Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Topic về số học, các bài toán về số học.

topic số học hay tuyệt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 174 trả lời

#21 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 29-06-2013 - 12:15

Bài 13 : Cho các số nguyên dương $m,n,k$ thỏa mãn ước chung lớn nhất của $m,n,k$ bằng $1$ và $m.n=k^{2}$. Chứng minh rằng $m$ là số chính phương và $n$ là số chính phương


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 29-06-2013 - 12:18

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#22 DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 29-06-2013 - 13:57

Bài 13 : Cho các số nguyên dương $m,n,k$ thỏa mãn ước chung lớn nhất của $m,n,k$ bằng $1$ và $m.n=k^{2}$. Chứng minh rằng $m$ là số chính phương và $n$ là số chính phương

Bài này em nghĩ chỉ cần $(m\ ;\ n)=1$ là đủ rồi :))

Đặt $(m\ ;\ k)=d,$ suy ra $m=d.a\ ;\ k=d.b$ vời $(a\ ;\ b)=1.$

Từ $k^2=m.n$ suy ra $d.b^2=n.a$

Vì $(m\ ;\ n)=1\Rightarrow (d\ ;\ n)=1,$ đồng thời $d.b^2=n.a$ nên $b^2\ \vdots\ n$

Mặt khác $(a\ ;\ b)=1$ nên $n\ \vdots\ b^2$ 

Do đó $n=b^2.$ Khi đó $a=d$ hay $m=a^2.$

Vậy $m=a^2\ ;\ n=b^2,$ là số chính phương.

 

Một bài tương tự: Cho các số nguyên dương $m,n,k$ thỏa mãn ước chung lớn nhất của $m,n$ bằng $1$ và $m.n=k^{3}$. Chứng minh rằng $m, n$ đều là lập phương của một số. 

Cách chứng minh bài này hoàn toàn tương tự như trên.



#23 Ha Manh Huu

Ha Manh Huu

    Trung úy

  • Thành viên
  • 799 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:bốn bể là nhà
  • Sở thích:thích mọi thứ

Đã gửi 29-06-2013 - 14:42

Bài 13 : Cho các số nguyên dương $m,n,k$ thỏa mãn ước chung lớn nhất của $m,n,k$ bằng $1$ và $m.n=k^{2}$. Chứng minh rằng $m$ là số chính phương và $n$ là số chính phương

ước chung lớn nhất của m và n là 1 và $m.n=k^{2}$ là 1 số chíng phương

thì nghiễm nhiên m và n là các số cp vì nếu ko thế thì UCLN của chúng >1 (vô lí)


tàn lụi


#24 DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 29-06-2013 - 14:43

Bài 14: Cho số nguyên tố $p.$ Giả sử $x,\ y$ là các số tự nhiên khác $0$ thỏa mãn điều kiện $\dfrac{x^2+py^2}{xy}$ là số tự nhiên. Chứng minh rằng

$$\dfrac{x^2+py^2}{xy}=p+1$$



#25 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 29-06-2013 - 15:10

Bài 14: Cho số nguyên tố $p.$ Giả sử $x,\ y$ là các số tự nhiên khác $0$ thỏa mãn điều kiện $\dfrac{x^2+py^2}{xy}$ là số tự nhiên. Chứng minh rằng

$$\dfrac{x^2+py^2}{xy}=p+1$$

Lời giải. Đặt $(x,y)=d$ với $d \in \mathbb{N}^*$. Khi đó thì $x=ad,y=bd$ với $a,b \in \mathbb{N}, \; (a,b)=1$. Ta có $$A= \dfrac{x^2+py^2}{xy}= \dfrac{a^2+pb^2}{ab}$$

Nhận thấy $b \mid pb^2$ mà $A$ tự nhiên nên $b \mid a^2$. Lại có $(a,b)=1$ nên $b=1$. Tương tự thì $a=1$. Do đó $x=y=d$.

Vậy $\dfrac{x^2+py^2}{xy}=p+1$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 29-06-2013 - 15:10

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#26 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 29-06-2013 - 15:28

Bài 15:Chứng minh rằng nếu p nguyên tố thì (p – 2)!  – 1 chia hết cho p nhưng nếu p > 5 thì (p –2)! – 1 không phải là một lũy thừa của p


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenhathoang1998: 29-06-2013 - 15:28


#27 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 29-06-2013 - 16:21

Bài này em nghĩ chỉ cần $(m\ ;\ n)=1$ là đủ rồi :))

Đặt $(m\ ;\ k)=d,$ suy ra $m=d.a\ ;\ k=d.b$ vời $(a\ ;\ b)=1.$

Từ $k^2=m.n$ suy ra $d.b^2=n.a$

Vì $(m\ ;\ n)=1\Rightarrow (d\ ;\ n)=1,$ đồng thời $d.b^2=n.a$ nên $b^2\ \vdots\ n$

Mặt khác $(a\ ;\ b)=1$ nên $n\ \vdots\ b^2$ 

Do đó $n=b^2.$ Khi đó $a=d$ hay $m=a^2.$

Vậy $m=a^2\ ;\ n=b^2,$ là số chính phương.

 

Một bài tương tự: Cho các số nguyên dương $m,n,k$ thỏa mãn ước chung lớn nhất của $m,n$ bằng $1$ và $m.n=k^{3}$. Chứng minh rằng $m, n$ đều là lập phương của một số. 

Cách chứng minh bài này hoàn toàn tương tự như trên.

 

ước chung lớn nhất của m và n là 1 và $m.n=k^{2}$ là 1 số chíng phương

thì nghiễm nhiên m và n là các số cp vì nếu ko thế thì UCLN của chúng >1 (vô lí)

Sao lại sửa đề vậy mấy bạn ! Đề đúng là (m,n,k) = 1.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 29-06-2013 - 16:25

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#28 Ha Manh Huu

Ha Manh Huu

    Trung úy

  • Thành viên
  • 799 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:bốn bể là nhà
  • Sở thích:thích mọi thứ

Đã gửi 29-06-2013 - 16:37

Sao lại sửa đề vậy mấy bạn ! Đề đúng là (m,n,k) = 1

nhưng mà thế tôi thấy nó hiển nhiên quá :D


tàn lụi


#29 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 29-06-2013 - 17:17

Bài 15:Chứng minh rằng nếu p nguyên tố thì (p – 2)!  – 1 chia hết cho p nhưng nếu p > 5 thì (p –2)! – 1 không phải là một lũy thừa của p

Em làm được có một ý à ! Anh chị nào làm được ý còn lại thì bổ sung tiếp cho em nhé !

Xét đa thức : 

$A=(p-1)[(p-2)!-1]=(p-1)!+1-p$

Theo định lí Wilson : $(p-1)!+1\vdots p\Rightarrow A\vdots p$

Lại có $(p - 1 ; p) = 1$ $\Rightarrow (p-2)!-1\vdots p$   (đ.p.c.m)


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#30 nhatquangsin

nhatquangsin

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Bình Định
  • Sở thích:mathematics

Đã gửi 29-06-2013 - 18:43

Bài 12:Tìm tất cả các số nguyên $n$ sao cho $C_n^k$ là số lẻ với mọi $k=0,..,n $

 

Giải bài 12

Ta có $C_{n}^{k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{(n-k)!(n-k+1)(n-k+2)...(n-k+k)}{(n-k)!k!}=\frac{(n-k+1)(n-k+2)...(n-k+k)}{1.2...k}$

Trong tích $1.2...k$ sẽ có $\left [ \frac{k}{2} \right ]$ số chẵn (kí hiệu $[a]$ là phần nguyên của a)

 

     Xét tích $(n-k+1)(n-k+2)...(n-k+k)$ có $k$ phần tử.

Nếu $n-k+1$ chẵn thì tích có

$\left [ \frac{k}{2} \right ]+1$ số chẵn

Như vậy $C_{n}^{k}$ chẵn do $k<n$. Ta loại trường hợp này

 

Nếu $n-k+1$ lẻ thì $n-k$ chẵn. Mà $k=0,1,...,n$ nên có thể suy ra $n$ chỉ có thể thuộc $\left \{ 0;1;2 \right \}$

Tuy nhiên ta xét một trường hợp đặc biệt nữa là $n=k+1$. Khi đó

$C_{n}^{k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{n!}{k!}=\frac{(k+1)!}{k!}=k+1=n$

Như vậy $C_{n}^{k}$ lẻ khi $n$ lẻ. Từ đó ta có thể thu nhận một trường hợp đặc biệt nữa là $n=3$

 

Vậy $n\in \left \{ 0;1;2;3 \right \}$



#31 nhatquangsin

nhatquangsin

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Bình Định
  • Sở thích:mathematics

Đã gửi 29-06-2013 - 20:06

Bài 16 Cho $n$ là số nguyên dương. Kí hiệu $\pi (n)$ là số các số nguyên tố không vượt quá $n$. Chứng minh rằng:

$\pi (n)\leq \frac{n}{2}-1$ với mọi $n\geq 14$



#32 whatever2507

whatever2507

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 34 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Combinatorics :D

Đã gửi 30-06-2013 - 00:42

Sao lại sửa đề vậy mấy bạn ! Đề đúng là (m,n,k) = 1.

Đúng là nếu (m, n, k)=1 thì sẽ cần thêm bước sau để bài toán chặt chẽ hơn: Giả sử tồn tại $p$ nguyên tố và $p|m, p|n$, khi đó do $p|k^2$ và $p$ nguyên tố nên $p|k$ suy ra $(m,n,k) \ge p >1$(mâu thuẫn) nên $(m,n)=1$ :).

 

Bài 16 Cho $n$ là số nguyên dương. Kí hiệu $\pi (n)$ là số các số nguyên tố không vượt quá $n$. Chứng minh rằng:

$\pi (n)\leq \frac{n}{2}-1$ với mọi $n\geq 14$

Giải bài 16. Ta CM quy nạp theo $n$: $\pi (n)\leq \frac{n}{2}-1$ với mọi $n\geq 14 (*)$

  • $(*)$ đúng với $n=14, 15$.
  • Giả sử (*) đúng với $n \ge 15$, ta Cm nó đúng với $n+2$.

Thật vậy, trong 2 số $n+1$ và $n+2$ luôn có $1$ số chẵn, số này $\ge 15$ nên không thể là số nguyên tố.

$\Rightarrow \pi (n+2)\leq \pi(n)+1 \le \frac{n}{2}-1+1 = \frac{n+2}{2}-1$

Vậy ta có $(*)$ đúng với $n+2$ và ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi whatever2507: 30-06-2013 - 00:47


#33 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 30-06-2013 - 09:26

Bài 17: Cho n là một số nguyên dương thỏa mãn 2n + 1; 3n + 1 đều là số chính phương. Hỏi  5n + 3 là số nguyên tố hay hợp số? Tìm số n nhỏ nhất thỏa tất cả điều kiện đó.

(Cải biên lại từ đề đề nghị thi Olimpic 30/4 lớp 10 năm 2009 của Trường THPT chuyên KonTum - Sở GD - ĐT KonTum)

Bài 18: Xác định tất cả số nguyên n để $n^{4}+4^{n}$ không những là số nguyên mà còn là số nguyên tố.

Bài 19: Tìm tất cả các số nguyên dương x sao cho tích các chữ số của nó (viết dưới dạng thập phân) bằng $x^{2}-10x-22$.


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#34 Best Friend

Best Friend

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết

Đã gửi 30-06-2013 - 10:04

Bài 20: Tìm $x,y$ nguyên sao cho $54x^{3}+1=y^{3}$


Best Friend   :wub:  :wub:  :wub:  :wub:


#35 Best Friend

Best Friend

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết

Đã gửi 30-06-2013 - 10:14

Bài 21: Giải phương trình nghiệm nguyên : $xyz=x^{2}-2z+2$


Best Friend   :wub:  :wub:  :wub:  :wub:


#36 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 30-06-2013 - 10:14

 

Bài 19: Tìm tất cả các số nguyên dương x sao cho tích các chữ số của nó (viết dưới dạng thập phân) bằng $x^{2}-10x-22$.

 

Đặt $x=\overline{a_{0}a_{2}...a_{n}}$

Ta có $x^{2}-10x-22\geq 0\Rightarrow x>11$

Mặt khác : $x^{2}-10x-22=a_{0}a_{1}...a_{n}\leq 9^{n}.a_{0}<10^{n}.a_{0}\leq x\Rightarrow x<13$

Từ đó suy ra $x = 12$ (thử lại thỏa mãn)

Vậy : $x = 12$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 30-06-2013 - 10:15

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#37 DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-06-2013 - 13:17

Bài 18: Xác định tất cả số nguyên n để $n^{4}+4^{n}$ không những là số nguyên mà còn là số nguyên tố.

Trường hợp 1: $n\leq 1,$ ta có $n^4\in \mathbb{Z}\ ;\ 4^n \notin \mathbb{Z}\Rightarrow n^4+4^n \notin \mathbb{Z},$ loại.

 

Trường hợp 2: $n=0,$ ta có $n^4+4^n=0^4+4^0=1,$ không là số nguyên tố.

 

Trường hợp 3: $n=1,$ ta có $n^4+4^n=1^4+4^1=5,$ là số nguyên tố.

 

Trường hợp 4: $n\geq 2,$ xét 2 trường hợp:

 

      $\bullet$ Trường hợp 4a: $n$ chăn.

 

Khi đó $n^4+4^n\ \vdots\ 2,$ mặt khác $n^4+4^n>2$ $(n\geq 2)$ nên $n^4+4^n$ không là số nguyên tố.

 

      $\bullet$ Trường hợp 4b: $n$ lẻ. Đặt $n=2k+1\ (k\in \mathbb{Z}^+).$

 

Ta có $n^4+4^n=n^4+2.n^2.2^{2k+1}+4^{2k+1}-n^2.2^{2k+2}=(n^2+2^{2k+1})^2-n^2.2^{2k+2}=(n^2+2^{2k+1}+2.n.2^{k})(n^2+2^{2k+1}-2.n.2^{k})$

 

Vì $n\geq 2$ nên $n^2+2^{2k+1}+2.n.2^k$

 

Mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: $n^2+2^{2k+1}>n^2+2^{2k}+1\geq 2.n.2^k+1$ hay $n^2+2^{2k+1}-2.n.2^k>1$

 

Do đó $n^4+4^n$ không là số nguyên tố.

 

Kết luận: Vậy với $n=1$ thì $n^4+4^n$ là số nguyên tố.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 30-06-2013 - 13:34


#38 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 01-07-2013 - 11:08

Bài 22: Với mỗi số nguyên dương n, gọi $S(n)$ là tổng các chữ số của n.

a)      Chứng minh rằng các số $n = 999$ và $n = 2999$ không thể biểu diễn được dưới dạng $a + b$ với $S(a) = S(b)$.

b)      Chứng minh rằng mọi số $999<n<2999$ đều biểu diễn được dưới dạng $a + b$ với $S(a) = S(b)$.



#39 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 01-07-2013 - 12:11

Bài 20: Tìm $x,y$ nguyên sao cho $54x^{3}+1=y^{3}$

 

Thực ra bài này nó giấu ẩn phụ đi thôi
Giải như sau:
Đặt $a=2x^3$ khi ấy $27a+1=y^3,a=2x^3 \Rightarrow a(27a+1)=2(xy)^3=2t^3$
Suy ra $2a(54a+2)=(2t)^3=k^3$ suy ra $u(27u+2)=k^3 \Rightarrow 9u(3.(9u)+2)=9k^3$
Do đó đặt $v=9v$ khi ấy $v(3v+2)=9k^3 \Rightarrow 3v(3v+2)=(3k)^3=m^3$
Lúc này phương trình là $9v^2+6v=m^3 \Rightarrow (3v+1)^2=m^3+1=(m+1)(m^2-m+1)$
Vì $gcd(m+1,m^2-m+1)=1,3$ mà $3v+1 \not \vdots 3$ nên $gcd(m+1,m^2-m+1)=1$ do đó $m^2-m+1=l^2$ giải phương trình nghiệm nguyên này thu được $m=0$ do đó $v=0$, lộn về quá trình đặt ẩn ban đầu thu được $x=0,y=1$



#40 nhatquangsin

nhatquangsin

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Bình Định
  • Sở thích:mathematics

Đã gửi 01-07-2013 - 16:14

Bài 22: Với mỗi số nguyên dương n, gọi $S(n)$ là tổng các chữ số của n.

a)      Chứng minh rằng các số $n = 999$ và $n = 2999$ không thể biểu diễn được dưới dạng $a + b$ với $S(a) = S(b)$.

b)      Chứng minh rằng mọi số $999<n<2999$ đều biểu diễn được dưới dạng $a + b$ với $S(a) = S(b)$.

 

Giải như sau:
Ta sẽ cm tổng quát bài toán
Với $S(n)=1$ thì $n=10^k$ khi ấy $n=5.10^{k-1}+5.10^{k-1}$ và $S(5.10^{k-1})=S(5.10^{k-1})$ nên có $đpcm$
Với $S(n)>1$
TH1: $S(n)$ chẵn hay số hàng lẻ của $S(n)$ là số chẵn
Khi ấy với mỗi hàng chẵn $a_i$ của $n$ ta tách ra $a_i=\frac{a_i}{2}+\frac{a_i}{2}$ $(1)$
Với mỗi hàng lẻ $a_j$ của $n$ ta tách $a_j=\frac{a_j-1}{2}+\frac{a_j+1}{2}$ khi ấy $\frac{a_j+1}{2}-\frac{a_j-1}{2}=1$
Vì số hàng lẻ của $S(n)$ là số chẵn nên ta tách ra được chẵn cặp kiểu $\frac{a_j-1}{2},\frac{a_j+1}{2}$ như trên, ta thay phiên cho $\frac{a_j-1}{2}$ vào $X$ và $\frac{a_j+1}{2}$ vào $Y$ và làm ngược lại với $a_k$, $k$ lẻ thì $\frac{a_k+1}{2}$ vào $X$ còn $\frac{a_k-1}{2}$ vào $Y$ do đó hàng lẻ là số chẵn nên ta làm được như vậy đến hết các hàng lẻ của $n$ và do $\frac{a_j-1}+\frac{a_k+1}{2}=\frac{a_j+1}{2}+\frac{a_k-1}{2}$ và $\frac{a_i}{2}=\frac{a_i}{2}$ (theo $(1)$) do đó $S(X)=S(Y)$ mà $X+Y=n$
TH2: $S(n)$ là số lẻ hay số hàng lẻ của $S(n)$ là số lẻ
Đặt $n=\overline{a_1a_2...a_k}$ và $S(n)$ lẻ
Giả sử $n$ khác dạng $\overline{x99...9}$ khi ấy trong $a_1,a_2,...,a_k$ tồn tại một số $a_i\neq 0$ và $a_{i+1}\neq 9$ $(2)$ vì ngược lại suy ra $n=\overline{a_1a_2...a_k}$ khi ấy $a_1=0,a_2=9$ vô lí với $a_1\neq 0$ còn nếu $a_1\neq 0$ và $a_2=9$ thì ta xét $\overline{a_2a_3...a_k}$ do $a_2=9$ nên $a_3=9$ vì ngược lại $a_3 \neq 9$ thì ta đã chọn được $a_i,a_{i+1}$ thỏa $(2)$ làm tương tự đến lúc cuối suy ra $a_2=a_3=...=a_k=9$ nên $n=\overline{a_1999...9}$ vô lí vì ta đang xét $n\neq \overline{x99..9}$ như vậy chắc chắn tồn tại $a_i,a_{i+1}$ sao cho $a_i\neq 0, a_{i+1}\neq 9$
Khi ấy $n=\overline{a_1a_2...a_ia_{i+1}...a_k}=\overline{a_1...(a_i-1)9a_{i+2}...a_k}+(a_{i+1}+1).10^{k-i}$ lúc này do $a_i\neq 0,a_{i+1}\neq 9$ nên $a_i-1,a_{i+1}+1$ là chữ số hết và $S(\overline{a_1...(a_i-1)9a_{i+2}...a_k}),S((a_{i+1}+1).10^{k-i})$ có cùng tính chẵn lẻ nên đặt $\overline{a_1...(a_i-1)9a_{i+2}...a_k}=x,(a_{i+1}+1).10^{k-i}=y$ khi ấy $S(x),S(y)$ cùng tính chẵn lẻ mà $x+y=n$
Lúc này ta thực hiện $\overline{a_1...(a_i-1)9a_{i+2}...(a_t-1)...a_k}$ và $(a_{i+1}+1).10^{k-i}+10^{k-t}$ với $t\neq i$ thì $S(x')=S(x)-1,S(y')=S(y)+1$ nên $S(x')-S(y')=S(x)-S(y)-2$ mà $S(x),S(y)$ cùng tính chẵn lẻ nên $S(x)-S(y)-2$ chẵn, quá trình tiếp tục đến lúc nào đó $S(x)-S(y)-2-2-2...-2=S(x)-S(y)-2k=0$ chẵn thì khi ấy do ta bớt ở $x$ $10^{k-t}$ và thêm vào $y$ số $10^{k-t}$ thì $x'+y'=n$ nên $n=x'+y'$ và $S(x')=S(y')$ nên bài toán được cm
Giờ ta xem nốt $n=\overline{a999...9}$ với $S(n)$ lẻ, khi ấy do ở mỗi hàng $a_i+b_i=\overline{..9}$ phép tính này không thể có nhớ từ hàng thấp đến cao được (do $9+9=18$ tận cùng là $8$ là tối đa nhưng khi ấy ở hàng đơn vị không xảy ra) nên $a_i+b_i=9$ là không nhớ do đó $x+y=n=\overline{a999...9}$ thì $S(x)+S(y)=S(n)$ mà $S(x)=S(y)$ nên $S(n)$ chẵn vô lí vì $S(n)$ lẻ
Vậy $n$ là số thỏa mãn tồn tại $x,y$ sao cho $n=x+y$ và $S(x)=S(y)$ thì $n\neq \overline{a999...99}$ với $S(n)$ lẻ

** Áp dụng vào bài có ngay $đpcm$

http://diendantoanho...-a-b-với-sa-sb/


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhatquangsin: 01-07-2013 - 16:16






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: topic số học, hay, tuyệt

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh