ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN TRƯỜNG ĐÔNG TOÁN PHỔ THÔNG KHU VỰC BẮC TRUNG BỘ NĂM 2017Ngày thi thứ nhất  Bài 1: Cho hàm $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ thỏa mãn $ | f(x+y)-f(x)-f(y)| \le 1$ $ \forall x, y \in \mathbb{R}$.Chứng minh rằng tồn tại hàm cộng tính $ g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ thỏa mãn $|f(x)-g(x)| \le 1   \forall x \in \mathbb{R}$. (Hàm số g: $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ được gọi là hàm cộng tính nếu với mọi số thực $x, y $ ta có $ g(x+y)=g(x)+g(y)$.) Bài 2: Cho $a_1, a_2,..., a_n$ là các số thực và $ 1\ge b_1 \ge b_2 \ge ... \ge b_n \ge 0$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $ k \le n $ sao cho $ |a_1b_1+a_2b_2+...a_nb_n| \le |a_1+a_2+...+a_k| $  Bài 3: Cho tam giác $ ABC $ có $ \widehat{BAC}$ tù. Lấy điểm $D$ trên tia phân giác của $ \widehat{BAC}$ sao cho $\widehat{BDC}=90^0.$ Đường thẳng qua $ A $ vuông góc với $ AD $ cắt $ BD, CD $ lần lượt tại $E, F$. Đường thẳng $AB$ cắt $ (ADF) $ tại $ I \ne A $. Đường thẳng $ AC $ cắt $ (ADE)$ tại $ J \ne A $. Đường thẳng $IC$ cắt đường tròn $(ADF)$ tại điểm thứ hai $H$, đường thẳng $JB$ cắt $ (ADE) $ tại điểm thứ hai $ K $.a) Chứng minh rằng $ H, D, K $ thẳng hàng.  b) Chứng minh rằng $ BK.CI=BJ.CH $. Bài 4: Cho $m, n \in \mathbb{Z}^+$ và một bảng có kích thước $m \times n$ gồm $m \times n$ ô vuông đơn vị. Mỗi ô vuông có không quá một con bọ. Biết rằng với mỗi số nguyên dương $k$ thuộc tập hợp $\left\{1,2,...,78 \right\}$ thì tồn tại một hàng hoặc một cột trong bảng có...

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 4 tháng 11/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và thầy Nguyễn Tiến Dũng. Xin được trích dẫn lại bài toán: Bài 1. (Trần Quang Hùng) Cho tam giác $ABC$ và $P$ bất kỳ. $D$ đối xứng $P$ qua $BC$. $O_a$ là tâm ngoại tiếp tam giác $PBC$. $K_a$ là tâm ngoại tiếp tam giác $O_aBC$. $DO_a$ cắt $PK_a$ tại $X$. $L_a$ thuộc $PA$ sao cho $XL_a \perp XK_a$. Tương tự có $L_b,L_c$. Chứng minh rằng $L_a,L_b$ và $L_c$ thẳng hàng.   Bài 2. (Trần Quang Hùng, Nguyễn Tiến Dũng) Cho tam giác $ABC$ có $B,C$ cố định và $A$ thay đổi. Dựng ra ngoài các tam giác vuông tại $A$ là $AEC$ và $ÀB$ đồng dạng và có góc không đổi. $M,N$ là trung điểm $CE,BF$. $P,Q$ đối xứng với $M,N$ qua $CA,AB$. $FP$ cắt $EQ$ tại $R$. Chứng minh rằng đường thẳng $AR$ đi qua điểm cố định khi $A$ thay đổi. 

Ngày thứ nhấtBài 1. Cho số nguyên dương $n$. Gọi $A_n$ là tập các số nguyên tố $p$ sao cho tồn tại các số nguyên dương $a;b$ thỏa mãn $\frac{a+b}{p}$ và $\frac{a^n+b^n}{p}$ là các số nguyên nguyên tố cùng nhau với $p$. Nếu $A_n$ hữu hạn, gọi $f(n)$ là số phần tử của nó. a) Chứng minh $A_n$ hữu hạn khi và chỉ khi $n\ne 2$. b) Cho $m;k$ là các số nguyên dương lẻ và $d=(m,k)$. Chứng minh $f(d)\le f(k)+f(m)-f(mk)\le 2f(d)$ Bài 2. Cho $n;k$ là các số nguyên dương và tập $T=\left\{(x;y;z)\in \mathbb{N}^3|1\le x,y,z\le n\right\}$ Biết $3n^2-3n+1+k$ điểm của $T$ được tô đỏ sao cho nếu $P,Q$ là các điểm đỏ và $PQ$ song song với một trong các trục thì tất cả các điểm thuộc $PQ$ đều được tô đỏ. Chứng minh tồn tại ít nhất $k$ hình lập phương đơn vị mà tất cả các đỉnh của chúng đều mang màu đỏ Bài 3. Cho $q$ là số nguyên dương không phải là lập phương của một số nguyên. Chứng minh tồn tại hằng số dương $C$ sao cho với mỗi số nguyên dương $n$, ta có $\left\{nq^{\frac{1}{3}}\right\}+\left\{nq^{\frac{2}{3}}\right\}\ge Cn^{-\frac{1}{2}}$ Ngày thứ haiBài 4. Cho $ABCD$ là một tứ giác nội tiếp với $P$ là giao điểm của hai đường chéo. $(ADP)$ cắt đoạn $AB$ tại $A$ và $E$. $(PBC)$ cắt đoạn $AB$ tại $B$ và $F$. Gọi $I,J$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác $ADE$ và $BCF$. Các đoạn $IJ$ và $AC$ cắt nhau tại $K$. Chứng...

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 3 tháng 11/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và thầy Phạm Thị Hồng Nhung. Xin được trích dẫn lại hai bài toán: Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ cố định với $B, C$ cố định và $A$ di chuyển trên $(O)$. $E,F$ lần lượt đối xứng $B,C$ qua $CA,AB$. $M$ là trung điểm $EF$. Chứng minh rằng đường thẳng $AM$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ di chuyển.   Bài 2. Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. $O$ là tâm ngoại tiếp của tam giác $ABC$. $K$ là trực tâm tam giác $DEF$. $Q,L$ lần lượt đối xứng với $D,I$ qua $EF$. $DI$ cắt $KL$ tại $P$. $QL$ cắt $OI$ tại $R$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $PQR$ đi qua $I$.

BÀI KIỂM TRA SỐ 2 TRƯỜNG ĐÔNG TOÁN HỌC MIỀN NAM                                                                                         Ngày thi thứ nhất: 17 - 11 - 2017                                                                                         Thời gian làm bài: 180 phútĐỀ BÀI:Bài 5: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện: $f(x^{2})+f(xy)=f(x)f(y)+yf(x)+xf(x+y), \forall x, y\in \mathbb{R}.$Bài 6: Cho hai đường tròn $(O_{1})$ và $(O_{2})$ tiếp xúc ngoài tại $M.$ Một đường thẳng cắt $(O_{1})$ tại $A,$ $B$ và tiếp xúc với $(O_{2})$ tại $E$ ($B$ nằm giữa $A$ và $E).$ Đường thẳng $EM$ cắt $(O_{1})$ tại điểm $J$ khác $M.$ $C$ là một điểm thuộc cung $MJ$ không chứa $A,$ $B$ của $(O_{1})$ ($C$ khác $M$ và $J).$ Kẻ tiếp tuyến $CF$ với đường tròn $(O_{2})$ ($F$ là tiếp điểm) sao cho các đoạn thẳng $CF$ và $MJ$ không cắt nhau. Gọi $I$ là giao điểm của các đường thẳng...

BÀI KIỂM TRA SỐ 1 TRƯỜNG ĐÔNG TOÁN HỌC MIỀN NAM                                                                                         Ngày thi thứ nhất: 15 - 11 - 2017                                                                                         Thời gian làm bài: 180 phútĐỀ BÀI:Câu 1: Với mỗi số nguyên dương $n,$ gọi $M(n)$ là số nguyên dương $m$ lớn nhất sao cho $\binom{m}{n-1}> \binom{m-1}{n}.$ Hãy tính giới hạn: $\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{M(n)}{n}.$Câu 2: Cho số nguyên dương $n\geq 2.$ Cho $P(x)$ là đa thức bậc $n$ có hệ số cao nhất bằng $1$ và có $n$ nghiệm thực $x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}$ phân biệt và khác $0.$ Chứng minh rằng:1. $\frac{1}{P^{'}(x_{1})}+\frac{1}{P^{'}(x_{2})}+...+\frac{1}{P^{'}(x_{n})}=0.$2. $\frac{1}{x_{1}P^{'}(x_{1})}+\frac{1}{x_{2}P^{'}(x_{2})}+...+\frac{1}{x_{n}P^{'}(x_{n})}=\frac{(-1)^{n+1}}{x_{1}x_{2}...x_{n}}.$Câu 3: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O).$ Tiếp tuyến tại $B, C$ của đườ...

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 2 tháng 11/2017 đã được đưa lên tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và thầy Nguyễn Minh Hà. Xin được trích dẫn lại hai bài toán: Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ với trung tuyến $AM$. Lấy $P$ thuộc trung trực $AB$ sao cho $AP \perp AC$. Lấy $Q$ sao cho $QP \perp AO$ và $QO \perp AM$. Trung trực $CA$ cắt $AB$ tại $E$. $QE$ cắt $AC$ tại $F$. Chứng minh rằng tâm ngoại tiếp tam giác $AEF$ nằm trên $AM$.   Bài 2. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Điểm $S$ thuộc đoạn $CD$ sao cho $\angle DSA= \angle CSB$. $M,N$ theo thứ tự là giao điểm thứ hai của $AS, BS$ và $(O)$. $P,Q$ theo thứ tự là điểm đối xứng xủa $M,N$ qua $CD$. $T$ là giao điểm của $AP$ và $BQ$. $U,V$ theo thứ tự là giao điểm của $CT, DT$ và $AB$. Chứng minh rằng $AU=BV$. 

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 1 tháng 1/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và thầy Nguyễn Minh Hà. Xin được trích dẫn lại hai bài toán: Bài 1. Cho tam giác $ABC$ có $P$ và $Q$ là hai điểm đẳng giác trong tam giác. $K$ là trung điểm $PQ$. Các điểm $D,E,F$ lần lượt thuộc $BC,CA,AB$ sao cho $KD \parallel QA, KE \parallel QB, KF \parallel QC$. Gọi $N_a,N_b,N_c$ lần lượt là tâm đường tròn Euler của tam giác $PBC,PCA,PAB$. Chứng minh rằng $KN_a,KN_b,KN_c$ lần lượt cắt $EF,FD,DE$ theo ba điểm thẳng hàng.   Bài 2. Cho tam giác $ABC$, $(O),(I)$ theo thứ tự là đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp. $E,F$ theo thứ tự là tiếp điểm của $(I)$ và $AC,AB$. $M,N$ là các giao điểm của $EF$ và $(O)$. $P,Q$ theo thứ tự là giao điểm thứ hai của $BI,CI$ và $(O)$. $S$ là giao điểm của các tiếp tuyến với $(O)$ tại $P$ và $Q$. Chứng minh rằng $S$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $IMN$.

Đề thi chọn đội tuyển Học sinh giỏi môn Toán tỉnh Thanh Hóa năm 2017 - 2018Bài 1. Cho dãy số: $a_{0}, a_{1}, a_{2}, ...$ thỏa mãn: $a_{m+n}+a_{m-n}=\frac{1}{2}\left ( a_{2m}+a_{2n} \right ),$ với mọi số nguyên không âm $m, n$ và $m\geq n.$ Nếu $a_{1}=1,$ hãy xác định: $a_{2017}.$ Bài 2. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(n^{2})=f(n+m).f(n-m)+m^{2}, \forall m, n\in \mathbb{R}.$Bài 3. Tam giác $ABC$ nhọn có $H$ là trực tâm và $P$ là điểm di động bên trong tam giác sao cho $\widehat{BPC}=\widehat{BHC}.$ Đường thẳng qua $B$ và vuông góc với $AB$ cắt $PC$ tại $M,$ đường thẳng qua $C$ và vuông góc với $AC$ cắt $PB$ tại $N.$ Chứng minh rằng: trung điểm $I$ của $MN$ luôn thuộc một đường thẳng cố định.Bài 4. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ có các hệ số nguyên thỏa mãn $P(2017)=1,$  $3^{n}-1$ chia hết cho $P(n)$ với mọi số nguyên dương $n.$Bài 5. Chứng minh rằng: $\sum_{k=0}^{n}2^{k}C_{n}^{k}C_{n-k}^{\left [ \frac{n-k}{2} \right ]}=C_{2n+1}^{n}.$*Đề thi có tham khảo ở link sau: http://olympictoanho...-2017-2018.html 

Như vậy lời giải cho hai bài toán Tuần 4 tháng 10/2017 đã được đưa ra tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và thầy Nguyễn Tiến Dũng. Xin được trích dẫn lại hai bài toán: Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ với trực tâm $H$. $AH$ cắt $(O)$ tại $P$ khác $A$. $PB,PC$ lần lượt cắt $OC,OB$ tại $Q,R$. $K$ đối xứng với trực tâm tam giác $PQR$ qua $BC$. $LA$ cắt $HB.HC$ tại $S,T$. Chứng minh rằng $CS$ và $BT$ cắt nhau trên đường tròn $(BHC)$. Bài 2. Cho tam giác $ABC$ có phân giác $AD$, tâm nội tiếp $I$ và trực tâm $H$. $P,Q$ là các điểm nằm trong tam giác sao cho $PA=PI, \angle PBA= \angle PCB = \angle QBC$ và $DQ \parallel CP$. $(K)$ là đường tròn có tâm thuộc $AD$ và tiếp xúc với đường tròn $(BDQ)$ tại $Q$. Chứng minh rằng đường tròn $(K)$ tiếp xúc với đường tròn $(BHC)$.