Chủ đề này có 4 trả lời

[sieu dao chich]

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng

$$\frac{1}{a^2+abc}+\frac{1}{b^2+abc}+\frac{1}{c^2+abc}\geq\frac{3}{2}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 28-06-2013 - 19:51

[Ha Manh Huu]

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng

$$\frac{1}{a^2+abc}+\frac{1}{b^2+abc}+\frac{1}{c^2+abc}\geq\frac{9}{2}$$

đề bài sai vì nếu a=b=c=1 thì ko thỏa mãn

[bachhammer]

Hình như đề phải là 3/2 mới đúng chứ. Nếu vậy thì mình xin đóng góp một cách (hơi lằng nhằng):

Ta có: $\sum \frac{1}{a^{2}+abc}\geq \sum \frac{1}{a^{2}+a\frac{(3-a)^{2}}{4}}=\sum \frac{32}{8a(a^{2}-2a+9)}\geq \sum \frac{128}{(a+3)^{4}}=128\sum \frac{1}{(a+3)^{4}}$.

Dùng bất đẳng thức Chebyshev (hoặc Cauchy - Swazrt) ta chứng minh được bất đẳng thức quen thuộc: $\sum a^{4}\geq \frac{(\sum a)^{4}}{27}$. Áp dụng ta có: $\sum \frac{1}{a^{2}+abc}\geq 128\sum \frac{1}{(a+3)^{4}}\geq \frac{128}{27}(\sum \frac{1}{a+3})^{4}\geq \frac{128}{27}.\frac{9^{4}}{(\sum a+9)^{4}}=\frac{3}{2}$. Hơi dài nhỉ, ai có cách ngắn hơn thì cho mình xem với...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachhammer: 27-06-2013 - 19:10

[kobietlamtoan]

Dễ chứng minh $abc\leq 1$

 

Suy ra: $\sum \frac{1}{a^2+abc}\geq \sum \frac{1}{a^2+1}$

 

Ta Chứng minh $\sum \frac{1}{a^2+1}\geq \frac{3}{2}$

 

thật vậy. xét: $\frac{1}{a^2+1} - 1 + \frac{a}{2} = \frac{a(a-1)^2}{2(a^2+1)}\geq 0$

 

$\Leftrightarrow \frac{1}{a^2+1} \geq 1-\frac{a}{2}$

 

tương tự rồi cộng vô  => đpcm

[hung183461]

Mình có cách khác thế này , giải theo phương pháp tiếp tuyến , nhưng mà làm xong mới thấy nó là kết hợp cách giải của 2 bạn trên   

 

Ta có : 

 

$\sum \frac{1}{a^{2}+abc}\geq \sum \frac{1}{a^{2}+a\frac{(3-a)^{2}}{4}}=\sum\frac{4}{a^3-2a^2+9a}$

 

Từ đây ta sẽ chứng minh :

 

$\frac{4}{a^3-2a^2+9a} \geq \frac{-1}{2}a+1$

 

$\Leftrightarrow (x-1)^2(x^2 - 2x +8) \geq 0$ ( luôn đúng )

 

Xây dựng 2 bđt tương tự ta có đccm .   

 

 

$\frac{4}{a^3-2a^2+9a} \geq \frac{-1}{2}a+1$

 

Chỗ này nếu bạn nào thắc mắc thì tham khảo thêm trong phương pháp tiếp tuyến     

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hung183461: 28-06-2013 - 18:13