Đến nội dung

Hình ảnh

$\left\{\begin{matrix} x^{3}-y^{3}+3y^{2}-3x=2 & & \\ x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}-3\sqrt{2y-y^{2}} = -2& & \end{matrix}\right.$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
hand of god

hand of god

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 64 Bài viết

Giải hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix} x^{3}-y^{3}+3y^{2}-3x=2 & & \\ x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}-3\sqrt{2y-y^{2}} = -2& & \end{matrix}\right.$



#2
trauvang97

trauvang97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết

Giải hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix} x^{3}-y^{3}+3y^{2}-3x=2 & & \\ x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}-3\sqrt{2y-y^{2}} = -2& & \end{matrix}\right.$

 

ĐK: $-1\leq x\leq 1$ và $0\leq y\leq 2$

 

Phương trình thứ nhất của hệ đã cho tương đương với:

 

$x^{3}-3x=y^{3}-3y^{2}+2 \Leftrightarrow x^{3}-3x=(y^{3}-3y^{2}+3y-1)-3y+3$

 

$\Leftrightarrow x^{3}-3x=(y-1)^{3}-3(y-1)$

 

Đến đây dễ dàng nhận ra phương trình trên có nghiệm $x=y-1$

 

Thay $x=y-1$ vào ta có: $\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-(y-1)^{2}}=\sqrt{2y-y^{2}}$ 

 

Khi đó phương trình thứ hai của hệ tương đương với:

 

$(y-1)^{2}-2\sqrt{2y-y^{2}}+2=0\Leftrightarrow y^{2}-2y-2\sqrt{2y-y^{2}}+3=0$

 

$\Leftrightarrow (\sqrt{2y-y^{2}}-1)(\sqrt{2y-y^{2}}+3)=0$

 

nên $\sqrt{2y-y^{2}}=1\Leftrightarrow (y-1)^{2}=0\Leftrightarrow y=1$  (do $\sqrt{2y-y^{2}}+3>0$)

 

Khi $y=1$ thì $x=0$ (thoả mãn)

 

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x,y)=(0,1)$



#3
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Giải hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix} x^{3}-y^{3}+3y^{2}-3x=2 & & \\ x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}-3\sqrt{2y-y^{2}} = -2& & \end{matrix}\right.$

Xét phương trình thứ 2 ta có 

   $x^2+\sqrt{1-x^2}=3\sqrt{2y-y^2}-2$  (*)

Xét $VT(*)$ ta có $(x^2+\sqrt{1-x^2})^2=x^4+1-x^2+2x^2\sqrt{1-x^2}=1+x^2\sqrt{1-x^2}.(2-\sqrt{1-x^2})\geqslant 1$

   $\Rightarrow VT(*)\geqslant 1$

Xét $VP(*)$ ta có $2y-y^2\leqslant 1\Rightarrow 3\sqrt{2y-y^2}-2\leqslant 1$

Vậy $VT(*)\geqslant 1\geqslant VP(*)$

Nghiệm của phương trình chính là dấu $=$ của bất đẳng thức

Đẳng thức xảy ra khi $(x^2,y)=(0;1)=(1;1)\Leftrightarrow (x;y)=(0;1)=(1;1)=(-1;1)$

Sau đó thay lần lượt các nghiệm vào phương trình đầu cho ta nghiệm của hệ là $(x;y)=(0;1)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 26-06-2013 - 16:38

Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#4
cobetinhnghic96

cobetinhnghic96

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 149 Bài viết

Cách 2 xét hàm số$f\left ( t \right )=t^{3}-3t$ với  $t\epsilon \left [ -1,1 \right ]$ thí hàm số luôn nghịch biến nên pt có nghiệm duy nhất x=y-1


                            

                    





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh