Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Topic về số học, các bài toán về số học.

topic số học hay tuyệt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 172 trả lời

#41 nhatquangsin

nhatquangsin

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Bình Định
  • Sở thích:mathematics

Đã gửi 01-07-2013 - 18:39

Bài 23

Cho $n,p$ là các số nguyên dương và $n\geq 3$. Tìm nghiệm dương của hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=x_{3}^{p}\\ x_{2}+x_{3}=x_{4}^{p}\\ ...\\ x_{n-1}+x_{n}=x_{1}^{p}\\ x_{n}+x_{1}=x_{2}^{p} \end{matrix}\right.$



#42 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 01-07-2013 - 19:15

Giải bài 23: Giả sử \[{x_1} \le {x_2} \le ... \le {x_n}\]
Theo giả thiết ta có  \[{x_{n-2}} + {x_{n-1}} \le {x_{n - 1}} + {x_n}\]

\[ \Leftrightarrow x_n^p \le x_1^p\]
\[ \Leftrightarrow {x_n} \le {x_1}\]
\[ \Rightarrow {x_1} = {x_n}\] hay \[ \Rightarrow {x_1} = {x_2} = ... = {x_n}\]
Thay vào HPT ta được \[ \Rightarrow {x_1} = {x_2} = ... = {x_n} = \sqrt[{p - 1}]{2}\] hoặc \[ \Rightarrow {x_1} = {x_2} = ... = {x_n} =0\]
 



#43 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 01-07-2013 - 21:12

Bài 24 : Cho các số tự nhiên $a,b$ thỏa mãn $a + 20$ và $b + 13$ đều chia hết cho $21$. Tìm số dư của $A=4^{a}+9^{b}+a+b$ cho $21$.

(Đề thi vào lớp 10 chuyên toán Năng Khiếu Trần Phú, Hải Phòng 2013-2014)


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#44 nhatquangsin

nhatquangsin

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Bình Định
  • Sở thích:mathematics

Đã gửi 01-07-2013 - 21:39

Bài 25

Chứng minh rằng có vô số số nguyên tố có dạng $4k+1$



#45 barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Thái Bình---HSGS
  • Sở thích:Number Theory,Analysis

Đã gửi 01-07-2013 - 21:47

Solution 25
Giả sử tập số nguyên tố dạng $4k+1$ là hữu hạn, gọi chúng là $p_1,p_2,...,p_n$ Xét số
$A=(p_1p_2...p_n)^2+1$ không thể có ước nguyên tố dạng $4k+3$ vì không theo bổ đề quen thuộc $p=4k+3,p|a^2+b^2 \Leftrightarrow p|a,b$ suy ra $p|A \Leftrightarrow p|1$ vô lí
Do đó $A$ có một ước nguyên tố dạng $4k+1$ giả sử là $p_{n+1}$ dễ thấy $p_{n+1}\neq p_1,p_2,..,p_n$ từ đó suy ra mâu thuẫn
Vậy tập số nguyên tố dạng $4k+1$ là vô hạn

[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful


#46 Ha Manh Huu

Ha Manh Huu

    Trung úy

  • Thành viên
  • 799 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:bốn bể là nhà
  • Sở thích:thích mọi thứ

Đã gửi 01-07-2013 - 23:05

Bài 24 : Cho các số tự nhiên $a,b$ thỏa mãn $a + 20$ và $b + 13$ đều chia hết cho $21$. Tìm số dư của $A=4^{a}+9^{b}+a+b$ cho $21$.

(Đề thi vào lớp 10 chuyên toán Năng Khiếu Trần Phú, Hải Phòng 2013-2014)

 

từ đề bài ta có a+20 chia hết cho 3 nên a=3k+1 nên $4^{3k+1}=4(4^{3})^{k}$ chia 21 dư 4 

tương tự b=3x+2 

đặt $9^{3x+2}=21p+r\Rightarrow r\vdots 3$

ta lại có $9^{3x+2}-2^{3k+2}=21p+r-2^{3k+2}\Rightarrow r-2^{3k+2}\vdots 7$

mà $2^{3k+2}=4.(2^{3})^{k}$ chia 7 dư 4 nên r chia 7 dư 4 

do r chia hết cho 3; r chia 7 dư 4 và r$\leq 21$ nên r=18 

từ đề bài suy ra a+b+33 chia hết cho 21 suy ra a+b chia 21 dư 9

vậy A chia 21 dư 10


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ha Manh Huu: 01-07-2013 - 23:05

tàn lụi


#47 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 02-07-2013 - 07:57

Còn nhiều bài toán chưa có lời giải. Các bạn cố gắng giải nhé (cho mọi người cùng coi và học hỏi)...


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#48 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 02-07-2013 - 08:44

Bài 26: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên \[\left( {a,b,c} \right)\] sao cho: \[1 < a < b < c\] và số \[\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right)\left( {c - 1} \right)\] là ước của \[abc - 1\].



#49 Ha Manh Huu

Ha Manh Huu

    Trung úy

  • Thành viên
  • 799 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:bốn bể là nhà
  • Sở thích:thích mọi thứ

Đã gửi 02-07-2013 - 10:23

Bài 26: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên \[\left( {a,b,c} \right)\] sao cho: \[1 < a < b < c\] và số \[\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right)\left( {c - 1} \right)\] là ước của \[abc - 1\].

theo đề bài ta có $abc-1\vdots (a-1)(b-1)(c-1)\Leftrightarrow ((a-1)(b-1)(c-1)+ab+bc+ca-a-b-c)\vdots (a-1)(b-1)(c-1)\Leftrightarrow ab+bc+ca-a-b-c\geq (a-1)(b-1)(c-1)\Leftrightarrow ab+bc+ca-a-b-c\geq abc-1-ab-bc-ca+a+b+c\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)+1\geq abc+2(a+b+c)$

đến đây ta có$2(ab+bc+ca)>abc\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}>\frac{1}{2}$

dó 1<a<b<c nên $\frac{1}{2}\geq \frac{1}{a}\geq \frac{1}{b}\geq \frac{1}{c}$

nếu $a \geq 6$ thì $b \geq7 ; c\geq8$ nên $\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+\frac{1}{c}< \frac{1}{2}$

từ đó ta có a = 2,3,4,5 

xét a=2 thạy vào đề bài ta  có 2bc-1 chia hết (b-1)(c-1) suy ra (2bc-2b-2c+2)+2b+2c-3 chia hết (b-1)(c-1) 

suy ra $2b+2c-3\vdots bc-b-c+1\Rightarrow 2b+2c-3\geq bc-b-c+1\Rightarrow (b-3)(c-3)\leq 5$ từ đó ta có nếu b>4 thì ko thỏa mãn nên b=3 hoặc 4 

xét b =3 a=2 thì thay vào đề bài ta tìm ra c

xét b=4 a=2 cũng tương tự

giải tương tự các trường hợp a=3,4,5 

cách này hơi dài nhỉ


tàn lụi


#50 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 02-07-2013 - 12:08

Bài 21: Giải phương trình nghiệm nguyên : $xyz=x^{2}-2z+2$

Bài này mình chỉ giải được trên tập nghiệm tự nhiên nên trình bày cách giải ra để mọi người cùng góp ý, nếu ai giải được trên tập nghiệm nguyên thì bổ sung cho bài của mình nhé !

 

$PT\Leftrightarrow z(xy+2)=x^{2}+2\Rightarrow z=\frac{x^{2}+2}{xy+2}\in N$

$\Rightarrow x+\frac{2(y-x)}{xy+2}\in Z\Rightarrow 2(y-x)=k(xy+2)$ với $k$ tự nhiên

 

  • Xét $x=1$ ta có $yz=3-2z\Leftrightarrow z(y+2)=3\Rightarrow y=z=1$
  • Xét $x\geq 2$ :

Nếu $k = 0$ thì $x^{2}+2=0$ (loại)

Nếu $k\geq 1$ thì $2(y-x)\geq xy+2\Leftrightarrow (x-2)(y+2)+6\leq 0$

Nhưng $x\geq 2,y\geq 0\Rightarrow (x-2)(y+2)+6>0$

Phương trình vô nghiệm

Vậy : Phương trình có nghiệm tự nhiên duy nhất $(1 ; 1; 1)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 02-07-2013 - 12:13

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#51 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 06-07-2013 - 17:40

Bài 27: Cho 2 bộ ba số nguyên dương a, b, c và d, e, f sao cho $(a,b,c)=1;(d,e,f)=1$ và thoả mãn đẳng thức $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$; $\frac{1}{d}+\frac{1}{e}=\frac{1}{f}$. Chứng minh rằng 2(a + b + d + e) là tổng bình phương của hai số tự nhiên.  

Bài 28: Chứng minh rằng mọi số nguyên bất kì đều viết được dưới dạng tổng lập phương của 6 số nguyên.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachhammer: 08-07-2013 - 17:18

:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#52 nhatquangsin

nhatquangsin

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Bình Định
  • Sở thích:mathematics

Đã gửi 12-07-2013 - 17:06

Bài 29

Cho $p_{n}$ là số nguyên tố thứ $n$. Chứng minh rằng:

a.$p_{n}>2n$ với mọi $n>4$

b.$p_{n}>3n$ với mọi $n>11$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhatquangsin: 12-07-2013 - 17:07


#53 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 12-07-2013 - 20:59

Bài 30:  Chứng minh rằng phương trình $5n^{2}=36a^{2}+18b^{2}+6c^{2}$ (4 ẩn) không có nghiệm nguyên nào khác ngoại trừ nghiệm n = a = b = c = 0.

(APMO 1989)


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#54 xuananh10

xuananh10

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 24 Bài viết

Đã gửi 12-07-2013 - 22:11

Bài 31:

 Cho số tự nhiên y .Chứng minh tồn tại vô số nguyên tố p sao cho d08057d8d86e79b7b0888b1fc06d3ef6_4.0pt.p và 72e8d7b77259e1ece54a452e313d04d0_4.0pt.p.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuananh10: 12-07-2013 - 22:12


#55 nhatquangsin

nhatquangsin

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Bình Định
  • Sở thích:mathematics

Đã gửi 13-07-2013 - 09:44

Bài 27: Cho 2 bộ ba số nguyên dương a, b, c và d, e, f sao cho $(a,b,c)=1;(d,e,f)=1$ và thoả mãn đẳng thức $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$; $\frac{1}{d}+\frac{1}{e}=\frac{1}{f}$. Chứng minh rằng 2(a + b + d + e) là tổng bình phương của hai số tự nhiên.  

(sao em thấy bài này kì cục quá)

 

Đầu tiên ta thấy $(a,b,c)=1\Rightarrow(ab,c)=1$. Ta có$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow a+b=\frac{ab}{c}$

Do $a+b$ nguyên dương nên $\frac{ab}{c}$ nguyên dương. Mà $(ab,c)=1$$\Rightarrow c=1$\

Như vậy $ab=a+b$$\Leftrightarrow ab-a-b+1=1\Leftrightarrow (a-1)(b-1)=1$

Do $a,b$ nguyên dương nên $a-1\geq 0,b-1\geq 0$. Nếu $a-1>1$ hoặc $b-1>1$ thì $(a-1)(b-1)>1$

$\Rightarrow a-1=1, b-1=1$$\Rightarrow a=b=2$

Tương tự như vậy thì $d=e=2$. Vậy thì $2(a+b+d+e)=16$



#56 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 13-07-2013 - 11:44

(sao em thấy bài này kì cục quá)

 

Đầu tiên ta thấy $(a,b,c)=1\Rightarrow(ab,c)=1$. Ta có$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow a+b=\frac{ab}{c}$

Do $a+b$ nguyên dương nên $\frac{ab}{c}$ nguyên dương. Mà $(ab,c)=1$$\Rightarrow c=1$\

Như vậy $ab=a+b$$\Leftrightarrow ab-a-b+1=1\Leftrightarrow (a-1)(b-1)=1$

Do $a,b$ nguyên dương nên $a-1\geq 0,b-1\geq 0$. Nếu $a-1>1$ hoặc $b-1>1$ thì $(a-1)(b-1)>1$

$\Rightarrow a-1=1, b-1=1$$\Rightarrow a=b=2$

Tương tự như vậy thì $d=e=2$. Vậy thì $2(a+b+d+e)=16$

(a,b,c)=1: Ở đây được hiểu theo nghĩa là UCLN của 3 số a,b,c hay nói cách khác là a,b,c không có nhân tử chung(có thể hai trong ba số có ước chung lớn nhất lớn hơn 1 nhưng ba số không có nhân tử chung). Mà a=3;b=6 cũng đâu có sai.


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#57 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 13-07-2013 - 12:02

Bài 32 : Cho $x,y,A$ là các số nguyên dương thoả mãn $A=\frac{x^{2}+y^{2}+30}{xy}$. Chứng minh rằng $A$ là một luỹ thừa bậc $5$ của một số nguyên. 

 

P.S : Những ai ra đề nào mà thấy lâu quá chưa người giải thì giải luôn giùm để mọi người tham khảo với. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 13-07-2013 - 12:03

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#58 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 13-07-2013 - 16:24

Bài 17: Cho n là một số nguyên dương thỏa mãn 2n + 1; 3n + 1 đều là số chính phương. Hỏi  5n + 3 là số nguyên tố hay hợp số? Tìm số n nhỏ nhất thỏa tất cả điều kiện đó.

(Cải biên lại từ đề đề nghị thi Olimpic 30/4 lớp 10 năm 2009 của Trường THPT chuyên KonTum - Sở GD - ĐT KonTum)

 

  • Vì $2n + 1$ là số chính phương nên : $2n+1\equiv 0;1;4(mod5)\Rightarrow n\equiv 0;2;4(mod5)$

Nếu $n\equiv 2;4(mod5)\Rightarrow 3n+1\equiv 2;3(mod5)$. Vô lí vì $3n + 1$ là số chính phương

Suy ra $n$ chia hết cho $5$  $(1)$

  • Vì $2n + 1$ là số chính phương lẻ nên $2n+1\equiv 1(mod8)\Rightarrow n\equiv 0;4(mod8)$

Nếu $n\equiv 4(mod8)\Rightarrow 3n+1\equiv 5(mod8)$. Vô lí vì $3n + 1$ là số chính phương

Suy ra $n$ chia hết cho $8$  $(2)$

Từ $(1),(2)$ suy ra $n$ chia hết cho $40$ 

Mặt khác $n$ nguyên dương nên $n\geq 40$. Suy ra $Min n = 40$

Thử lại với $n = 40$ thì $2n+1,3n+1$ là các số chính phương, $5n+3$ là hợp số.

Kết luận $\boxed{n=40}$

 

[email protected]\rightarrow @bachhamer$ : Em biết chứ ! Phải chứng minh tổng quát $5n + 3$ là hợp số, nhưng em không làm được ý đó nên bỏ qua... :wacko:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 13-07-2013 - 20:56

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#59 Ha Manh Huu

Ha Manh Huu

    Trung úy

  • Thành viên
  • 799 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:bốn bể là nhà
  • Sở thích:thích mọi thứ

Đã gửi 13-07-2013 - 16:33

có 1 bài mình đăng lâu lâu mà ko ai làm cả

Bài 7 tìm x,y biết  $109^{10}=23673xy67459221723401$
(ko chơi sài máy tính nhé)


tàn lụi


#60 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 13-07-2013 - 19:53

 

  • Vì $2n + 1$ là số chính phương nên : $2n+1\equiv 0;1;4(mod5)\Rightarrow n\equiv 0;2;4(mod5)$

Nếu $n\equiv 2;4(mod5)\Rightarrow 3n+1\equiv 2;3(mod5)$. Vô lí vì $3n + 1$ là số chính phương

Suy ra $n$ chia hết cho $5$  $(1)$

  • Vì $2n + 1$ là số chính phương lẻ nên $2n+1\equiv 1(mod8)\Rightarrow n\equiv 0;4(mod8)$

Nếu $n\equiv 4(mod8)\Rightarrow 3n+1\equiv 5(mod8)$. Vô lí vì $3n + 1$ là số chính phương

Suy ra $n$ chia hết cho $8$  $(2)$

Từ $(1),(2)$ suy ra $n$ chia hết cho $40$ 

Mặt khác $n$ nguyên dương nên $n\geq 40$. Suy ra $Min n = 40$

Thử lại với $n = 40$ thì $2n+1,3n+1$ là các số chính phương, $5n+3$ là hợp số.

Kết luận $\boxed{n=40}$

 

Thế thì chưa đủ để kết thúc chứng minh đâu, vì e chỉ mới xét trường hợp nhỏ nhất của bài toán thôi, còn trường hợp tổng quát các số khác thì e chưa xét. Tóm lại lời giải trên chỉ đúng ý sau, còn ý đầu thì chưa... Suy nghĩ lại đi  :ohmy:


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: topic số học, hay, tuyệt

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh