Chủ đề này có 2 trả lời

[The Collection]

Tìm hàm số $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ thỏa mãn: \[f(n,k)=f(n-1,k)+f(n,k-1); \forall n,k \in \mathbb{N}, n,k>1 \] \[f(1,k)=1, \forall k \in \mathbb{N}, k>0\]

 

[ntuan5]

Biểu diễn hàm bằng các số $a_{nk}$ trên mặt phẳng tọa độ sao cho: $a_{nk}(n;k)$ dễ thấy điều kiện 1 là tổng 2 số trên đường chéo của ô vuông đơn vị thì bằng số gán ở đỉnh hình vuông, đường chéo này là đường hợp với trục hoành góc $135$, khi $n$ và $k$ tăng thì lập thành các đường chéo song song nhau, và song song với đường chéo của ô vuông đơn vị đầu tiên.  Nên hàm đã cho là duy nhất vì một điểm trên đường thẳng mới bằng tổng 2 số trên đường chéo liền trước nó.

 

Từ điều kiện 2 suy ra : $f(0;k)=0$, nên suy ra $a_{0k}=0;a_{1k}=1$.

Dễ quy nạp rằng hàm thỏa là: $_{n+k-1}^{n-1}\textrm{C}$.

[Idie9xx]

Tìm hàm số $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ thỏa mãn: \[f(n,k)=f(n-1,k)+f(n,k-1); \forall n,k \in \mathbb{N}, n,k>1 \] \[f(1,k)=1, \forall k \in \mathbb{N}, k>0\]

Bài này $f(0;k)$ với $f(k;0)$ hình như không có mối liên hệ với các $f(n;k)$ khác

Nên cho thế này

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa:

$$f(n;k)=f(n-1;k)+f(n;k-1),\forall n,k\in \mathbb{N^*}$$

Đáp án:

Spoiler

Với $\forall m\in \mathbb{N}$ cho $f(0;m)$ và $f(m;0)$ có giá trị bất kì thì $\forall n,k\in \mathbb{N^*}$ có:

$$f(n;k)=\sum_{i=1}^{k} [C_{n+k-i-1}^{n-1} f(0;i)]+\sum_{j=1}^{n} [C_{n+k-j-1}^{k-1} f(j;0)]$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 28-06-2013 - 13:56