Giải hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix} x^{3}-y^{3}+3y^{2}-3x=2 & & \\ x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}-3\sqrt{2y-y^{2}} = -2& & \end{matrix}\right.$
Giải hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix} x^{3}-y^{3}+3y^{2}-3x=2 & & \\ x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}-3\sqrt{2y-y^{2}} = -2& & \end{matrix}\right.$
Giải hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix} x^{3}-y^{3}+3y^{2}-3x=2 & & \\ x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}-3\sqrt{2y-y^{2}} = -2& & \end{matrix}\right.$
ĐK: $-1\leq x\leq 1$ và $0\leq y\leq 2$
Phương trình thứ nhất của hệ đã cho tương đương với:
$x^{3}-3x=y^{3}-3y^{2}+2 \Leftrightarrow x^{3}-3x=(y^{3}-3y^{2}+3y-1)-3y+3$
$\Leftrightarrow x^{3}-3x=(y-1)^{3}-3(y-1)$
Đến đây dễ dàng nhận ra phương trình trên có nghiệm $x=y-1$
Thay $x=y-1$ vào ta có: $\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-(y-1)^{2}}=\sqrt{2y-y^{2}}$
Khi đó phương trình thứ hai của hệ tương đương với:
$(y-1)^{2}-2\sqrt{2y-y^{2}}+2=0\Leftrightarrow y^{2}-2y-2\sqrt{2y-y^{2}}+3=0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{2y-y^{2}}-1)(\sqrt{2y-y^{2}}+3)=0$
nên $\sqrt{2y-y^{2}}=1\Leftrightarrow (y-1)^{2}=0\Leftrightarrow y=1$ (do $\sqrt{2y-y^{2}}+3>0$)
Khi $y=1$ thì $x=0$ (thoả mãn)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x,y)=(0,1)$
Giải hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix} x^{3}-y^{3}+3y^{2}-3x=2 & & \\ x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}-3\sqrt{2y-y^{2}} = -2& & \end{matrix}\right.$
Xét phương trình thứ 2 ta có
$x^2+\sqrt{1-x^2}=3\sqrt{2y-y^2}-2$ (*)
Xét $VT(*)$ ta có $(x^2+\sqrt{1-x^2})^2=x^4+1-x^2+2x^2\sqrt{1-x^2}=1+x^2\sqrt{1-x^2}.(2-\sqrt{1-x^2})\geqslant 1$
$\Rightarrow VT(*)\geqslant 1$
Xét $VP(*)$ ta có $2y-y^2\leqslant 1\Rightarrow 3\sqrt{2y-y^2}-2\leqslant 1$
Vậy $VT(*)\geqslant 1\geqslant VP(*)$
Nghiệm của phương trình chính là dấu $=$ của bất đẳng thức
Đẳng thức xảy ra khi $(x^2,y)=(0;1)=(1;1)\Leftrightarrow (x;y)=(0;1)=(1;1)=(-1;1)$
Sau đó thay lần lượt các nghiệm vào phương trình đầu cho ta nghiệm của hệ là $(x;y)=(0;1)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 26-06-2013 - 16:38
Cách 2 xét hàm số$f\left ( t \right )=t^{3}-3t$ với $t\epsilon \left [ -1,1 \right ]$ thí hàm số luôn nghịch biến nên pt có nghiệm duy nhất x=y-1
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh