Chủ đề này có 7 trả lời

[tlt]

Cho ABC trên các cạnh BC,CA,AB lấy các điểm X,Y,Z .Chứng minh rằng P(XYZ) min{ P(AYZ),P(BZX),P(CXY) }.với P(.) là kí hiệu chu vi tam giác ()

[duantien]

Mình có thể giải được bài toán trong trường hợp ba đường AX,BY,CZ đồng quy hoặc các đường thẳng vuông góc với BC,CA,AB lần lượt tại X,Y,Z đồng quy. Nhưng trong trường hợp tổng quát thì mình chưa giải được . Có cao thủ nào giải được không.
Khi thay P bởi S ( diện tích) thì bài toán vẫn đúng) nhưng mình không biết có còn đúng không nếu thay P bởi r ( bán kính đường tròn nội tiếp), mình chỉ mới chứng minh được nó đúng trong hai trường hợp nêu ở trên

[tlt]

Thực ra bài này đã có 1 lời giải hoàn chỉnh nhưng nó cực xấu , thầy NMH nói vậy.Tôi cũng chưa biết lời giải này nó như thế nào nên tôi mới post lên để các bạn cùng trao đổi ,rất vui là đã có người quan tâm đến bài tóan này().Mong bạn sẽ tim được 1lời giải thật đẹp cho bài toán này,cố lên nhé./(

[maple_ht]

Lời giải bài này hình như là trong tạp chí AMM.Mình cũng chưa được xem qua nó nhưng hình như là chia các trường hợp .Bài này thầy NMH đã đưa ra trong một bài viết ở tạp chí TTT mong tìm ra một lời giải đẹp. Mình đã cố gắng thử sức nhưng tiếc là còn một trường hợp cuối cùng tuy nhỏ nhưng chưa giải quyết được.Hy vọng người nào đó đã giải được bài này sẽ chịu post lời giải lên dđ để mọi người cùng tham khảo

[duantien]

Mình xin giới thiệu với các bạn lời giải khi AX,BY,CZ đồng quy:
Phát biểu lại bài toán:Cho tam giác http://dientuvietnam...mimetex.cgi?ABC và một điểmhttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M,N,P. CMR:http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P_{APN},P_{CNM},P_{BMP}}. Ký hiệu http://dientuvietnam...mimetex.cgi?XYZ
Định nghĩa:MP được gọi là lệch về A nếu: http://dientuvietnam...metex.cgi?MP->A chỉ MP lệch về A
Nhận xét 1: Gọi D là trung điểm của BC. Nếu O thuộc tam giác ABD thì:http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?NP->B
CM: thật vậy gọi giao điểm của CP,BN với AD lần lượt là I,J. Do O thuộc tam giác ABD suy ra:J nằm trên đoạn AI. Gọi http://dientuvietnam...metex.cgi?P_{1} là giao của CJ với AB suy ra: http://dientuvietnam...metex.cgi?NP->B
Nhận xét 2: Luôn tồn tại hai cạnh của tam giác MNP cùng lệch về một đỉnh của tam giác ABC
CM: Gọi D,E,F lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB. Không mất tính tổng quát giả sử O thuộc tam giác ABD suy ra:http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?NP->B
i) Nếu O thuộc tam giác ABE suy ra: http://dientuvietnam...metex.cgi?PM->A do hoặc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?MN->A hoặc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?MN->B suy ra ĐPCM
ii) Nếu O thuộc tam giác BEC suy ra:http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?MN->B, suy ra ĐPCM
Vào bài: Theo nhận xét 2,ta giả sử MP,MN cùng lệch về A.
Dựng hình bình hành APM'N suy ra: M' thuộc tam giác MNP, nên chu vi của tam giác APN nhỏ hơn hoặc bằng chu vi tam giác MNP (ĐPCM)

Các bạn hãy thử chứng minh cho diện tích nhé

[duantien]

Bằng cách làm tương tự ta cũng chứng minh được bất đẳng thức trên khi các đường thẳng vuông góc với BC, CA, AB lần lượt tại X, Y, Z đồng quy.
Ngoài ra chúng ta còn chứng minh được trong hai trường hợp đặc biệt ở trên còn có :http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P(XYZ) http://dientuvietnam...metex.cgi?P(AYZ),P(BZX),P(CXY) }. Từ đó giải quyết được bài dự tuyển toán quốc tế năm 2001 sau:
Gọi http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?O là một điểm nằm trong tam giác nhọn http://dientuvietnam...imetex.cgi?ABC. Gọi http://dientuvietnam...metex.cgi?A_{1} là điểm nằm trên cạnh http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?BC mà http://dientuvietnam...etex.cgi?OA_{1} vuông góc http://dientuvietnam...mimetex.cgi?BC. Ta xác định http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác http://dientuvietnam...mimetex.cgi?ABC nếu và chỉ nếu chu vi của tam giác http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A_{1}B_{1}C_{1} không bé hơn chu vi nào của tam giác http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?CA_{1}B_{1}

[lephuong]

cao thủ nào giải được rồi thì đưa kết quả cho anh em

[duantien]

Không biết có thể đánh giá theo kiểu này hay những kiểu tương tự được không nhỉ