Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Khai Thác Hệ Quả Của Một Định Lý Như Thế Nào ?


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 26-06-2013 - 16:24

                       580951_262240127213543_2124880669_n.jpg

 

                                      

 

 

 

                        KHAI THÁC HỆ QUẢ 

           

          của một định lý như thế nào ?

 

 

 

Hệ quả là những kết quả được suy ra trực tiếp từ một định lý nào đó, bản thân nó cũng có nhiều ứng dụng phong phú như các định lý. Với bài viết này mình xin trình bày một số ứng dụng của định lý Pytago và Talet.

 

I. Dựa vào định lý Pytago: Tổng bình phương hai cạnh góc vuông thì bằng bình phương của cạnh huyền.

( $a^2+b^2=c^2$ )

 

Kết quả 1: Trong tam giác $ABC$, trung tuyến $BM$, ta có $\boxed{BM^2=\dfrac{AB^2+BC^2}{2}-\dfrac{AC^2}{4}}$.

Ta chứng minh như sau: 

 

 

1393217_230957367066012_1679473824_n.jpg

 

                                                                     

 

Kẻ $BK$ vuông góc $AC$, $K$ thuộc $MC$

Ta có :

$$BK^2=BC^2-KC^2=AB^2-AK^2$$

$$\Rightarrow 2BM^2=2BK^2+2MK^2$$

$$=BC^2-KC^2+AB^2-AK^2+2MK^2$$

$$=BC^2+AB^2+(MK-KC)(MK+KC)-(AK-MK)(AK+MK)$$

$$=BC^2+AB^2+ \frac{AC}{2}(MK-KC)- \frac{AC}{2}(AK+MK)$$

$$\Rightarrow 2BM^2=BC^2+AB^2-\frac{AC^2}{2}$$

$$\Rightarrow BM^2=\dfrac{AB^2+BC^2}{2}-\dfrac{AC}{4}$$  

 

 

Bài tập vận dụng: 

 

$\boxed{1}$. Cho tam giác $ABC$ có hai trung tuyến $BM$ vuông góc $CN$. Chứng minh rằng: 

$$5BC^2=AB^2+AC^2$$

 

 

II.Dựa vào tính chất "Trong một tam giác vuông cạnh đối diện với góc 30 độ thì bằng nửa cạnh huyền" và định lý Pytago

 

Kết quả 2:

 

Cho tam giác $ABC$ có $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$. Khi đó:

 

a)Nếu $\widehat{A}=30^{\circ}$ thì $\boxed{a^2=b^2+c^2-bc\sqrt{3}}$

 

 

b)Nếu $\widehat{A}=60^{\circ}$ thì $\boxed{a^2=b^2+c^2-bc}$

 

 

 

Một số mở rộng:

 

 

 

Mở rộng 1.     Tam giác $ABC$ có $\widehat{A}=20^{\circ}$, $BC=a$, $AB=AC=b$. thì ta có: $$\boxed{a^3+b^3=3ab^2}$$

 

Chứng minh: Gợi ý chứng minh: Trên cạnh $AC$ lấy điểm $M$ sao cho $\widehat{CBM}=20^{\circ}$

 

1456049_230957413732674_2141369618_n.jpg

Khi đó $\widehat{ABM}=60^{\circ}$ và tam giác $BMC$ cân tại $B$.

Suy ra $BM=BC=a$.

Vì tam giác $BMC$ đồng dạng với tam giác $ABC$ nên : $\frac{MC}{BC}=\frac{BM}{AB}$

Do đó: $MC=\frac{BM.BC}{AB}=\frac{a^2}{b}$ $\Rightarrow AM=b-\frac{a^2}{b}$

Xét tam giác $ABM$ có $\widehat{ABM}=60^{\circ}$ nên theo kết quả 2 ta có 

$(b-\frac{a^2}{b})^2=b^2+a^2-ab$

Từ đó $a^3+b^3=3ab^2$

 

Mở rộng 2.    Tam giác $ABC$ có $\widehat{A}=40^{\circ}$, $BC=a$, $AB=AC=b$. thì ta có: $$\boxed{a^3+b^3\sqrt{3}=3ab^2}$$ (Bạn đọc tự chứng minh)

 

Bài tập vận dụng 

 

$\boxed{2}$.Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A}=80^{\circ}$, $BC=a$, $AB=AC=b$.Tìm hệ thức liên hệ giữa $A$ và $B$.

 

Còn tiếp,...rất mong được các bạn ủng hộ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 01-12-2013 - 15:41

:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#2 nk0kckungtjnh

nk0kckungtjnh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 254 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Tôn Quang Phiệt - Đồng Văn- Thanh Chương- Nghệ An
  • Sở thích:Làm Toán

Đã gửi 30-06-2013 - 19:32

Bài tập vận dụng từ công thức Hê -rông, công thức tính đường trung tuyến:

Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh AB,BC,AC liên tiếp tăng dần, đường cao AH, trung tuyến AM, Chứng minh HM=2


             Hãy Đánh Bại Những Gì Yếu Đuối Để Biết Rằng


         Nỗ Lực Hơn Hẳn Tài Năng

- Nhân Chính -

 


#3 nk0kckungtjnh

nk0kckungtjnh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 254 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Tôn Quang Phiệt - Đồng Văn- Thanh Chương- Nghệ An
  • Sở thích:Làm Toán

Đã gửi 30-06-2013 - 19:40

  Một số mở rộng:

1.     Tam giác $ABC$ có $\widehat{A}=20^{\circ}$, $BC=a$, $AB=AC=b$. thì ta có: $$\boxed{a^3+b^3=3ab^2}$$

 

 

 

Mình xin nêu cách khác cho bài này:

Gọi $H$ là chân đường vuông góc từ $A$ đến $BC$

Ta có: $\frac{2b}{a}=\frac{1}{Cos B}=\frac{1}{Cos 80}$

$\Rightarrow \frac{a}{2.Cos 80}=b$ . Thay vào đề bài thì ta được $ĐPCM$


             Hãy Đánh Bại Những Gì Yếu Đuối Để Biết Rằng


         Nỗ Lực Hơn Hẳn Tài Năng

- Nhân Chính -

 


#4 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 01-07-2013 - 15:03

Một mở rộng khác :

Mọi người chứng minh xem

Cho tam giác ABC có $\widehat{BAC}=120^{\circ}$. Chứng minh rằng :

 

$$BC^2=AB^2+AC^2+AB.AC$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 01-12-2013 - 15:43

:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#5 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 02-07-2013 - 08:47



Một mở rộng khác :

Mọi người chứng minh xem

Cho tam giác ABC có $\widehat{BAC}=120^{\circ}$. Chứng minh rằng

$$BC^2=AB^2+AC^2+AB.AC$$

zynb.jpg
 
 

 

Chứng minh như sau: 

Kẻ BH vuông góc với AC $\Rightarrow \widehat{BAH}=60^{\circ}$

Ta có:  

$BC^2=HC^2+HB^2=(AC+HA)^2+AB^2-HA^2=AB^2+AC^2+2AC.AH=AB^2+AC^2+AC.AB$

Do $AH=\dfrac{1}{2}AB$ (tính chất cạnh đối diện góc 30 độ bằng $\frac{1}{2}$ cạnh huyền)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 02-07-2013 - 08:51

:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#6 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 02-07-2013 - 08:56

Từ công thức tính đường trung tuyến, là kết quả 1 mình đã đăng xin đăng lên 1 mở rộng khác:

Cho tam giác $ABC$, $D$ thuộc đường thẳng $BC$, $AD=d;  BC=m,  CD=n;  BC=a, AC=b;  AB=c$.

Chứng minh rằng nếu góc $A$ nhọn thì 

 

 

$$d^2a=b^2m+c^2n-amn$$

 

 

Mời các bạn khai thác bài toán, chắc chắn ta sẽ có nhiều kết quả hơn nữa....


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 01-12-2013 - 15:43

:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#7 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 01-12-2013 - 17:01

Chúng ta hãy tiếp tục với chuyên đề nào...

 

 

   Đến với đường tròn mọi người sẽ bắt gặp một kết quả sau :

 

$\bullet$ Kết quả : Cho tam giác $ABC$ đều nội tiếp đường tròn $(O,r)$. Một điểm $M$ di động trên cung nhỏ $BC$. Lúc này thì $\boxed{MB+MC=MA}$

 

                  Một cách tổng quát hơn là : Cho tam giác đều $ABC$ nội tiếp đưòng tròn $(O,r)$. Một điểm $M$ di động trên đường tròn. Lúc này trong 3 độ dài các đoạn thẳng nối từ $M$ đến 3 đỉnh tam giác thì độ dài lớn nhất bằng tổng 2 độ dài còn lại

 

$\triangleright$Chứng minh:

1470399_230961180398964_1461827418_n.jpg

 

 

 

 

       $\triangleright$ Trên $AM$ lấy điểm $I$ sao cho $BM=MI$

 

             Xét 2 tam giác $BMC$ và tam giác $BIA$ có 

 

             $\angle BAI=\angle MCB$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $BM$)

 

             $\angle AIB=\angle BMC$ (góc nội tiếp chắn cung $AB$ bằng cung $BC$)

 

             $AB=BC$ (tam giác $ABC$ đều)

 

         $\Rightarrow \Delta BMC=\Delta BIA(g.c.g)$

 

             $\Rightarrow IA=MC$ 

 

         $\Rightarrow BM+MC=MI+IA=AM (Q.E.D)$

 

 

 

    Mở rộng $1$:  Cho tam giác $ABC$ đều nội tiếp đường tròn $(O,r)$. $M$ chuyển động trên cung nhỏ $BC$. Xác định vị trí điểm $M$ để $MA+MB+MC$ đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất 

 

 

 

             Lời giải:

 

1425718_230963487065400_2020119978_n.jpg

 

         $\triangleright$ Ta sử dụng kết quả trên ta có :

 

$$MA=MB+MC$$

 

$$\Rightarrow MA+MB+MC=2MA$$

 

$\triangleright$ Do đó $MA+MB+MC$ đạt giá trị lớn nhất khi $MA$ max $\Leftrightarrow M$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$

 

$MA+MB+MC$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $\begin{bmatrix} M\equiv A & & \\ M\equiv B & & \end{bmatrix}$

 

 

   Mở rộng 2:    Cho tam giác $ABC$  cân tại $A$ nội tiếp đường tròn $(O,r)$. $M$ chuyển động trên cung nhỏ $BC$. Tìm vị trí điểm để $MA+MB+MC$ đạt giá trị lớn nhất.

 

                Lời giải :

1454644_230966107065138_201972711_n.jpg

 

        $\bigstar$ Cách 1: Ta vận dụng mở rộng 1 : 

 

         $\triangleright$ $MA$ đạt giá trị lớn nhất khi $M$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$

 

         $\triangleright$ $MB+MC$ đạt giá trị lớn nhất khi $M$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$

 

 

Vậy khi $M$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$ thì $MA+MB+MC$ đạt giá trị lớn nhất.

 

       $\bigstar$ Cách 2: 

 

   $\triangleright$Ta sử dụng đính lý $Ptôlêmê$ cho tứ giác nội tiếp $ABMC$ . 

 

                  $AB.MC+AC.MB=BC.MA$ 

 

                 $\Leftrightarrow AB(MB+MC)=BC.MA$ (Do $AC=AB$)

 

                 $\Rightarrow MB+MC=\frac{BC}{AB}.MA$

 

                 $\Leftrightarrow MA+MB+MC=(1+\frac{BC}{MA}).MA$

 

Do $(1+\dfrac{BC}{MA})$ không đổi nên $MA+MB+MC$ đạt giá trị lớn nhất khi $MA$ đạt giá trị lớn nhất khi $M$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$

 

Bài tập : Đây cũng là một bài toán khá hay nhưng không khó ... mọi người giải và khai thác thêm nhé :

 

Cho tam giác $ABC$ có $\angle A= 2\angle B=4\angle C$ .Chứng minh rằng :

$$\boxed{\dfrac{1}{AB}=\dfrac{1}{BC}+\dfrac{1}{CA}}$$

 

 

 

 


:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#8 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4260 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 01-12-2013 - 20:10

Từ công thức tính đường trung tuyến, là kết quả 1 mình đã đăng xin đăng lên 1 mở rộng khác:

Cho tam giác $ABC$, $D$ thuộc đường thẳng $BC$, $AD=d;  BC=m,  CD=n;  BC=a, AC=b;  AB=c$.

Chứng minh rằng nếu góc $A$ nhọn thì 

 

 

$$d^2a=b^2m+c^2n-amn$$

 

 

Mời các bạn khai thác bài toán, chắc chắn ta sẽ có nhiều kết quả hơn nữa....

Đây chính là nội dung định lý Stewart.


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#9 toanc2tb

toanc2tb

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\large \mathfrak{\text{Mathematic}}$

Đã gửi 22-12-2013 - 20:41

                       580951_262240127213543_2124880669_n.jpg

 

                                      

 

 

 

                        KHAI THÁC HỆ QUẢ 

           

          của một định lý như thế nào ?

 

 

 

Hệ quả là những kết quả được suy ra trực tiếp từ một định lý nào đó, bản thân nó cũng có nhiều ứng dụng phong phú như các định lý. Với bài viết này mình xin trình bày một số ứng dụng của định lý Pytago và Talet.

 

I. Dựa vào định lý Pytago: Tổng bình phương hai cạnh góc vuông thì bằng bình phương của cạnh huyền.

( $a^2+b^2=c^2$ )

 

Kết quả 1: Trong tam giác $ABC$, trung tuyến $BM$, ta có $\boxed{BM^2=\dfrac{AB^2+BC^2}{2}-\dfrac{AC^2}{4}}$.

 

 

Thực ra định lý này có rất nhiều cách chứng minh, nhưng thực chất chính là định lý Apollonius


"Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn." (Issac Newton)

"Khi mọi thứ dường như đang quay lưng với bạn, thì hãy luôn nhớ rằng máy bay cất cánh được khi bay ngược chiều chứ không phải thuận chiều gió"   :icon6:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :oto:  :oto:  





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh