đường thẳng $DE,DF$ cắt $(O)$ lần lượt tại $P,Q$ ($P$ và $Q$ khác $D$ ) . Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt $(O)$ và $AO$ lần lượt tại $R$ và $S$ ($R,S$ khác $A$ ).Chứng minh rằng : $BP,CQ$ và $RS$ đồng quy

 

Bài 4 .  (5,0 điểm)

 

Cho số nguyên $n>1$ . Bảng vuông $ABCD$ kích thước $n\times n$ gồm $n^2$ ô vuông đơn vị , mỗi ô vuông đơn vị được tô bởi ba màu : đen,trắng,xám . Một cách tô màu được gọi là đối xứng nếu mỗi ô có tâm trên đường chéo $AC$ được tô màu xám và mỗi cặp ô đối xứng qua $AC$ được tô màu đen hoặc cùng màu trắng . Người ta điền vào mỗi ô xám số $0$ , mỗi ô trắng một số nguyên dương và mỗi ô đen một số nguyên âm . Một cách điền số như vậy được gọi là $k-$ cân đối (với $k$ là số nguyên dương) nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

 

    (i) Mỗi cặp ô đối xứng qua $AC$ được điền cùng một số nguyên thuộc đoạn $\left [ -k;k \right ]$

 

    (ii) Nếu một hàng và một cột giao nhau tại ô đen thì tập các số nguyên dương được điền trên hàng đó và tập số nguyên dương được điền 

         trên cột đó không giao nhau;nếu một hàng và một cột giao nhau tại ô trắng thì tập các số nguyên âm được điền trên hàng đó và tập các số nguyên âm được điền trên cột đó không giao nhau

 

a)Với $n=5$ , tìm giá trị nhỏ nhất của $k$ để tồn tại cách điền hình số $k-$ cân đối cho cách tô màu như hình bên dưới

 

Capture.PNG

 

b)Với $n=2017$ , tìm giá trị nhỏ nhất của $k$ để với mọi cách tô màu đối xứng , luôn tồn tại cách điền $k$ cân đối

 

 Ngày thi thứ hai 06/01/2017

 

Bài 5 . (6,0 điểm).

 

Tìm tất cả các hàm số : $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn hệ thức:

 

$$f\left ( xf\left ( y \right )-f\left ( x \right ) \right )=2f\left ( x \right )+xy$$

 

với mọi số thực $x,y$

 

Bài 6 . (7,0 điểm) 

 

Chứng minh rằng:

 

a)$\sum_{k=1}^{1008}kC_{2017}^{k}\equiv 0$ (mod $2017^2$ )

 

b)$\sum_{k=1}^{504}\left ( -1 \right )^kC_{2017}^{k}\equiv 3\left ( 2^{2016}-1 \right )$ (mod $2017^2$ )

 

Bài 7 . (7,0 điểm)

 

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$  và $G$ là một điểm thuộc cung $BC$ không chứa $O$  của đường tròn $(I)$ ngoại tiếp tam giác $OBC$ . Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABG$ cắt $AC$ tại $E$ , đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACG$ cắt $AB$ tại $F$ ( $E$ và $F$ khác $A$ )

 

a)Gọi $K$ là giao điểm của $BE$ và $CF$ . Chứng minh $AK,BC$ và $OG$ đồng quy

 

b)Cho $D$ là một điểm thuộc cung $\overbrace{BOC}$ chứa $O$ của đường tròn $(I)$ ; $GB$ cắt $CD$ tại $M$ . $GC$ cắt $BD$ tại $N$ . Giả sử $MN$ cắt $(O)$ tại hai điểm $P,Q$ .Chứng minh rằng: khi $G$ thay đổi trên cung BC không chứa $O$ của đường tròn $(I)$ , đường tròn ngoại tiếp $GPQ$ luôn đi qua hai điểm cố định

  18381 Lượt xem · 72 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi JUV )

 Photo

Số $e$ là số gì vậy?

01-01-2017

e-day-new.jpg

 

Bài viết này sẽ nói về số $e$, một hằng số nổi tiếng, có vai trò quan trọng trong Toán học giống như số $\pi $, tỉ số vàng, $\sqrt{2}$, … $e$ là một số vô tỉ, có giá trị là $2.7182818\ldots $

 

Điều thú vị ở số $e$ là nguồn gốc hình thành nên hằng số này không xuất phát từ Hình học. Một hằng số nổi tiếng có từ thời Hi Lạp cổ đại xuất phát từ Hình học đó là số $\pi $, hình thành dựa trên tỉ số của chu vi và đường kính của cùng một hình tròn. Ngoài ra, còn nhiều hằng số khác có từ thời Hi Lạp cổ đại và xuất phát từ Hình học.

 

Hinh1.PNG  Hinh2.PNG

 

Tuy nhiên, số $e$ thì khác, con số này không xuất phát từ Hình học, không dựa trên một hình nào cả. $e$ là một hằng số Toán học liên quan đến sự tăng trưởng và tốc độ thay đổi. Liên quan như thế nào ư? Ta hãy quan sát bài toán đầu tiên sử dụng đến số $e$.

 

Vào thế kỷ 17, nhà Toán học Jacob Bernoulli nghiên cứu về bài toán lãi kép, giả sử bạn có 1 Đồng trong ngân hàng, giả sử ngân hàng này hào phóng đến mức đưa ra lãi suất $100\%/\text{năm}$, điều này có nghĩa sau một năm, bạn được 2 Đồng, bao gồm 1 Đồng ban đầu và $1 \times 100\% = 1$ Đồng từ lãi.

 

Hinh3.PNG

 

Vậy nếu ngân hàng trả lãi suất $50\%/6 \text{ tháng}$ thì sao? Bạn sẽ được lãi nhiều hơn hay ít hơn? Giả sử bạn có 1 Đồng, với lãi suất trên thì sau 6 tháng bạn được 1.5 Đồng (bao gồm 0.5 Đồng tiền lãi). 6 tháng tiếp theo, bạn sẽ được 2.25 Đồng, bao gồm 1.5 Đồng ở 6 tháng trước và $1.5 \times 50\% = 0.75$ Đồng tiền lãi kì này.

 

Nếu ngân hàng trả lãi theo từng tháng, tức lãi suất là $\frac{1}{12} = 8.(3)\%/\text{ tháng}$ thì sao? Số tiền sẽ nhiều hơn chứ? Sau tháng thứ 1, khi tính luôn tiền lãi thì tổng số tiền hiện giờ là

$$1+1\times \frac{1}{12}=1\times \left( 1+\frac{1}{12} \right)=\left( 1+\frac{1}{12} \right)$$

Tương tự, đến tháng thứ 3

$${{\left( 1+\frac{1}{12} \right)}^{2}}+{{\left( 1+\frac{1}{12} \right)}^{2}}\times \frac{1}{12}={{\left( 1+\frac{1}{12} \right)}^{2}}\left( 1+\frac{1}{12} \right)={{\left( 1+\frac{1}{12} \right)}^{3}}$$

Cứ thế, ta sẽ tính được đến tháng 12, tổng số tiền kiếm được là

$${{\left( 1+\frac{1}{12} \right)}^{12}}=2.61$$

Vậy với cách tính lãi này thì sau 1 năm ta sẽ kiếm được 2.61 Đồng. Trên thực tế, càng chia nhỏ thời điểm lấy lãi theo tỉ lệ tương ứng thì số tiền thu được càng nhiều, cụ thể như ngân hàng tính lãi hàng tuần với lãi suất $\frac{1}{52} = \frac{25}{13}\% \approx 1.923\%/ \text{ tuần}$ (1 năm có 52 tuần), khi đó sau 1 năm, tổng số tiền kiếm được là

$${{\left( 1+\frac{1}{52} \right)}^{52}}=2.69$$

Có lẽ bạn đã thấy được biểu thức tổng quát sẽ có dạng

$${{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}$$

Nếu ta tính lãi từng tháng thì $n=12$, tính từng tuần thì $n=52$. Nếu ta tính lãi theo từng ngày, tổng số tiền có được sau 1 năm là

$${{\left( 1+\frac{1}{365} \right)}^{365}}=2.71$$

Số tiền sẽ ngày càng nhiều khi ta tính lãi theo từng giây, hay thậm chí từng nano-giây. Vậy nếu ta trả lãi liên tục theo thời gian thì sao? Cứ mỗi khoảnh khắc là sẽ có lãi, lãi suất liên tục thì kết quả sẽ như thế nào? Để biết được câu trả lời, ta sẽ cho $n\to +\infty $ và xem biểu thức ấy cho ra giá trị là bao nhiêu. Tiếc thay Bernoulli khi ấy chưa tìm ra được kết quả dù ông ta biết rằng đáp án phải nằm giữa 2 và 3. Đến 50 năm sau, Euler (hoặc có thể là Gauss) đã tìm ra đáp án, đó là một số vô tỉ $2.718281828459\ldots $ Euler đặt tên cho số vô tỉ này là $e$, đương nhiên chữ $e$ này không xuất phát từ chữ “$E$” trong “Euler” đâu mặc dù ngày nay người ta hay gọi $e$ là hằng số Euler, ta có thể hiểu $e$ ở đây đơn là là 1 chữ cái dùng để ký hiệu. Ông ta tìm ra một công thức tính $e$ (không phải công thức tính lãi kép như trên) và từ đó chứng minh $e$ là số vô tỉ là

$$e=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{6+\ldots }}}}}}}}$$

Đây là liên phân số cố số tầng vô tận với các hệ số tuần theo quy luật $2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\ldots $ Quy luật này kéo dài vô tận, khi đó số này phải là số vô tỉ, còn nếu quy luật này là hữu hạn thì ta có thể viết liên phân số trên thành phân số tối giản. 

 

Hinh4.PNG

 

Ngoài ra, Euler tìm ra được một công thức khác, từ đó ông tìm ra đến 18 chữ số ở phần thập phân.

$$e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\ldots $$

 

Hinh5.PNG

 

Đây là một công thức đẹp, nhưng với điều kiện là bạn phải biết thế nào là giai thừa (kí hiệu $!$). Giai thừa có thể hiểu nôm na là nhân các số nguyên dương từ $1$ đến số cần tính, ví dụ như 4 giai thừa ($4!$) là $1\times 2\times 3\times 4$. Chứng minh công thức trên thực ra không khó, chỉ cần kiến thức toán Phổ thông là đủ. Ta cần sử dụng đến định lý nhị thức có công thức tổng quát là

$${{\left( 1+x \right)}^{n}}=1+\ldots +\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}{{x}^{k}}+\ldots +{{x}^{n}}$$

Sử dụng định lý này, ta sẽ có ngay kết quả khai triển của ${{\left( 1+x \right)}^{3}}$ hay ${{\left( 1+x \right)}^{5}}$ mà không cần phải phá ngoặc

 

\begin{align*}{{\left( 1+x \right)}^{3}}&=1+\frac{3!}{1!\left( 3-1 \right)!}{{x}^{1}}+\frac{3!}{2!\left( 3-2 \right)!}{{x}^{2}}+{{x}^{3}}\\&=1+3x+3{{x}^{2}}+{{x}^{3}}\\{{\left( 1+x \right)}^{5}}&=1+5x+10{{x}^{2}}+10{{x}^{3}}+5{{x}^{4}}+{{x}^{5}}\end{align*}

 

Bây giờ áp dụng vào biểu thức tính số $e$

$$e=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}$$

Áp dụng định lý nhị thức vào phép khai triển biểu thức này, với $x=\frac{1}{n}$, ta được:

$${{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}=1+\ldots +\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}{{\left( \frac{1}{n} \right)}^{k}}+\ldots +{{\left( \frac{1}{n} \right)}^{n}}$$

Khi cho $n$ tiến ra vô cùng thì biểu thức

$$\frac{n!}{\left( n-k \right)!}{{\left( \frac{1}{n} \right)}^{k}}=\frac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)\ldots \left( n-k+1 \right)}{{{n}^{k}}}$$

tiến về 1, do đó ta được

$$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}{{\left( \frac{1}{n} \right)}^{k}} \right)=\frac{1}{k!}$$

Như vậy, khi $n$ tiến ra vô cùng, biểu thức tính số $e$ đơn giản là tổng của các giai thừa

$$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}=e=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\ldots +\frac{1}{n!}+\ldots $$

Vì sao Toán học cần dùng đến số $e$? Vì $e$ là ngôn ngữ tự nhiên của sự tăng trưởng. Để cho dễ hiểu, ta vẽ đồ thị hàm số $y={{e}^{x}}$.

 

Hinh6.PNG

 

Lấy một điểm $x$ bất kỳ trên đồ thị, ta được giá trị tung độ tại điểm đó là ${{e}^{x}}$, độ dốc tại điểm đó cũng là ${{e}^{x}}$ và phần diện tích dưới đồ thị, phía trên trục hoành, kéo dài từ điểm $x$ xuống âm vô cùng cũng bằng ${{e}^{x}}$.

 

Hinh7.PNG

 

Tức với bất kỳ điểm nào trên đồ thị, giá trị tung độ, giá trị độ dốc và phần diện tích dưới đường cong đều bằng nhau. Cụ thể, ta lấy $x=1$, ta được giá trị hoành độ là ${{e}^{1}}=1.2718\ldots $, giá trị độ dốc là ${{e}^{1}}=1.2718\ldots $ và phần diện tích dưới đường cong là ${{e}^{1}}=1.2718\ldots $

 

Hinh8.PNG

 

Đây là một điều rất độc đáo, do đó $e$ la ngôn ngữ tự nhiên của vi tích phân do ngành này có nghiên cứu về tốc độ thay đổi, tăng trưởng, tính diện tích, … nhờ số $e$ nên các phép tính trở nên đơn giản hơn nhiều, nếu như bạn không muốn dung đến số $e$ thì có khi bạn tự làm khó bản thân đấy. Ngoài ra, $e$ còn nổi tiếng vì nhiều công thức Toán học nổi tiếng sử dụng đến số $e$, ví dụ như công thức Euler

$${{e}^{i\pi }}+1=0$$

Công thức này sử dụng hàm ${{e}^{x}}$ làm chủ đạo, ngoài ra còn có cả những hằng số Toán học nổi tiếng khác là số $\pi $, số $i=\sqrt{-1}$, số 1 và số 0, do đó công thức này được bầu chọn là công thức đẹp nhất của Toán học.

 

Hinh9.PNG

 

Bài viết này dịch từ clip e của tài khoản Numberphile và clip e (Extra Footage) của tài khoản Numberphile2 trên Youtube

 

  2938 Lượt xem · 0 Trả lời


Những bài toán trong tuần

Cho đường tròn bán kính $R= 1$. Trên tiếp tuyến tại một điểm $A$ của đường tròn, lấy điểm $T$ với $AT= 1$. Đường thẳng $d$ quay quanh $T$ cắt đường tròn tại $B$ và $C$. Xác định góc nhọn $\alpha$ giữa đương thẳng $d$ và tiếp tuyến $AT$ sao cho $\Delta ABC$ có diện tích lớn nhất.

>>Tham gia giải bài toán này<<

Những bài toán đã qua


Mỗi tuần 1 bài toán hình học

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. $P,Q$ đối xứng nhau qua trung điểm $BC$ và $PQ \perp AB$. $K$ là tâm ngoại tiếp tam giác $APQ$ và $AR$ là đường đối trung của tam giác $APQ$. $KR,KC$ cắt phân giác $\angle PAQ$ tại $M,N$. Chứng minh rằng $KM=KN$.
Chuyên mục Mỗi tuần một bài toán cũng sẽ bắt đầu nhận và đăng bài đề nghị từ bạn đọc. Đề đề nghị có thể gửi qua email teamhinhhochsgs[a còng]gmail.com. Xin trích dẫn lại đề đề nghị của tuần này đến từ tác giả Trịnh Huy Vũ, K61 Toán, ĐHKHTN, ĐHQGHN:
Cho tam giác $ABC$. Trên trung trực của đoạn $BC$ lấy điểm $D$ sao cho $\angle DBC= \angle DCB= \theta$ và $A,D$ khác phía so với $BC$. Lấy hai điểm $E,F$ tương ứng nằm trên hai cạnh $CA,AB$ của tam giác $ABC$ sao cho đường thẳng $AD$ đi qua trung điểm của $EF$. Trên trung trực $EF$ lấy điểm $H$ sao cho $\angle EHF=2\theta$ và $A,H$ nằm cùng phía với $EF$. Chứng minh rằng $AH \perp BC$.


Tham gia giải bài toán này

Ấn phẩm của Diễn đàn Toán học

 

 

 

Bài viết mới


  • 569466 Bài viết
  • 92228 Thành viên
  • Ninh Hang Nhat1 Thành viên mới nhất
  • 17600 Online đông nhất

Portal v1.4.0 by DevFuse | Based on IP.Board Portal by IPS