Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 1 tháng 6/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và bạn Nguyễn Hoàng Nam. Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Đường tròn $(K)$ tiếp xúc $CA,AB$ và tiếp xúc trong $(O)$. Trung trực $CA,AB$ cắt đường thẳng qua $A$ vuông góc $AD$ tại $E,F$. $J$ là trung điểm $AK$. $JE,JF$ cắt trung trực $AD$ tại $M,N$. $P,Q$ là đối xứng của $D$ qua $KM,KN$. Trên $OF,OE$ lần lượt lấy $U,V$ sao cho $MU \perp AP, NV \perp AQ$. Chứng minh rằng $UV \perp AD$.   Bài 2. Cho tam giác $ABC$ với $P,Q$ là hai điểm đẳng giác trong tam giác. Giao điểm $AP,CQ$ với $(ABC)$ lần lượt là $D,E$. Giao điểm của $DE$ và $BQ$ là $F$. Trung trực của $AB$ cắt $PQ$ tại $T$. Giao điểm của $TE$ và $AB$ là $G$. Chứng minh rằng bốn điểm $B,E,F,G$ cùng thuộc một đường tròn.

Tổng hợp đề thi tuyển sinh vào các trường THPT chuyên năm học 2017-2018 $\boxed{1}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương $\boxed{2}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Sư Phạm - Hà Nội (vòng 1 + vòng 2) $\boxed{3}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Võ Nguyên Giáp - Quảng Bình $\boxed{4}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Bạc Liêu $\boxed{5}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Trần Hưng Đạo - Bình Thuận (Hệ số 1) $\boxed{6}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Trần Hưng Đạo - Bình Thuận (Hệ số 2) $\boxed{7}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Khánh Hòa $\boxed{8}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên PTNK - ĐHQG TP HCM (vòng 1) $\boxed{9}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên PTNK - ĐHQG TP HCM (vòng 2) $\boxed{10}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Hưng Yên $\boxed{11}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định (vòng 1) $\boxed{12}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định (vòng 2) $\boxed{13}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Bà Rịa Vũng Tàu (vòng 1) $\boxed{14}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Bà Rịa Vũng Tàu (vòng 2) $\boxed{15}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Tây Ninh $\boxed{16}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Thành Phố Hồ Chí Minh $\boxed{17}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa $\boxed{18}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Ninh Bình $\boxed{19}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Bình Phước $\boxed{20}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT c...

\[\textbf{IRAN TST 2017}\]  $\text{Ngày thứ nhất}$ Bài Toán 1. Cho số nguyên $n>1$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $n-1 \ge m \ge \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor$ sao cho phương trình sau có nghiệm nguyên thỏa mãn $a_m>0:$$\displaystyle\frac{a_{m}}{m+1}+\frac{a_{m+1}}{m+2}+ \cdots + \frac{a_{n-1}}{n}=\frac{1}{\textrm{lcm}\left ( 1,2, \cdots , n \right )}.$Bài Toán 2. Cho $P$ là một điểm nằm trong tứ giác $ABCD$ sao cho$\angle BPC=2\angle BAC  , \angle PCA = \angle PAD  , \angle PDA=\angle PAC.$Chứng minh rằng $\angle PBD= \left | \angle BCA - \angle PCA \right |.$Bài Toán 3. Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb {R}^+ \times \mathbb {R}^+ \to \mathbb {R}^+$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau với mỗi ba số thực dương $x,y,z$.1) $f\left ( f(x,y),z \right )=x^2y^2f(x,z).$2) $f\left ( x,1+f(x,y) \right ) \ge x^2 + xyf(x,x).$ $\text{Ngày thứ hai}$ Bài Toán 4. Cho $6$ điểm nằm trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Biết rằng trong $4$ điểm bất kỳ trong các điểm đã cho, tồn tại một điểm có phương tích đối với đường tròn đi qua ba điểm còn lại bằng một hằng số $k$. Chứng minh rằng cả $6$ điểm đã cho cùng nằm trên một đường tròn.Bài Toán 5. Cho $\left \{ c_i \right \}_{i=0}^{\infty}$ là một dãy các số thực không âm thỏa mãn $c_{2017}>0$. Xét dãy đa thức $P_n(x)$ xác định bởi$P_{-1}(x)=0 \ , \ P_0(x)=1 \ , \ P_{n+1}(x)=xP_n(x)+c_nP_{...

Olympic Toán Châu Á - Thái Bình Dương 2017 lần thứ XXIX Tháng ba, 2017Thời gian làm bài: 4 tiếng                                                                                                                                                                                                      Số điểm mỗi bài toán là 7 Các bài toán phải được giữ bí mật cho đến khi chúng được đăng lên ở đây: http://apmo.ommenlinea.org/. Không được tiết lộ cũng như trao đổi về các bài toán trên internet cho đến khi đó. Thí sinh không được sử dụng máy tính. $\text{Bài toán 1}$. Ta gọi một bộ $5$ số nguyên là sắp xếp được nếu các phần tử của nó có thể được đánh dấu $a,b,c,d,e$ theo một thứ tự nào đó sao cho $a-b+c-d+e=29$. Xác định tất cả các bộ $2017$ số nguyên $n_1,n_2,\dots ,n_{2017}$ sao cho nếu ta đặt chúng lên đường tròn theo chiều kim đồng hồ thì bất kỳ bộ $5$ số nguyên liên tiếp nào cũng...

\[\textbf{IRAN TST 2017}\] $\text{Ngày thứ nhất}$ Bài 1. Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương với $a+b+c+d=2$. Chứng minh rằng\[\frac{(a+c)^{2}}{ad+bc}+\frac{(b+d)^{2}}{ac+bd}+4\geq 4\left ( \frac{a+b+1}{c+d+1}+\frac{c+d+1}{a+b+1} \right )\]Bài 2. Có $13$ học sinh tham gia kỳ thi chọn đội $\text{IMO}$ của một quốc gia. Họ đã làm $6$ bài kiểm tra và điểm đã được công bố. Giả sử không có hai học sinh có điểm bằng nhau ở một bài kiểm tra. Để chọn ra đội tuyển, hội đồng quyết định chọn một hoán vị của $6$ bài kiểm tra và bắt đầu từ bài kiểm tra đầu tiên, ai có điểm cao nhất trong bài này thì được chọn,… Hỏi theo cách này, mọi học sinh đều có thể được chọn? (Đội $\text{IMO}$ sẽ gồm $6$ học sinh).Bài 3. Cho tam giác $ABC$ với $I_a$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$. Gọi $\omega $ là một đường tròn bất kỳ qua $A,I_a$ và cắt phần kéo dài của các cạnh $AB,AC$ (kéo dài từ $B,C$) tại $X,Y$ tương ứng. Gọi $S,T$ là các điểm trên các đoạn $I_aB,I_aC$ tương ứng sao cho $\angle AXI_a=\angle BTI_a$ và $\angle AYI_a=\angle CSI_a$. Các đường thẳng $BT,CS$ cắt nhau tại $K$. Các đường thẳng $KI_a,TS$ cắt nhau tại $Z$. Chứng minh rằng $X,Y,Z$ thẳng hàng. $\text{Ngày thứ hai}$ Bài 4. Gọi $P_i$ là số nguyên tố thứ $i$. Cho $n_1<n_2< \cdots$ là dãy các số nguyên dương sao cho với mỗi $i=1,2,3,\cdots$, phương trình $x^{n_i} \equiv 2 \pmod {p_i}$ có nghiệm. Liệu...

\[\textbf{USA JMO 2017}\] $\text{Ngày thứ nhất}$ Bài 1. Chứng minh rằng có vô hạn cặp số nguyên $(a,b)$ sao cho $a>1,b>1$,$(a,b)=1$ và $a^b+b^a$ chia hết cho $a+b$.Bài 2. Xét phương trình $(3x^3+xy^2)(x^2y+3y^3)=(x-y)^7$$(a)$ Chứng minh rằng phương trình có vô hạn nghiệm nguyên dương;$(b)$ Tìm tất cả nghiệm nguyên dương của phương trình.Bài 3. Cho tam giác đều $ABC$ và điểm $P$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp của nó. Gọi $D$ là giao điểm của $PA$ và $BC$, $E$ là giao điểm của $PB$ và $AC$, $F$ là giao điểm của $PC$ và $AB$. Chứng minh rằng diện tích của tam giác $DEF$ gấp đôi diện tích của tam giác $ABC$. $\text{Ngày thứ hai}$ Bài 4. Tồn tại hay không bộ ba các số nguyên dương $(a,b,c)$ sao cho $(a-2)(b-2)(c-2)+12$ là một số nguyên tố và nó là ước thực sự của số nguyên dương $a^2+b^2+c^2+abc-2017$ ?Bài 5. Cho $O$ và $H$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm của tam giác nhọn $ABC$. Các điểm $M$ và $D$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $BM=CM$ và $\angle BAD = \angle CAD$. Tia $MO$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHC$ tại $N$. Chứng minh rằng $ \angle ADO=  \angle HAN$.Bài 6. Cho $P_1,P_2,...,P_{2n}$ là $2n$ điểm phân biệt trên đường tròn $x^2+y^2=1$, khác $(1,0)$. Mỗi điểm được tô xanh hoặc đỏ, sao cho có đúng $n$ điểm đỏ và $n$ điểm xanh. Gọi $R_1,R_2,...,R_n$...

$34^{th}$ Balkan Mathematical Olyimpiad 2017 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn: \ 2. Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB<AC$) nội tiếp đường tròn $\Gamma$. $t_{B}$ và $t_{C}$ lần lượt là các tiếp tuyến của $\Gamma$ tại $B$ và $C$, $L$ là giao điểm của 2 tiếp tuyến đó. Đường thẳng qua $B$ song song với $AC$ cắt $t_{C}$ tại điểm $D$. Đường thẳng qua $C$ song song với $AB$ cắt $t_{B}$ tại điểm $E$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDC$ cắt $AC$ tại $T$ ($T$ nằm giữa $A$ và $C$). Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BEC$ cắt đường thẳng $AB$ tại $S$ ($B$ nằm giữa $S$ và $A$). Chứng minh rằng $ST,AL$ và $BC$ đồng quy. 3. Kí hiệu $\mathbb{N}$ là tập hợp các số tự nhiên. Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N}$ sao cho \[n+f(m)\mid f(n)+nf(m)\] với $m,n\in \mathbb{N}$ 4. Trên $1$ bàn tròn có $n>2$ học sinh ngồi. Đầu tiên, mỗi học sinh có $1$ viên kẹo. Mỗi bước tiếp theo, mỗi học sinh chọn một trong những hành động sau: (A) Đưa $1$ viên kẹo cho học sinh ngồi bên trái hoặc bên phải người đó. (B) Chia số kẹo thành $2$ phần (có thể không có gì), $1$ phần đưa cho người bên trái và phần còn lại cho người bên phải người đó. Mỗi bước, các học sinh thực hiện hành động của mình cùng một lúc. Sự phân chia số kẹo được gọi là hợp lệ nếu nó xảy ra trong số bước hữu hạn. Tìm số lượng phân chia hợp lệ. (Hai sự sắp xếp khác nhau khi mà có một học sinh ở mỗi sự sắp xếp có số kẹo khác nhau ) Spoiler Tiếng anh tàm tạm. Bài tổ hợp dịch kh...

$\text{TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN}$$\textbf{TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN}$ \[\textbf{ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2017}\]Môn thi: TOÁNThời gian làm bài: 180 phút,không kể thời gian phát đề $\text{Ngày thi thứ nhất}$ Câu 1. Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_1=2017$ và\ với mọi số nguyên dương $n \ge 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ để $a_n - 2$ chia hết cho $5^{2017}$Câu 2. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực sao cho\ với mọi bộ số $(a,b,c)$ thỏa mãn $ab+bc+ca+1=0$Câu 3. Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại các điểm $D,E,F$. Trên đường thẳng $EF$ lấy các điểm $M,N$ sao cho $CM \parallel BN \parallel DA$. $DM,DN$ lần lượt cắt đường tròn $(I)$ tại $P,Q$ khác $D$.a) Chứng minh rằng $BP,CQ,AD$ đồng quy tại điểm $J$b) Gọi $X$ là trung điểm $PQ$. Chứng minh rằng $JX$ đi qua trung điểm $MN$.Câu 4. Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng\[ \left( \frac{2+a}{1+a+b} \right)^2 + ca \left( \frac{2+b}{1+b+c} \right)^2+ a \left( \frac{2+c}{1+c+a} \right)^2 \le 1+a+ca \] $\text{Ngày thi thứ hai}$ Câu 5. Tìm tất cả các bộ số nguyên không âm $(m,n,k)$ thỏa mãn\ Câu 6. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp trong đường tròn $(O)$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. $AI$ cắt $BC$ tại $D$ và cắt $(O)$ tại $K$ khác $A$. $P$ là một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$ và nằm trong tam giác $ABC$. $PK$...

Bài 1$ABCD$ là hình thang với $AB$ song song $CD$. Hai đường chéo cắt nhau tại $P$. Gọi $w_{1}$ là đường tròn qua $B$ và tiếp xúc với $AC$ tại $A$. $w_{2}$ là đường tròn qua $C$ và tiếp xúc với $BD$ tại $D$. $w_{3}$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $BPC$Chứng minh rằng dây cung chung của $w_{1},w_{3}$ và $w_{2},w_{3}$ cắt nhau trên $AD$Bài 2Tìm n nguyên dương lớn nhất sao cho tồn tại n số nguyên dương thỏa mãn không có 2 số nào là ước của nhau nhưng trong 3 số bất kì có 1 số là ước của tổng 2 số còn lạiBài 3Có 27 tấm thẻ trên đó có thể có 1,2 hoặc 3 biểu tượng trên đó. Các biểu tượng có thể là hình vuông, tam giác, hoặc hình tròn và mỗi tấm thẻ được tô màu xám, trắng hoặc đen. 3 tấm thẻ được gọi là 'hạnh phúc' nếu chúng có cùng hoặc đôi một khác số lượng các biểu tượng trên đó và chúng có cùng hoặc đôi một khác nhau các biểu tượng và  có cùng hoặc đôi một khác màu nhau. Hỏi có thể chọn ra tốt đa bao nhiêu tấm thẻ sao cho không có 3 tấm thẻ nào 'hạnh phúc'

EGMO 2017 Ngày $1$. $1$. Cho tứ giác lồi $ABCD$ với $\angle DAB = \angle BCD = 90^{\circ}$ và $\angle ABC > \angle CDA$. Gọi $Q$ và $R$ lần lượt là các điểm trên các đoạn $BC$ và $CD$ sao cho $QR$ cắt $AB$ và $AD$ lần lượt tại $P$ và $S$. Biết rằng $PQ=RS$. Gọi trung điểm của $BD$ là $M$ và trung điểm của $QR$ là $N$. Chứng minh rằng các điểm $M,N,A$ và $C$ cùng thuộc một đường tròn. $2$. Gọi $\mathbb{Z}_{>0}$ là tập tất cả các số nguyên dương. Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho tồn tại một cách tô màu các số nguyên dương bằng $k$ màu (mỗi số được tô bởi duy nhất một màu) và một hàm $f:\mathbb{Z}_{>0}\mapsto\mathbb{Z}_{>0}$ với hai điều kiện sau:$\bullet$ Với mọi số nguyên dương $m,n$ (không nhất thiết phân biệt) cùng màu, $f(m+n)=f(m)+f(n)$.$\bullet$ Tồn tại các số nguyên dương $m,n$ (không nhất thiết phân biệt) sao cho $f(m+n)\ne f(m)+f(n)$. $3$. Có $2017$ đường thẳng trên mặt phẳng sao cho không có ba đường nào đồng quy. Cô ốc sên $\text{Turbo}$ nằm trên một điểm thuộc đúng một đường trong số này và bắt đầu trượt đi dọc theo các đường theo nguyên tắc sau: cô ta di chuyển trên đường thẳng cho đến khi gặp một giao điểm của hai đường thẳng. Tại đây, cô ta sẽ tiếp tục hành trình trên trên đường thẳng thứ hai, theo một trong hai hướng trái hoặc phải, và thay đổi cách chọn hướng trong lần k...