Chủ đề này có 1 trả lời

[sieu dao chich]

Cho các số không âm a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng

$$\frac{a}{b^3+16}+\frac{b}{c^3+16}+\frac{c}{a^3+16}\geq\frac{1}{6}$$

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieu dao chich: 27-06-2013 - 16:42

[hoangmac]

Cho các số không âm a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng

$$\frac{a}{b^3+16}+\frac{b}{c^3+16}+\frac{c}{a^3+16}\geq\frac{1}{6}$$

Ta có : $\sum \dfrac{a}{b^3+16}$=$\sum \dfrac{a}{16}-\sum \dfrac{ab^3}{16(b^3+16)}$ $\geq \dfrac{a+b+c}{16}-\dfrac{ab^2+bc^2+ca^2}{192}$

Vậy ta chỉ cần chứng minh:

$$ab^2+bc^2+ca^2 \leq 4$$

Đây là 1 bổ đề quen thuộc:

$$ab^2+bc^2+ca^2+abc\leq \dfrac{4(a+b+c)^3}{27}$$

Chứng minh: giả sử $b$ là số nằm giữa $a$ và $c$.

Suy ra: $a(a-b)(b-c)\geq 0$ $\Leftrightarrow abc+a^2b \geq ab^2+ca^2$

Ta có: $ab^2+bc^2+ca^2+abc \leq bc^2+2abc+a^2b=b(a+c)^2 \leq \dfrac{4(a+b+c)^3}{27}$

Bất đẳng thức được chứng minh.

Dấu đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(0,1,2)$ cùng các hoán vị.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangmac: 02-07-2013 - 17:46