Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Topic về số học, các bài toán về số học.

topic số học hay tuyệt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 171 trả lời

#1 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 27-06-2013 - 19:58

Topic này được lập ra là để chiêu mộ các lời giải độc đáo cho các bài toán số học hay (nhiều cách giải càng hay). Được sự ủng hộ của Juliel, mình quyết định lập ra topic này để trao đổi với các bạn về các vấn đề xung quanh số học, vốn cũng là một đề tài khá nóng hổi trong toán học. Mình sẽ cố gắng đưa ra nhiều bài toán hay và lạ (có thể là sưu tầm từ đâu đó, nếu là của mem trên diễn đàn mình sẽ nhập tên (khuyến khích lời giải sáng tạo, khác so với lời giải đã từng có), cũng có thể là do mình nghĩ ra). Rất mong được các bạn trên diễn đàn ủng hộ.

Sau đây mình xin nói sơ lược về số học: Số học là một bộ môn ra đời sớm hơn hết thảy các bộ môn khác. Các nhà toán học luôn tìm hiểu về quy luật của các con số, từ đó rút ra được các hiện tượng. Không phải bài toán số học nào cũng dễ nhận ra lời giải. Chẳng hạn như các bài toán lớn của Fermat. Theo như tôi bít thì Fermat có rất nhiều công trình vĩ đại trong hầu hết các lĩnh vực của toán học. Tuy nhiên cảm hứng của ông lại chính là lý thuyết số (nhờ cảm hứng từ cuốn "Số học" của Diophante). Ông có rất nhiều công trình vĩ đại trong lý thuyết số. Đặc bịt là bài toán lớn của Fermat ("Định lí cuối cùng của Fermat" của Simon Singh (các bạn nên đọc thử)) mà rất nhiều người bít:

Phương trình $x^{n}+y^{n}=z^{n};n=3,4,5,...$ vốn ko thể có nghiệm nguyên (x; y; z) khác 0.

Bài toán đã thách thức bộ óc nhiều thế hệ các nhà toán học.

Nói nhiu đây thôi. Tóm lại rất mong được trao đổi cũng các bạn. Sau đây là 2 bài đầu tiên:

Bài 1: Tồn tại hay ko số n sao cho số có dạng 2012201220122012...2012 (n số 2012 viết liên tiếp nhau) chia hết cho 2011?

Bài 2: Tìm ba chữ số tận cùng của số $1993^{1994^{1995^{...^{2000}}}}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachhammer: 27-06-2013 - 20:17

:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#2 1110004

1110004

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 217 Bài viết

Đã gửi 28-06-2013 - 08:41

Bài 1: Tồn tại hay ko số n sao cho số có dạng 2012201220122012...2012 (n số 2012 viết liên tiếp nhau) chia hết cho 2011?


 

xét dãy $2012,20122012,...,\underbrace{2012...2012}_{2012}$  nên có 2 số trong dãy trên cùng số dư khi chia cho $2011$

giả sử $(\underbrace{2012...2012}_{m}-\underbrace{2012...2012}_{k})\vdots 2011$       với    $  (2012\geq  m> k>1)$

 

$\Leftrightarrow \underbrace{2012...2012}_{m-k}\underbrace{0...0}_{k}\vdots 2011\Leftrightarrow \underbrace{2012...2012}_{m-k}.10^k\vdots 2011$

 

mà $(10^k,2011)=1$ suy ra $\underbrace{2012...2012}_{m-k}\vdots 2011$!!!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 1110004: 28-06-2013 - 08:43

Dẫu biết cố quên là sẽ nhỡ------------------------------------------------nên dặn lòng cố nhớ để mà quên

                                      

Jaian xin hát bài mưa ơi xin đừng rơi ạ!!  66.gifMưa ơi đừng rơi nữa ..........                                                                                                                                                                                                                                                               .........Mẹ vẫn chưa về đâu!..............


#3 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 28-06-2013 - 11:35

Bài 1: Tồn tại hay ko số n sao cho số có dạng 2012201220122012...2012 (n số 2012 viết liên tiếp nhau) chia hết cho 2011?


 

xét dãy $2012,20122012,...,\underbrace{2012...2012}_{2012}$  nên có 2 số trong dãy trên cùng số dư khi chia cho $2011$

giả sử $(\underbrace{2012...2012}_{m}-\underbrace{2012...2012}_{k})\vdots 2011$       với    $  (2012\geq  m> k>1)$

 

$\Leftrightarrow \underbrace{2012...2012}_{m-k}\underbrace{0...0}_{k}\vdots 2011\Leftrightarrow \underbrace{2012...2012}_{m-k}.10^k\vdots 2011$

 

mà $(10^k,2011)=1$ suy ra $\underbrace{2012...2012}_{m-k}\vdots 2011$!!!

Bài này là một bài vô cùng quen thuộc, thường sử dụng là nguyên tắc Đirichlet"Nhốt n+1 (n số tự nhiên lớn hơn 1) con thỏ vào trong n cái chuồng thì rõ ràng tồn tại ít nhất một cái chuồng chứa một con thỏ :icon6: ". Điểm đăc bịêt của bài này chính là kết hợp thêm dữ kiện 2011 là số nguyên tố (thử sẽ thấy ngay). Đây là một bài toán cũng khá thú vị. Còn bài 2 thì nhường cho các bạn giải (mình sẽ đăng lời giải bài này sau).

Bài 3: Tồn tại hay ko số x nguyên thỏa mãn $x^{2401}+x^{2}+1\vdots 2013$?

Lưu ý với các bạn là các bạn có thể ra đề cho mọi người cùng thảo luận tại đây.  


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachhammer: 28-06-2013 - 11:37

:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#4 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 28-06-2013 - 15:58

Bài 3: Tồn tại hay ko số x nguyên thỏa mãn $x^{2401}+x^2+1\vdots 2013$

Vì $x^{2401}+x^2+1\vdots 2013$ nên $x^{2401}+x^2+1\vdots 11$

Ta có:

\[{x^{2401}} + {x^2} + 1 = x\left( {{x^{2400}} - 1} \right) + {x^2} + x + 1\]

Vì \[x\left( {{x^{2400}} - 1} \right) = x\left[ {{{\left( {{x^{10}}} \right)}^{24}} - {1^{24}}} \right] \vdots x\left( {{x^{10}} - 1} \right)\] và theo định lý Fermat nhỏ \[x\left( {{x^{10}} - 1} \right) \vdots 11\] nên \[x\left( {{x^{2400}} - 1} \right) \vdots 11\]

\[ \Rightarrow {x^2} + x + 1 \vdots 11\]

Chạy x trên hệ thặng dư đầy đủ modulo 11 ta có \[{x^2} + x + 1\] không chia hết cho 11

Vậy không tồn tại x thoả mãn đk.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenhathoang1998: 28-06-2013 - 16:00


#5 nhatquangsin

nhatquangsin

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Bình Định
  • Sở thích:mathematics

Đã gửi 28-06-2013 - 17:03

Bài 4 Giải phương trình trên tập số nguyên

$x^{2}+2xy+5y^{2}=5$



#6 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 28-06-2013 - 17:19

Giải bài 4:\[{x^2} + 2xy + 5{y^2} = 5\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} + {(2y)^2} = {( \pm 1)^2} + {( \pm 2)^2}\]

Giải ra ta được $(x,y)=(0,1);(0,-1);(2,-1);(-2;1)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenhathoang1998: 28-06-2013 - 17:21


#7 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 28-06-2013 - 17:28

Cám ơn anh bachhammer nhé ! Em yếu số học nên đang cần chỗ rèn luyện. Em sẽ đóng góp tích cực cho topic này của anh !  :icon6:

Bài 5 : Tìm tất cả các số tự nhiên n để :

a)  $9+2^{n}$ là một số chính phương

b) $3^{n}+19$ là một số chính phương

Bài 6 : Cho các số nguyên $a,b,c,d$ thỏa mãn $\frac{a^{3}+b^{3}}{c^{3}+d^{3}}=\frac{1}{5}$

Chứng minh rằng $a + b + c + d$ là hợp số

Bài 7 : Cho các số nguyên $a,b,c,d$ thỏa mãn $\frac{a^{5}+b^{5}}{c^{5}+d^{5}}=4$.

Chứng minh rằng $a + b + c + d$ là hợp số

(Thi HSG toán 9 tỉnh Quảng Bình 2010-2011)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 28-06-2013 - 17:43

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#8 nhatquangsin

nhatquangsin

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Bình Định
  • Sở thích:mathematics

Đã gửi 28-06-2013 - 17:35



Bài 4 Giải phương trình trên tập số nguyên

$x^{2}+2xy+5y^{2}=5$

 

Đây là một bài toán đơn giản nhưng nếu có một phương pháp thì với các bài toán phức tạp hơn chúng ta vẫn có thể giải dễ dàng

Như vậy ta sẽ xét dạng tổn quát như sau:

$m=ax^{2}+2bxy+cy^{2}$

$a,b,c$ là các tham số nguyên

(hệ số $xy$ là chẵn chỉ để thuận tiện cho việc tính toán)

Giả sử $(x_{0},y_{0})$ là nghiệm của phương trình

Cho $(x_{0},y_{0})=1$. Từ đó dễ chứng minh sẽ tồn tại các số nguyên $p,q$ sao cho:

$px_{0}+qy_{0}=1$

Tính được $m(aq^{2}-2bqp+cp^{2})=\left [ p(x_{0}b+y_{0}c)-q(x_{0}a+y_{0}b) \right ]^{2}-(b^{2}-ac)$

Đặt $\left\{\begin{matrix} \upsilon =aq^{2}-2bqp+cp^{2}\\ \nu =p(x_{0}b+y_{0}c)-q(x_{0}a+y_{0}b) \end{matrix}\right.$

Khi đó $m\upsilon =\nu ^{2}-(b^{2}-ac)$

Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $b^{2}-ac$ là số chính phương $mod$ $m$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhatquangsin: 28-06-2013 - 17:36


#9 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 28-06-2013 - 19:19

Bài 3: Tồn tại hay ko số x nguyên thỏa mãn $x^{2401}+x^2+1\vdots 2013$

Vì $x^{2401}+x^2+1\vdots 2013$ nên $x^{2401}+x^2+1\vdots 11$

Ta có:

\[{x^{2401}} + {x^2} + 1 = x\left( {{x^{2400}} - 1} \right) + {x^2} + x + 1\]

Vì \[x\left( {{x^{2400}} - 1} \right) = x\left[ {{{\left( {{x^{10}}} \right)}^{24}} - {1^{24}}} \right] \vdots x\left( {{x^{10}} - 1} \right)\] và theo định lý Fermat nhỏ \[x\left( {{x^{10}} - 1} \right) \vdots 11\] nên \[x\left( {{x^{2400}} - 1} \right) \vdots 11\]

\[ \Rightarrow {x^2} + x + 1 \vdots 11\]

Chạy x trên hệ thặng dư đầy đủ modulo 11 ta có \[{x^2} + x + 1\] không chia hết cho 11

Vậy không tồn tại x thoả mãn đk.

Bài này ngụ ý của mình là muốn xài định lí Hàm Euler: $x^{\varphi (2013)}-1\vdots 2013$ với mọi x nguyên ko chia hết cho 2013. À mà sao ko ai giải bài 2 nhỉ? Nó hay lắm mà...


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#10 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 28-06-2013 - 20:20

Giải bài 5a:

Đặt \[9 + {2^n} = {a^2}\] ($a>0$)

\[ \Leftrightarrow {2^n} = \left( {a - 3} \right)\left( {a + 3} \right)\]

Đặt \[a - 3 = {2^x}\] và \[a + 3 = {2^y}\] với $y>x\ge 0$ và $x+y=n$, ta có:

\[{2^y} - {2^x} = 6\]

\[ \Leftrightarrow {2^x}({2^{y - x}} - 1) = 6\]

\[ \Leftrightarrow x = 1;y = 2\]

\[ \Leftrightarrow n = 3\]



#11 vipo107

vipo107

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Võ Thị Sáu-Cà Mau

Đã gửi 28-06-2013 - 20:26

Bài 2: Tìm ba chữ số tận cùng của số $1993^{1994^{1995^{...^{2000}}}}$.

Lời giải: 

Đặt $B=1996^{1997^{...^{2000}}}$, $C=1995^{B}$ thì C = 10m + 5 (m là một số nguyên dương). Tiếp tục đặt $D=1994^{C}=1994^{10m}.1994^{5}$.

Dễ dàng chứng minh được $1994^{10}\equiv 76(mod100)\Rightarrow 1994^{10m}\equiv 76(mod100)$.

Từ đó suy ra $D=1994^{C}\equiv 76.24\equiv 24(mod100)$. Do đó D = 20n + 4 (n là một số nguyên dương). Do đó: 

$A=1993^{D}=1993^{20n}.1993^{4}$

Dễ chứng minh được $1993^{4}\equiv 401(mod1000);1993^{20}\equiv 1(mod1000)\Rightarrow 1993^{20n}\equiv 1(mod1000).$ 

Từ đó ta có $A\equiv 401(mod1000)$, hay nói cách khác ba chữ số tận cùng của A là 401.

Mình mới lên nên cần học hỏi, mong mọi người giúp đỡ...



#12 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 28-06-2013 - 20:34

Cám ơn anh bachhammer nhé ! Em yếu số học nên đang cần chỗ rèn luyện. Em sẽ đóng góp tích cực cho topic này của anh !  :icon6:

Bài 5 : Tìm tất cả các số tự nhiên n để :

a)  $9+2^{n}$ là một số chính phương

b) $3^{n}+19$ là một số chính phương

Bài 6 : Cho các số nguyên $a,b,c,d$ thỏa mãn $\frac{a^{3}+b^{3}}{c^{3}+d^{3}}=\frac{1}{5}$

Chứng minh rằng $a + b + c + d$ là hợp số

Bài 7 : Cho các số nguyên $a,b,c,d$ thỏa mãn $\frac{a^{5}+b^{5}}{c^{5}+d^{5}}=4$.

Chứng minh rằng $a + b + c + d$ là hợp số

(Thi HSG toán 9 tỉnh Quảng Bình 2010-2011)

Nhận xét $3^{n}+19\equiv (-1)^{n}-1(mod4)$ mà là số chính phương nên suy ra n chẵn, đặt n = 2k (k là một số tự nhiên). 

Ta có: $3^{2k}+19=y^{2}\Leftrightarrow 19=(y-3^{k})(y+3^{k})\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y-3^{k}=1\\y+3^{k}=19 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=10\\3^{k}=9 \end{matrix}\right.\Rightarrow k=2\Leftrightarrow n=4$.

Thử lại ta thấy thỏa.

Vậy n = 4.


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#13 nhatquangsin

nhatquangsin

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Bình Định
  • Sở thích:mathematics

Đã gửi 28-06-2013 - 20:38

Bài 8

Tìm tất cả các số tự nhiên x,y thoả:
\[{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^4} = 3361 - \sqrt {11296320} \]


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhatquangsin: 28-06-2013 - 20:43


#14 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 28-06-2013 - 20:41

Giải bài 6:

\[\frac{{{a^3} + {b^3}}}{{{c^3} + {d^3}}} = \frac{1}{5}\]

\[ \Leftrightarrow 5({a^3} + {b^3}) = {c^3} + {d^3}\]

Lại có \[({a^3} - a) + ({b^3} - b) + ({c^3} - c) + ({d^3} - d) \vdots 6\]

\[ \Leftrightarrow 6({a^3} + {b^3}) - (a + b + c + d) \vdots 6\]

\[ \Leftrightarrow a + b + c + d \vdots 6\]

Vậy $a+b+c+d$ là hợp số

Giải bài 7:

\[\frac{{{a^5} + {b^5}}}{{{c^5} + {d^5}}} = 4\]

\[ \Leftrightarrow {a^5} + {b^5} =4({c^5} + {d^5})\]

Lại có \[({a^5} - a) + ({b^5} - b) + ({c^5} - c) + ({d^5} - d) \vdots 5\]

\[ \Leftrightarrow 5({c^5} + {d^5}) - (a + b + c + d) \vdots 5\]

\[ \Leftrightarrow a + b + c + d \vdots 5\]

Vậy $a+b+c+d$ là hợp số (vì $a+b+c+d>5$)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenhathoang1998: 28-06-2013 - 20:51


#15 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 28-06-2013 - 22:16

Bài 8

Tìm tất cả các số tự nhiên x,y thoả:
\[{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^4} = 3361 - \sqrt {11296320} \]

Dễ thấy x > y

Khai triển ra ta có : 

$x^{2}+y^{2}+6xy-4(x+y)\sqrt{xy}=3361-\sqrt{11296320}$

Đồng nhất phần hữu tỉ, vô tỉ :

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}+6xy=3361 &  & \\ 4(x+y)\sqrt{xy}=\sqrt{11296320} &  & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}+6xy=3361 &  & \\ xy(x+y)^{2}=706020 &  & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+y=41 &  & \\ xy=420 &  & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (x;y)=(21;20)$

 

 

 

 

KẾT LUẬN : $(x ; y) = (21 ; 20)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 28-06-2013 - 22:23

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#16 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 29-06-2013 - 07:44

Bài 9:

Tìm 2 số nguyên dương thoả mãn PT: $x^{2011}+y^{2011}=2013^{2011}$



#17 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 29-06-2013 - 08:58

Bài 8

Tìm tất cả các số tự nhiên x,y thoả:
\[{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^4} = 3361 - \sqrt {11296320} \]

Số cho sao bự quá dậy? Cho số vừa thôi (đỡ tính toán mất thời gian)...

 

Bài 9:

Tìm 2 số nguyên dương thoả mãn PT: $x^{2011}+y^{2011}=2013^{2011}$

Bài này có hai hướng giải:

1. Hướng ngắn nhất (Định lý Fermat, ở đầu topic đã đề cập).

2. Hướng dài hơn (ko xài định lí Fermat):
Gỉa sử (x, y) là nghiệm nguyên dương của phương trình. Khi đó ta thấy x, y < 2013(1). Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng $x\geq y$.

Do $x\in \mathbb{N}^{*};2013>x\Rightarrow x+1\leq 2013$.

Từ đó suy ra $2013^{2011}\geq (x+1)^{2011}>2011x^{2010}+x^{2011}$.

Từ đó suy ra $x^{2011}+y^{2011}>2011x^{2010}+x^{2011}\Leftrightarrow y^{2011}>2011x^{2010}$.

Do $x\geq y$ nên ta có ngay $\left\{\begin{matrix} x^{2011}>2011x^{2010}\Rightarrow x>2011\\y^{2011}>2011y^{2010}\Rightarrow y>2011 \end{matrix}\right.$.(2)

Từ (1); (2) ta suy ra x = y = 2012. Nhưng mà chắc chắn cặp số (2012; 2012) này ko thỏa là nghiệm của phương trình (vì vế phải lẻ trong khi vế trái chẵn).

Tóm lại phương trình đã cho ko có nghiệm nguyên dương.


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#18 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 29-06-2013 - 09:02

Bài 10: Số 2013 có thể được tách ra thành tổng của tối đa là bao nhiêu hợp số?

  (Dịch và cải biên lại từ đề thi HOMO 2013 Senior)

Bài 11: (Tổng quát của bài 10) Xét một số nguyên dương n > 3 thì nó có thể được tách thành tối đa bao nhiêu hợp số?                                              


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#19 DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 29-06-2013 - 10:27

Mình lập luận không được chặt chẽ lắm :P Có gì các bạn sửa giùm mình :)

Bài 10: Số 2013 có thể được tách ra thành tổng của tối đa là bao nhiêu hợp số?

  (Dịch và cải biên lại từ đề thi HOMO 2013 Senior)                                 

Giả sử $2013=a_1+a_2+...+a_n,$ trong đó $a_i$ $(i=\overline{1,n})$ đều là hợp số. Khi đó theo đề bài ta phải tìm số $n$ lớn nhất có thể.

Ta có hợp số nhỏ nhất là $4,$ mà $2013=4.503+1$ nên $n\leq503$

Xét $n=503.$ Khi đó có ít nhất một số $a_i$ $(i=\overline{1,n})$ là số lẻ $($Vì $2013$ lẻ$).$ Không mất tính tổng quát $a_1$ lẻ, suy ra $a_1\geq 9.$ Do đó $a_1+a_2+...+a_n\geq 4.502+9=2017>1013$

Xét $n=502.$ Ta có: $2013=4.501+9$

Do đó $n$ lớn nhất bằng $502.$

 

Bài 11: (Tổng quát của bài 10) Xét một số nguyên dương n > 3 thì nó có thể được tách thành tối đa bao nhiêu hợp số?   

Với mọi số nguyên dương $n,$ ta luôn có $n=4a+r,$ với $a\in\mathbb{Z}^+\ ;\ r\in \left \{ 0;1;2;3 \right \}$

Giả sử $n=a_1+a_2+...+a_k,$ trong đó $a_i$ $(i=\overline{1,k})$ đều là hợp số. Khi đó theo đề bài ta phải tìm số $k$ lớn nhất có thể.

 

Trường hợp 1: $r=0$ hay $n=4a$

Mà $4$ là hợp số nhỏ nhất nên số $k$ lớn nhất là $k=a$

 

Trường hợp 2: $r=1$ hay $n=4a+1$

Vì $4$ là hợp số nhỏ nhất nên $k\leq a$

Xét $k=a.$ Vì $n$ là số lẻ nên tồn tại ít nhất một số $a_1$ $(i=\overline{1,k})$ là số lẻ. Không mất tính tổng quát, giả sử $a_1$ lẻ, suy ra $a_1\geq 9.$ Khi đó $a_1+a_2+...+a_k\geq 9+4(a-1)=4a+1+4>4a+1=n$ 

Xét $k=a-1.$ Ta có: $n=4a+1=4(a-2)+9,$ do đó $k$ lớn nhất là $k=a-1$

 

Trường hợp 3: $r=2$ hay $n=4a+2$

Tương tự trường hợp 2, ta có $k\leq a.$

Xét $k=a.$ Ta có $n=4a+2=4(a-1)+6$ nên số $k$ lớn nhất là $k=a$

 

Trường hợp 4: $r=3$ hay $n=4a+3$

Vì $4$ là hợp số nhỏ nhất nên $k\leq a$

Xét $k=a.$ Vì $n$ là số lẻ nên tồn tại ít nhất một số $a_1$ $(i=\overline{1,k})$ là số lẻ. Không mất tính tổng quát, giả sử $a_1$ lẻ, suy ra $a_1\geq 9.$ Khi đó $a_1+a_2+...+a_k\geq 9+4(a-1)=4a+3+2>4a+3=n$ 

Xét $k=a-1.$ Ta có: $n=4a+3=4(a-3)+15=4(a-3)+6+9,$ do đó $k$ lớn nhất là $k=a-1$

 

Kết luận: Với $n>3,$ $n$ chẵn thì $n$ phân tích được thành $a$ hợp số, $n$ lẻ thì $n$ phân tích được thành $a-1$ hợp số, trong đó $a$ là thương trong phép chia $n$ cho $4.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 29-06-2013 - 10:52


#20 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 29-06-2013 - 12:13

Bài 12:Tìm tất cả các số nguyên $n$ sao cho $C_n^k$ là số lẻ với mọi $k=0,..,n $







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: topic số học, hay, tuyệt

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh